WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 22 | 23 || 25 | 26 |   ...   | 34 |

При = – 1 получим частный вид гомотетии относительно пучка параллельных прямых, при котором согласно условию 2 определения гомотетии каждая точка плоскости переходит в ортогональную ей точку, то есть, точка и ее образ перестановочны в данном преобразовании. Учитывая это свойство, дадим следующее определение.

Гомотетию с коэффициентом = – 1 относительно пучка параллельных прямых (a, b) назовем ортогональным отражением в пучке (a, b).

Матрицы G1, G2 (70), задающие гомотетию в произвольном каноническом репере, при = – 1 и только в этом случае принимают вид матриц L2, L1 из (52) при условиях а31 = а32, а31 = –а32 соответственно.

Следовательно, гомотетия является абсолютным псевдодвижением тогда и только тогда, когда = – 1, то есть когда гомотетия является ортогональным отражением в пучке параллельных прямых.

4. Сжатие к неизотропной прямой Пусть t – неизотропная прямая копсевдоевклидовой плоскости, k – действительное число (k 0, k 1). Сжатием к неизотропной прямой t с Сtk коэффициентом k назовем преобразование, которое каждой точке М копсевдоевклидовой плоскости ставит в соответствие такую точку M', что:

1) точки М и М' коллинеарны;

2) (ММ',Т) = – 1/ k, или (MM' РТ) = k, где Р (0:0:1) – точка пересечения абсолютных прямых, Т – точка пересечения прямых t и МР.

При k 0, k 1 условия 1, 2 определяют взаимно однозначное отображение копсевдоевклидовой плоскости на себя, отличное от тождественного преобразования.

Заметим, что при k < 0 пара точек M, M' разделяет пару точек Р, Т, то есть изотропный отрезок MM' пересекает прямую t. При k > 0 отрезок MM' не пересекает прямую t.

Согласно определению сжатие к неизотропной прямой является коллинеарным преобразованием копсевдоевклидовой плоскости.

В данном преобразовании инвариантна каждая точка прямой t.

Действительно, любая точка М прямой t является точкой пересечения этой прямой с изотропной прямой МР. Поэтому условие 2 в определении сжатия к неизотропной прямой t с коэффициентом k принимает вид:

(MM'РМ) = k. Последнее равенство имеет смысл только в случае совпадения точек М и M'.

Аналитическая запись сжатия к неизотропной прямой t (t1: t2: t3) совпадает с записью этого преобразования на коевклидовой плоскости ((47), гл. 4, ч. 1). Матрица преобразования имеет вид:

t3 0 0 t3 (71) (k -1)t1 (k -1)t2 kt и совпадает с матрицей А2 четвертой строки таблицы 3 копсевдоевклидовых преобразований (приложение 2).

Для матрицы (71) выполняется первое неравенство (2), следовательно, каждое отражение от неизотропной прямой является преобразованием первого вида.

Условие 2 определения сжатия к неизотропной прямой дает возможность рассматривать частный вид данного преобразования.

Сжатие к неизотропной прямой t с коэффициентом k = –1 назовем симметрией относительно неизотропной прямой t. Прямую t назовем осью симметрии.

Ось симметрии делит отрезок MM' пополам, так как точка пересечения прямой t с изотропной прямой МР гармонически разделяет с абсолютной точкой Р пару точек M, M'.

Матрица (71) может совпадать только с одной из матриц (50), с матрицей Н2, причем тогда и только тогда, когда k = –1. Следовательно, сжатие к неизотропной прямой t является абсолютным движением тогда и только тогда, когда оно является симметрией относительно неизотропной прямой t.

Вид матрицы (71) не зависит от выбора системы координат, в каждом каноническом репере матрица (71) задает сжатие к неизотропной прямой, и каждое сжатие к неизотропной прямой можно задать матрицей (71).

Следовательно, в каждом каноническом репере симметрия относительно любой неизотропной прямой является абсолютным движением.

В §7 будет показано, что симметрия относительно неизотропной прямой является инволютивным преобразованием.

5. Изотропный сдвиг Изотропным сдвигом на ковектор V назовем преобразование, которое каждой неизотропной прямой a копсевдоевклидовой плоскости ставит в aa ' соответствие такую прямую a', что дублет является представителем данного ковектора V. Обозначение:.

Изотропный сдвиг на нулевой ковектор, очевидно, является P тождественным преобразованием.

Ненулевой ковектор p копсевдоевклидовой плоскости может N' быть неизотропным или изотропным.

q В зависимости от вида заданного ненулевого ковектора V будем N a различать два вида изотропного A сдвига: сдвиг на неизотропный ковектор; сдвиг на изотропный a' ковектор.

Укажем способ построения образа Рис. прямой а при сдвиге на неизотропный pq ковектор. Пусть дублет (рис. 36) представляет данный неизотропный ковектор V. Примем обозначения: N – точка пересечения данной прямой a с прямой p, A – точка пересечения направляющей ковектора V с прямой а.

Прямая а' проходит через точку А и точку N' пересечения изотропной прямой PN с прямой q.

В данном преобразовании инвариантна каждая изотропная прямая, то есть преобразование является коллинеарным. Кроме того, в преобразовании инвариантна каждая точка направляющей ковектора V.

Следовательно, данное преобразование представлено в пятой строке таблицы 3 преобразований копсевдоевклидовой плоскости (приложение 2).

Построение точки M' – образа точки M в данном преобразовании – можно провести, используя способ построения образа некоторой прямой, проходящей через точку M.

При сдвиге на изотропный P pq ковектор V, представитель (рис. 37) M' имеет вершину на одной из абсолютных прямых, на той же прямой пересекается p N' любая прямая со своим образом в q данном преобразовании.

M Построение точки М', образа точки l1(l2) N М при сдвиге на изотропный ковектор, A pq представленный дублетом, a a' показано на рисунке 37.

Аналитическая запись Рис. изотропного сдвига на ковектор V может быть получена по аналогии с записью изотропного сдвига коевклидовой плоскости ((49), глава 4, часть 1).

В каждом каноническом репере матрица изотропного сдвига на a31 aковектор V - ;- имеет вид:

a11 a а11 0 А3 = 0 а11. (72) а а32 а Можно показать, что каждое преобразование, представленное матрицей А3 таблицы 3 (приложение 2), является изотропным сдвигом. Заметим, что матрица (72) определяет три различных класса преобразований копсевдоевклидовой плоскости.

Аналогичный способ указан в первой части пособия при построении образа точки коевклидовой плоскости при изотропном сдвиге на ненулевой ковектор.

Действительно, если ковектор V – нулевой, то a31 = a32 = 0. Тогда матрица А3 совпадает с матрицей А4 (последняя строка таблицы 3) и определяет тождественное преобразование копсевдоевклидовой плоскости.

Если V – ненулевой изотропный ковектор, то |a31| = |a32| 0. При этих условиях матрица (72) определяет сдвиг на изотропный ковектор.

Преобразование указанно в шестой строке таблицы 3 копсевдоевклидовых преобразований.

Если V – ненулевой неизотропный ковектор, то |a31| |a32|. Матрица (72) определяет сдвиг на неизотропный ковектор. Преобразование указанно в пятой строке таблицы 3.

Изотропный сдвиг на любой ковектор является абсолютным движением копсевдоевклидовой плоскости. Матрица (72) имеет вид матрицы Н1 из (50).

6. Скользящая гомотетия Имеет место теорема.

Теорема 15. Композиция гомотетии с коэффициентом относительно пучка параллельных прямых (a, b) и сдвига на ненулевой изотропный ковектор V, направляющая которого не содержит центр пучка (a, b), коммутативна.

Доказательство. Согласно рассуждениям пункта 3 гомотетию с коэффициентом относительно пучка (a, b) с центром в точке S (±1:1: s) на первой (второй) прямой абсолюта в каждом каноническом репере можно задать соответственно первой (второй) матрицей (70).

Если вторая (первая) абсолютная прямая является направляющей изотропного ковектора V, то в каждом каноническом репере ковектор V можно задать координатами: V (– v; ± v), где v – некоторое действительное число. Сдвиг на ненулевой изотропный ковектор V (– v; ± v) зададим матрицей:

1 0 Т1,2 = 0 1 0.

(73) v m v Непосредственная проверка дает:

+1 -1 0 1 0 0 1 0 0 +1 -1 В1 = -1 +1 00 1 0 = 1 0 -1 +1 0 = s( -1) s( -1) 2v -v 1 v -v 1s( -1) s( -1) +1 -1 = -1 +1 0.

(74) s( -1) + 2v s( -1) - 2v +1 -1 0 1 0 0 1 0 0 +1 -1 В2 = -1 +1 0 = 0 1 0 = 0 1 0 -1 +1 s( -1) s(1- ) 2v v 1 v v 1s( -1) s(1- ) +1 -1 = -1 +1. (75) s( -1) + 2v s(1- ) + 2v Таким образом, G1 T1 =T1 G1, G2 T2 =T2 G2. Что и требовалось доказать.

Композицию гомотетии с коэффициентом относительно пучка параллельных прямых (a, b) и сдвига на ненулевой изотропный ковектор V, направляющая которого не содержит центр пучка (a, b), назовем скользящей гомотетией с коэффициентом на ковектор V относительно пучка (a, b), или кратко: скользящей гомотетией.

Матрицы В2 (В1) имеют вид матрицы А1 (таблица 3, приложение 2) при условиях (21) соответственно, так как по условию данный ковектор V – ненулевой, то есть в матрицах (73), (74), (75) v 0. Следовательно, скользящая гомотетия представлена во второй строке таблицы преобразований копсевдоевклидовой плоскости.

С другой стороны, каждую матрицу вида А1 при условиях (21) можно представить соответствующей матрицей В2, В1, а, следовательно, в виде произведения матрицы Т1,2 (73) и соответствующей матрицы (70). Таким образом, каждое преобразование, представленное во второй строке таблицы 3, является скользящей гомотетией.

При > 0 ( < 0) скользящая гомотетия является преобразованием первого (второго) вида.

В силу выполнимости условий (21) скользящая гомотетия в общем случае (при –1) является полудвижением. Расстояние между параллельными прямыми, пересекающимися на второй (первой) прямой абсолюта при скользящей гомотетии с коэффициентом относительно пучка с центром на первой (второй) прямой абсолюта изменяется в ( ) раз.

Центр пучка (a, b) – единственная неподвижная точка преобразования.

Матрицы В1, В2 имеют вид матриц L1, L2 соответственно и задают абсолютное псевдодвижение тогда и только тогда, когда = – 1. В этом случае гомотетия относительно пучка параллельных прямых, входящая в композицию скользящей гомотетии, является ортогональным отражением в пучке (a, b).

7. Тождественное преобразование Тождественное преобразование может быть задано матрицей A4 таблицы 3 копсевдоевклидовых преобразований.

8. Псевдоевклидово вращение Выберем неизотропную прямую t, пару ортогональных точек K, N на этой прямой и действительное число, ±1, 0.

PRK N Псевдоевклидовым вращением с коэффициентом (обозначение: ), назовем преобразование копсевдоевклидовой плоскости, в котором каждой точке M плоскости соответствует такая ее точка M', для которой выполняются следующие условия:

1) изотропные прямые РМ и РМ' гармонически разделяют изотропные прямые РK и РN;

2) прямая KN делит угол M'KM в отношении (–), то есть ((KM')(KM)(KN)(KP)) =.

Точку K назовем центром псевдоевклидова вращения, точку N – коцентром.

Условия 1, 2 при 0 определяют преобразование копсевдоевклидовой плоскости. Требование ±1 исключает инвариантность каждой прямой пучка с центром в точке K (N).

Найдем аналитическую запись псевдоевклидова вращения с коэффициентом.

Прежде всего, покажем, что введенное преобразование Н второго рода.

Пусть точка М', заданная в некотором каноническом репере R однородными координатами (4), – образ произвольной точки M (m1: m2: m3) в преобразовании Н копсевдоевклидовой плоскости. Центр и коцентр вращения зададим в том же репере однородными координатами: K (k1: k2: k), N (k2: k1: n). Гармоническая разделенность каждой точки М плоскости со своим образом в данном преобразовании относительно изотропных прямых PK, PN приводит к следующему условию:

m1 m2 a11m1 + a12m2 a12m1 + a11mk1 k2 k2 k= -1, m1 m2 a11m1 + a12m2 a12m1 + a11mk2 k1 k1 kили 2 2 (m1 + m2 )(2a11k1k2 - a12 (k12 + k2 ))+ (76) + m1m2 (1 + )(2a12 k1k2 - a11 (k12 + k2 ))= 0.

Тождественное выполнение равенства (76) равносильно двум условиям:

a11 (k12 + k2 ), = -1.

= (77) a12 2k1kСледовательно, данное преобразование второго рода.

Прямые KN и KP в репере R имеют соответственно уравнения:

x1(nk2 - kk1)+ x2(kk2 - nk1)+ x3(k12 - k2 )= 0, (78) x1k2 - x2k1 = 0.

(79) Прямые KM, KM' заданы в репере R уравнениями:

x1(k2m3 - km2 )+ x2(km1 - k1m3)+ x3(k1m2 - k2m1) = 0, (80) x1(m1(a31k2 + a12k) + m2(a32k2 + a11k) + m3a33k2)+ x2(m1(a11k - a31k1) + m2(a12k - a32k1) - m3a33k1)+ (81) x3(- m1(a12k1 + a11k2) - m2(a11k1 + a12k2))= 0.

Вычислим сложное отношение четырех прямых KM', KM, KN, KP по первой и третьей координатам и приравняем его к. В результате необходимых преобразований получим уравнение относительно координат точки М:

2 m1 ( f1 - h1)+ m1m2( f2 - h2 )+ m2 ( f3 - h3)+ (82) + m1m3( f4 - h4 )+ m2m3( f5 - h5 ) = 0, где f1 = k2(a31k12 - a31k2 - a12kk2 + a12nk1 + a11nk2 - a11kk1), f2 = (k12 - k2 )(a32k2 + a11k - a12n - a31k1), f3 = k1(a32k2 - a32k12 + a11kk2 - a11nk1 + a12kk1 - a12nk2), 2 f4 = a33k2(k12 - k2 ), f5 = -a33k1(k12 - k2 ), (83) h1 = (a11k2 + a12k1)(nk2 - kk1), h2 = -(k12 - k2 )(a11k + a12n), h3 = (a11k1 + a12k2 )(kk2 - nk1), 2 h4 = (k12 - k2 )(a12k1 + a11k2 ), h5 = (k12 - k2 )(a11k1 + a12k2 ).

Второе условие в определении псевдоевклидова вращения должно выполняться для каждой точки плоскости, следовательно, условие (82) должно быть тождественным. Это возможно только в случае равенства нулю всех коэффициентов уравнения (82). Приравнивая к нулю указанные коэффициенты, получим пять уравнений вида:

fi = hi, (84) где i = 1 5, а значения fi, hi определены равенствами (83). Решения системы уравнений (84), ajl, где j, l =1, 2, 3, являются коэффициентами искомой матрицы введенного преобразования. Совместное решение четвертого и пятого уравнения из системы (84) приводит к равенствам (77) и a33 (k12 - k2 ).

= (85) a12 2k1kИз первого и третьего уравнения системы (84) при выполнении равенства (77) получаем значения a31 nk2( -1) - kk1( +1) =, (86) a12 2k1ka32 kk2( +1) - nk1( -1) =, (87) a12 2k1kудовлетворяющие второму уравнению (84).

Итак, матрицу введенного преобразования можно записать в виде:

-(k12 + k2 ) 2k1k2 - 2k1k2 k12 + k2 0.

nk ( -1) - kk1( +1) kk2( +1) - nk1( -1) (k12 - k2 ) (88) Для собственных вещественных точек K, N числа k1, k2 – действительные, причем |k1| |k2|, поэтому для коэффициентов а11, аматрицы (88) выполняется неравенство:

2 2 2 2 2 а11 - а12 = (k12 + k2 ) - 4k12k2 = (k12 - k2 ) > 0, следовательно, псевдоевклидово вращение – преобразование первого вида.

Pages:     | 1 |   ...   | 22 | 23 || 25 | 26 |   ...   | 34 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.