WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 34 |

Семейство канонических реперов 1. Группа евклидовых преобразований плоскости является подгруппой группы проективных преобразований, относительно которой инвариантны действительная прямая и пара комплексно сопряженных, так называемых циклических, точек на ней [2, стр. 77].

Фигуру, инвариантную относительно группы преобразований некоторой плоскости, будем как обычно называть абсолютом этой плоскости [2, стр.

326], [8, стр. 189].

Абсолют евклидовой плоскости – действительную прямую с парой П АЭ принадлежащих ей комплексно сопряженных точек – обозначим, учитывая, что с его помощью на евклидовой плоскости можно ввести параболическое измерение расстояний между точками и эллиптическое измерение углов [5, стр. 190].

По малому принципу двойственности абсолюту евклидовой плоскости соответствует вырожденная линия второго порядка – пара комплексно сопряженных прямых, пересекающихся в действительной точке. Обозначим Э АП эту фигуру.

Проективную плоскость P2 с фиксированной вырожденной квадрикой Э Э AП AП назовем коевклидовой плоскостью. Вырожденную квадрику будем называть абсолютной квадрикой, или абсолютом коевклидовой плоскости.

Э Точки множества K2 = P2 \ AП назовем собственными точками коевклидовой плоскости, а точки самой квадрики – несобственными, или абсолютными, или бесконечно удаленными точками коевклидовой плоскости.

На плоскости P2 выберем проективный репер R = {A1, A2, A3, E} таким образом, чтобы комплексно сопряженные прямые l1 и l2, определяющие абсолютную квадрику, в репере R были заданы соответственно уравнениями:

x1 = i x2 и x1 = – i x2. (1) Тогда единственная действительная точка абсолюта, точка Р пересечения прямых l1 и l2, совпадает с координатной вершиной A3 выбранного репера, а 2 2 Э уравнение x1 + x2 = 0 определяет вырожденную квадрику AП.

Приставка ко- (от лат. con – вместе) здесь – соответствие по принципу двойственности.

Выделим из группы проективных преобразований плоскости PЭ множества преобразований G1 и G2, относительно которых фигура AП остаётся инвариантной. Во множество G1 отнесём все проективные преобразования плоскости P2, в которых абсолютные прямые l1 и l2 являются двойными, а во множество G2 – преобразования, переводящие абсолютные прямые l1 и l2 друг в друга.

Преобразования множеств G1, G2 назовём линейными преобразованиями коевклидовой плоскости первого и второго рода соответственно.

Если матрица a11 a12 a a a22 a23, (2) a31 a32 a где det || aij || 0, i, j = 1, 2, 3, определяет проективные преобразования плоскости P2, то в репере R множества G1 и G2 изоморфны соответственно множествам невырожденных матриц вида:

a11 a12 a11 a12 - a12 a11 0 и a - a11 0.

a31 a32 a33 a31 a32 a Таким образом, множество всех линейных преобразований коевклидовой плоскости состоит из двух связных компонент G1, G2 и может быть задано невырожденной матрицей вида:

a11 a12 - a12 a11 0, (3) a31 a32 a 2 = ±1, а33(а11 + а12) 0.

где Преобразования, заданные матрицей (3), образуют группу. Назовем ее фундаментальной группой G преобразований коевклидовой плоскости.

Преобразовния группы G будем называть коевклидовыми преобразованиями.

Первая компонента G1 группы G, в отличие от второй, не содержащей тождественного преобразования, является разрешимой группой Ли.

Множества G1, G2 содержат все линейные преобразования плоскости Р2, относительно Э которых инвариантна квадрика, и каждое преобразование множеств G1, G2 является AП линейным [11, стр. 118, 119].

Инварианты этой группы определяют коевклидову геометрию [5].

2. Матрица (3) содержит пять коэффициентов, определенных в силу однородности проективных координат с точностью до общего множителя.

Следовательно, группа преобразований коевклидовой плоскости зависит от четырех независимых параметров.

Число независимых коэффициентов в матрице преобразований пространства называют подвижностью пространства [4]. Определив матрицу (3), мы показали, что подвижность коевклидовой плоскости равна четырем.

Можно показать, что подвижность пространства, фундаментальная группа которого есть подгруппа группы проективных преобразований, (в частности, подвижность коевклидовой плоскости) не зависит от выбора (n +1)2 -1- k координатного репера и равна, где n – размерность пространства, а k – число независимых параметров, необходимых для задания абсолюта пространства.

Заметим, что, в отличие от количества коэффициентов, вид матрицы (3) определен видом уравнений (1), то есть, определен, в том числе, и выбором координатного репера. В свою очередь координатный репер видом уравнений (1) определен неоднозначно.

Покажем, что семейство проективных реперов, допускающих задание абсолютной квадрики уравнениями (1) (все реперы этого семейства будем называть каноническими реперами коевклидовой плоскости) зависит от четырех параметров. То есть на коевклидовой плоскости существует канонических реперов.

Для этого достаточно показать, что для полной фиксации канонического репера необходимо израсходовать четыре параметра.

Прежде всего, выделим геометрические свойства канонического репера, инвариантные относительно всех коевклидовых преобразований.

1. Третья координатная вершина А3 совпадает с точкой Р пересечения абсолютных прямых.

2. Координатные вершины А1, А2, а следовательно, и координатные прямые А1А3 и А2А3 гармонически разделяют прямые абсолюта.

3. Точки Е12 = А1 + А2 и Е21 = А1 – А2 гармонически разделяют прямые абсолюта.

Отметим общие положения, которые помогут вести подсчет расходуемых параметров при фиксации канонического репера.

10. Точку не проективной плоскости можно задать 2 способами, расходуя два параметра, равные, например, соответственно двум отношениям однородных проективных координат данной точки.

20. Задать точку на прямой можно 1 способами, затратив один параметр.

Подвижность евклидовой плоскости также равна четырем, а подвижность, например, плоскости флаговой, так называемой плоскости Галилея, [5], [7] – пяти.

30. Задать прямую на плоскости можно 2 способами. Действительно, каждую прямую проективной плоскости можно определить заданием любых двух ее точек. Задание двух точек на плоскости зависит от четырех параметров (m=22=4). Но для задания прямой полная фиксация самих точек не требуется. Следовательно, в m включены лишние параметры. Пару точек на прямой можно выбрать 2 способами (n=2). Например, фиксируя одну из точек, вторую перемещать вдоль прямой, потратить при этом один параметр, и еще один параметр потратить, перемещая первую точку. Именно эти два параметра являются лишними. Следовательно, задать прямую на плоскости можно, расходуя два параметра (m-n).

40. Задание прямой, проходящей через данную точку, зависит от одного параметра. Действительно, для фиксации прямой, проходящей через данную точку, требуется еще одна точка (два параметра). Но эта точка может быть выбрана на прямой 1 способами, то есть один из двух параметров – лишний.

Вести подсчет параметров, расходуемых при канонизации репера, можно следующим образом. Третья вершина репера совпадает с общей точкой абсолютных прямых, то есть, определена однозначно заданием абсолюта. Задание прямой, проходящей через эту точку, например, прямой A1A3, зависит от одного параметра. Еще один параметр израсходуем на задание точки A1 на прямой A1A3. Положение прямой A1A3 однозначно определяет положение прямой A2A3, гармонически разделяющей с прямой A1A3 пару абсолютных прямых. Расходуя один параметр, построим точку Aна прямой A2A3.

На прямой A1A2 однозначно определена пара точек E12(1:1:0), E'12(–1:1:0), гармонически разделяющих абсолютные прямые и пару точек A1, A2. На прямой A3E12, расходуя один параметр, выберем единичную точку E(1:1:1) координатного репера. Таким образом, однозначное задание единичной точки и вершин канонического репера зависит от четырех параметров.

Можно показать, что число параметров семейства канонических реперов некоторого пространства совпадает с подвижностью этого пространства.

Этот факт объясняет выбор термина «подвижности пространства», как степени свободы перемещения канонических реперов.

Отметим, что введенный канонический репер коевклидовой плоскости является аналогом ортонормированного репера плоскости евклидовой (см. §гл. 2), его применение позволяет получить более компактные метрические формулы. По ходу изложения мы будем отмечать, какие именно рассуждения и формулы соответствуют каноническому реперу, а какие являются общими для произвольных реперов плоскости.

1.2 Формулы преобразования координат. Ориентация плоскости 1. Пусть R = {A1, A2, A3, E} и R' = {A'1, A'2, A'3, E'} – канонические реперы коевклидовой плоскости, причем вершины репера R' в репере R имеют координаты: A'1 (а11: а21: а31), A'2 (а12: а22: а32), A'3 (а13: а23: а33), E' (а10: а20: а30).

Найдем выражение координат (x1: x2: x3) произвольной точки X коевклидовой плоскости, заданных в каноническом репере R, через ее координаты (x'1: x'2: x'3) в репере R'.

Будем считать, что столбцы матрицы а11 а12 а13 а а а22 а23 а (4) а31 а32 а33 а перехода от репера R к реперу R' согласованы [2, стр.19]. Свойства канонических реперов коевклидовой плоскости (п. 2, §1) определяют условия связи для коэффициентов матрицы (4):

a21 = -а12, а22 = a11, а13 = а23 = 0, = ±1.

(5) Действительно, по первому свойству вершина A'3 репера R' совпадает с вещественной точкой прямых (1). Поэтому в матрице (4) а13 = а23 = 0.

По второму свойству вершины A'1, A'2 репера R' гармонически сопряжены относительно абсолютных прямых (1). Запись данного свойства в координатах приводит к равенству:

a11а12 + а21а22 = 0.

(6) Согласно третьему свойству точки Е'12 = А'1 + А'2 и Е'21 = А'1 – А'2, с координатами в репере R (а11+а12: а21+а22: а31+а32) и (а11–а12: а21–а22: а31–а32) соответственно, гармонически разделяют прямые абсолюта (1). Данное требование равносильно аналитическому условию 2 2 2 a11 - а12 + а21 - а22 = 0.

(7) Условия (6), (7) дают 2 2 2 (a11 + а21)(а21 - а12)= 0.

(8) 2 a11 + а21 0, Коэффициенты матрицы (4) – действительные числа, и так как иначе первая и третья вершины репера R' совпадают, что невозможно.

Поэтому равенства (6) и (8) приводят к первым двум условиям из (5).

Таким образом, формулы преобразования проективных координат точек коевклидовой плоскости при переходе от репера R к реперу R' имеют вид:

x1 = a11x1 + a12x2, x2 = -a12x1 + a11x2, (9) x3 = a31x1 + a32x2 + a33x3.

2. Пусть W – множество всех канонических реперов коевклидовой плоскости. Будем говорить, что произвольные реперы R и R' из W находятся в отношении и называть их одинаково ориентированными, если в формулах (9) перехода от репера R к реперу R' = 1. Если в формулах (9) = 1, то каждая абсолютная прямая задана в реперах R и R' одним и тем же уравнением из (1). Следовательно, одинаково ориентированные реперы R и R' имеют один и тот же порядок следования абсолютных прямых. Данный геометрический смысл отношения показывает, что рефлексивно, симметрично и транзитивно, следовательно, является отношением эквивалентности на множестве W.

Множество W разобьем на классы эквивалентности по отношению.

Полученное фактор-множество W / содержит два элемента. Действительно, выберем из W два репера: R = {A1, A2, A3, E} и R0 = {A2, A1, A3, E}. В репере R координаты вершин репера R0 имеют вид: A2 (0:1:0), A1 (1:0:0), A3 (0:0:1), E(1:1:1). В соответствующих формулах перехода от R к R0 = –1.

Следовательно, реперы R и R0 определяют различные элементы фактормножества W /, то есть в реперах R и R0 различный порядок следования абсолютных прямых. Очевидно, что в произвольном каноническом репере R' из W порядок следования прямых абсолюта совпадает с порядком следования этих прямых либо в репере R, либо в репере R0. Таким образом, каждый репер из W попадает в класс, определенный или репером R, или репером R0.

Каждый элемент фактор-множества W / назовем ориентацией множества W всех канонических реперов коевклидовой плоскости. Выберем произвольно одну из ориентаций множества W и назовем ее положительной.

Другую ориентацию назовем отрицательной. Все реперы положительной ориентации назовем правыми, а реперы отрицательной ориентации – левыми.

Коевклидову плоскость K2 назовем ориентированной, если на множестве W всех ее канонических реперов задана положительная ориентация. Задать положительную ориентацию можно, считая правым произвольно выбранный канонический репер.

Согласно определениям §1 преобразования фундаментальной группы G первого (второго) рода не изменяют (изменяют) ориентацию коевклидовой плоскости.

1.3 Различные типы прямых. Прямые коевклидовой плоскости 1. Для успешного освоения «неевклидовых миров» нам предстоит освободить себя от некоторых стереотипов. Многие из этих стереотипов сложились задолго до того, как мы начали изучать геометрию в школе.

Например, гуляя по прямой дороге и двигаясь от ее фиксированной точки, мы всегда идем или в одну, или в другую сторону. То есть, находясь в некоторой точке прямой, мы видим два и только два ее направления. Этот Далее будем считать, что плоскость K2 ориентирована, и применять только правые канонические реперы.

факт для нас, жителей евклидова мира, настолько привычен, что мы по неосторожности, не встречая в жизни «иных прямых дорог», можем приписать его вообще всем «дорогам». А «дороги» бывают разными. Примем единственное общее требование: «дорога» должна быть замкнутой, если все ее точки равноправны.

а б в г ++K KK1 KР Рис. На рисунке 1 изображены четыре прямые, с которыми нам предстоит познакомиться. Проективная прямая (рис. 1, а) не имеет особенных точек, все ее точки равноправны. Никакая точка проективной прямой не разрывает ее на части. Поэтому по такой прямой нельзя «гулять» в ту или в другую сторону. Здесь нет понятия «направление». Если проективная прямая скользит сама по себе, любые ее четыре точки переходят в такие ее четыре точки, что сохраняется без изменения некоторое число, сложное отношение данных четырех точек [2, стр. 28].

На рисунке 1, б показана прямая, одна точка (Р) которой особенная, она бесконечно удалена, недостижима для нас. Принимая во внимание недостижимость точки Р, считаем ее удаленной из прямой, «вырезанной».

Тогда прямая перестает быть замкнутой, но остается одним целым «куском».

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 34 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.