WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 16 | 17 || 19 | 20 |   ...   | 34 |

По формулам (9) §2 главы1 найдем координаты прямых а и b в репере R':

a (a1a11 +a2a12 + a3a31 : a1a12 +a2a11 + a3a32 : a3a33), (1) b (b1a11 + b2a12 + b3a31 : b1a12 + b2a11 + b3a32 : b3a33).

(2) ab Дублет в репере R' ((5), гл. 2, часть 1) имеет координаты:

_ а11 b1 a1 a12 b2 a2 a12 b1 a1 a11 b2 a ab - - - а33 b3 a3 + a33 b3 a3 ; a33 b3 a3 + a33 b3 a3. (3) Следовательно, формулы преобразования координат ковектора при переходе от репера R к реперу R' имеют вид:

a11 av = v1 + v2, a33 a a12 a(4) v2 = v1 + v2.

a33 a 2.2 Скалярное умножение ковекторов Множество всех ковекторов копсевдоевклидовой плоскости является двумерным ковекторным пространством (аналогичное доказательство дано для ковекторного пространства коевклидовой плоскости (§5, гл. 2, ч. 1)), множество назовем ковекторным пространством копсевдоевклидовой x1 плоскости. Вырожденная квадратичная форма - x, определяющая Г AП абсолютную квадрику, на ковекторном пространстве индуцирует билинейную форму, которая каждым двум ковекторам, заданным в некотором каноничеком репере R координатами: Х(x1; x2), Y(y1; y2), ставит в соответствие число:

(X,Y ) = x1y1 - x2 y2.

Число (Х, Y) назовём скалярным произведением ковекторов X, Y и обозначим XY (либо ab*cd при соответствующем задании ковекторов).

Можно доказать, что операция скалярного умножения ковекторов обладает следующими свойствами.

10. Для любых двух ковекторов А и В: АВ = ВА.

20. Для любых двух ковекторов А, В и любого действительного числа :

(А) В = (АВ).

30. Для любых трёх ковекторов А, В и С: (А + В) C = АС + ВС.

Число ХХ назовём скалярным квадратом ковектора X и обозначим: X 2.

Модулем ковектора назовём число, равное квадратному корню из скалярного квадрата ковектора: | X | = X.

Выразим модуль ковектора, представленного в репере R дублетом с действительными сторонами a(ai), b(bi), i = 1, 2, 3, через однородные координаты сторон представителя:

2 b1 a1 b2 a2 - - - X = x1 - x2 = (5) b3 a3 b3 a3.

ab Вершина K дублета имеет в репере R координаты:

K(a2b3 - a3b2 : a3b1 - a1b3 : a1b2 - a2b1).

Возможны следующие случаи расположения точки K.

1 (2). Если точка K принадлежит первому (второму) абсолютному углу, то есть, не разделяет (разделяет) с координатной вершиной A1 абсолютные прямые, то справедливо неравенство:

> 0 ( < 0), (6) где b1 a1 b2 a- + b3 a3 b3 a = ((PK )( PA1)l1l2 ) = -.

b1 a1 b2 a- - b3 a3 b3 a Следовательно, подкоренное выражение в равенстве (5) меньше ab (больше) нуля, и модуль ковектора, представленного дублетом, является числом мнимым (действительным).

ab Обратно. Если модуль ковектора, представленного дублетом, является мнимым (действительным) числом, то есть подкоренное выражение в равенстве (5) меньше (больше) нуля, то > 0 ( < 0). Следовательно, точка K, а, значит и направляющая ковектора, принадлежат в репере R первому (второму) абсолютному углу.

3. Если ковектор представлен дублетом с параллельными сторонами, точка K в этом случае принадлежит одной из абсолютных прямых, и ее координаты удовлетворяют одному из уравнений (1), то подкоренное выражение в равенстве (5) равно нулю. Следовательно, модуль ненулевого ковектора, представленного дублетом с параллельными сторонами, равен нулю.

Обратно. Если модуль ненулевого ковектора, представленного дублетом ab, равен нулю, то b1 a1 b2 a- = (7) b3 a3 b3 a3.

В этом случае либо числитель, либо знаменатель выражения (6) через однородные координаты прямых a, b равен нулю. То есть точка K принадлежит одной из абсолютных прямых. Следовательно, прямые a и b параллельны.

Доказано еще одно свойство скалярного произведения ковекторов.

40. Скалярный квадрат любого ненулевого ковектора положителен (отрицателен) тогда и только тогда, когда направляющая ковектора принадлежит второму (первому) абсолютному углу. Скалярный квадрат ненулевого ковектора равен нулю тогда и только тогда, когда ковектор представлен дублетом с параллельными сторонами.

Ненулевой ковектор, модуль которого является числом мнимым (действительным), назовем ковектором первого (второго) типа.

Ненулевой ковектор, модуль которого равен нулю, назовем изотропным ковектором.

Каждому изотропному ковектору X (x1; x2), где |x1| = |x2|, поставим в соответствие число: (X) = |x1|, которое назовем псевдомодулем изотропного ковектора X. Обозначение:X– псевдомодуль изотропного ковектора.

Расстоянием между неизотропными ковекторами Х и Y назовём расстояние между направляющими ковекторов Х и Y. Обозначение: |XY|.

Найдём выражение расстояния между неизотропными ковекторами через их координаты.

Пусть в репере R неизотропные ковекторы Х (x1; x2) и Y (y1; y2), |x1| |x2|, |y1| |y2|, представлены дублетами ab и cd соответственно, со сторонами a(ai), b(bi), c(ci), d(di), i = 1, 2, 3.

Точка M пересечения прямых a и b в репере R имеет координаты:

a b b a a b - a b 2 2 1 1 1 2 2 - : - :

, (8) a b b a a b 3 3 3 3 3 или согласно определению координат ковектора М (–µx2: µx1: µ), где µ – ненулевое число. Аналогично, точка N пересечения прямых c и d имеет координаты: N (–y2: y1: ), – ненулевой множитель.

По определению расстояние между ковекторами Х, Y равно расстоянию между точками M и N, то есть согласно формуле (19) главы 1 имеем:

± (x1y1 - x2 y2 ) ch XY =.

(9) 2 2 2 x1 - x2 y1 - yЗнак в формуле (9) выберем так, чтобы правая часть равенства была положительной. Тогда расстояние между ковекторами Х, Y является числом действительным (мнимым), если направляющие ковекторов принадлежат одному (различным) абсолютным углам.

Непосредственная проверка доказывает справедливость формулы:

XY = | X | | Y | ch | XY |. (10) Таким образом, скалярное произведение ковекторов равно произведению их модулей на гиперболический косинус расстояния между ними.

Ковекторы Х, Y назовём ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. С проективной точки зрения ортогональность ковекторов означает гармоническую сопряженность направляющих ковекторов относительно абсолютных прямых. Расстояние между i ортогональными ковекторами равно.

2.3 Базисы пространства. Ортонормированные базисы 1. В первой части пособия (§5, гл. 2) было доказано, что каждый ковектор пространства может быть представлен в виде линейной комбинации двух линейно независимых ковекторов. Причем доказательство не содержало понятий и формул метрического характера. Следовательно, данный факт имеет место и в копсевдоевклидовом ковекторном пространстве. То есть любые два линейно независимых ковектора пространства образуют базис этого пространства.

В пространстве существует три типа ковекторов. Покажем, что любые два ненулевых ковектора различных типов линейно независимы.

Предположим противное. Пусть данные ненулевые ковекторы А и В линейно зависимы, тогда существует действительное ненулевое число, для которого имеет место равенство: А = В. Тогда А2 = 2В2, где 2 > 0.

По условию данные ковекторы разных типов. Если ковекторы А и В неизотропные, то их скалярные квадраты имеют разные знаки, что противоречит последнему равенству. Если один из ковекторов изотропный, например, А, то левая часть последнего равенства равна нулю, а правая – ненулевая. Полученное противоречие доказывает утверждение.

Очевидно, что два изотропных ковектора линейно независимы тогда и только тогда, когда вершины представителей этих ковекторов принадлежат различным прямым абсолюта. И два неизотропных ковектора линейно независимы тогда и только тогда, когда они имеют различные направляющие.

В зависимости от типов ковекторов Е1 и Е2 в базисе будем различать следующие типы базисов пространства.

1. Изотропный базис. Оба базисных ковектора Е1, Е2 – изотропные, представленные дублетами с вершинами на различных прямых абсолюта.

2 (3). Полуизотропный базис первого (второго) типа. Один из ковекторов Е1, Е2 является изотропным, другой – ковектором первого (второго) типа.

4 (5). Неизотропный базис первого (второго) типа. Оба базисных ковектора первого (второго) типа с различными направляющими.

6. Неизотропный базис. Один из ковекторов Е1, Е2 первого, другой – второго типа.

Доказать существование каждого типа базисов можно непосредственно задав базисные ковекторы в некотором каноническом репере копсевдоевклидовой плоскости.

В следующем пункте рассмотрим один из неизотропных базисов – ортонормированный базис пространства.

2. Ортонормированные базисы ковекторного копсевдоевклидова пространства введем также как и ортонормированные базисы ковекторного пространства коевклидовой плоскости (§7, гл. 2, ч. 1), учитывая метрику пространства, определенную формулами (5), (9).

Пусть R = {A1, А2, А3, Е} – произвольный репер копсевдоевклидовой плоскости, третья вершина А3 которого является общей точкой Р прямых абсолюта. Дублеты со сторонами А1А2, А2Е и А1А2, А1Е назовем первым и вторым координатными дублетами репера R соответственно.

Если R – канонический репер, то в нем координаты ковекторов Е1 и Е2, представленных соответственно первым и вторым координатными дублетами репера R, имеют вид:

E1(1;0), E (0;1).

По формулам (9), (5) находим:

Е1Е2 = i, Е1 =1, Е2 = i.

Ковекторы Е1 и Е2 линейно независимы, следовательно, образуют базис пространства. Так как скалярные квадраты ковекторов Е1, Е2 имеют разные знаки, то базис Е1, Е2 – неизотропный.

Базис пространства назовем ортонормированным, если существует канонический репер R копсевдоевклидовой плоскости, координатные дублеты которого представляют ковекторы данного базиса.

Каждый канонический репер, координатные дублеты которого представляют ковекторы Е1, Е2 базиса пространства, будем называть присоединенным к базису Е1, Е2.

Во всех канонических реперах копсевдоевклидовой плоскости изотропные координатные оси ортогональны, поэтому в пространстве, как и в пространстве (теорема 3, гл. 2, ч. 1), имеет место критерий ортонормированного базиса. Приведем его без доказательства.

Базис Е1, Е2 пространства является ортонормированным тогда и только тогда, когда направляющие ковекторов Е1, Е2 ортогональны.

Существование ортогонального базиса следует из существования ортогональных прямых. Справедливо утверждение.

Каждый ковектор задан в присоединенном к ортонормированному базису пространства каноническом репере теми же координатами, что и в самом базисе.

2.3 Ориентация ковекторного пространства На копсевдоевклидовой плоскости, в отличие от плоскости коевклидовой, имеет место понятие согласованности канонических реперов, поэтому появляются некоторые отличия в ориентации ковекторного пространства, индуцированной ориентацией и согласованием копсевдоевклидовой плоскости.

На ориентированной согласованной копсевдоевклидовой плоскости Kвыберем правый правосогласованный канонический репер R. Ковекторы Е1, Е2 некоторого базиса ковекторного пространства плоскости K2 зададим в репере R координатами:

E1(е11;е12), E2(е21;е22).

(11) Базис Е1, Е2 пространства назовем правым (левым), если число е11 е= (12) е12 ебольше (меньше) нуля.

Покажем, что определение правого (левого) базиса не зависит от выбора правого правосогласованного репера R, то есть, знак числа сохраняется неизменным при переходе от репера R к любому одинаково ориентированному согласованному с R каноническому реперу.

Пусть R' – канонический репер копсевдоевклидовой плоскости.

Формулы преобразования координат ковектора при переходе от репера R к реперу R' имеют вид (4). Для координат базисных ковекторов Е1, Е2 (11) формулы (4) имеют вид:

a11 a12 а11 а = е a33 е11 + a33 е12, е21 = е21 + е22, а33 а a12 a11 а12 а (13) е12 = е11 + е12, е22 = е21 + е22.

a33 a33 а33 а Число е11 е = (14) е12 есогласно формулам (13) равно а11 а12 а11 ае11 + е12 е21 + е2 а33 а33 а33 аа11 - а = =.

(15) аа12 а11 а12 ае11 + е12 е21 + еа33 а33 а33 аРавенство (15) показывает, что числа и ' имеют одинаковые (разные) знаки, если выполняется неравенство:

2 2 2 а11 - а12 a11 - a > 2 2 (16) a33 < 0.

а Следовательно, в одинаково ориентированных ( = 1) согласованных 2 (а11 - а12 > 0) реперах R, R' числа, ' одного знака. То есть если базис Е1, Епространства является правым (левым) в каноническом репере R, то он является правым (левым) в любом одинаково ориентированном согласованном с R каноническом репере.

Число (12) отлично от нуля, так как базисные ковекторы Е1, Елинейно независимы, поэтому или больше, или меньше нуля.

Следовательно, каждый базис пространства является либо правым, либо левым базисом.

Таким образом, множество всех базисов ковекторного пространства копсевдоевклидовой плоскости состоит из двух классов: семейства всех правых и семейства всех левых его базисов. Каждый класс назовем ориентацией ковекторного пространства.

Будем говорить, что переход от канонического репера R к каноническому реперу R' не меняет ориентацию пространства, если каждый правый (левый) базис в репере R является правым (левым) и в репере R'. Очевидно, что переход от репера R к реперу R' не меняет ориентацию пространства тогда и только тогда, когда имеет место первое неравенство из (16). Реперы R и R' в этом случае либо одинаково ориентированы и согласованы, либо различно ориентированы и несогласованны.

Для задания ориентации пространства достаточно указать некоторый канонический репер плоскости K2, который будем считать правым, и некоторый канонический репер, который будем считать правосогласованным, либо непосредственно указать правый базис пространства.

2.4 Измерение в пучках неизотропных прямых На копсевдоевклидовой плоскости как и на коевклидовой не существует проективного инварианта двух неизотропных прямых. Измерение в пучках неизотропных прямых копсевдоевклидовой плоскости можно ввести с помощью ковекторов.

Отметим, что на копсевдоевклидовой плоскости существует два вида пучков неизотропных прямых: пучки непараллельных прямых с центрами в собственных точках плоскости и пучки параллельных прямых с центрами на абсолютной квадрике.

В пучке непараллельных прямых введем измерение гиперболического типа. Каждой паре непараллельных прямых a и b поставим в соответствие число, равное модулю ковектора, представленного дублетом ab, которое назовем мерой угла с неизотропными сторонами a и b. Обозначение: ab – мера угла ab. Два различных угла будем называть равными, если равны меры этих углов.

Согласно определению меры угла и формуле (5) для прямых a(ai) и b(bi), i = 1, 2, 3, имеем 2 b1 a1 b2 a - - - a b = (17) b3 a3 b3 a3.

Pages:     | 1 |   ...   | 16 | 17 || 19 | 20 |   ...   | 34 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.