WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 15 | 16 || 18 | 19 |   ...   | 34 |

Следовательно, если пара точек U, V разделяет хотя бы одну из пар точек Ki, A; Ki, B, i = 1, 2, то она разделяет и любую другую из этих пар.

Будем говорить, что точки U, V множества находятся в отношении, если пара точек U, V не разделяет пару точек K1, A. Обозначение: U V.

Отношение, очевидно, является отношением эквивалентности.

Разделим по отношению все точки множества на классы. Если две точки находятся в отношении, то отнесем эти точки к одному классу. Если точки не находятся в отношении, отнесем их к различным классам. Покажем, что фактор-множество / содержит точно два элемента.

Пусть в проективном репере R0 = {A, K1, B} прямой t точки K2, U, W имеют координаты: K2 (k : 1), U (u : 1), W (–u : 1), где k и u – решения совместной системы неравенств: k < 1, u < 1, u(u – k) > 0, u2 – k2 > 0. Тогда для точек A, B, K1, K2, U, W выполняются условия:

(AB K1K2) = 1 – k > 0, (32) то есть точки А и В принадлежат одной ветви прямой t, определенной точками K1, K2, и (UA K1K2) = u : (u – k) > 0, (WU K1K2) = (u + k):(u – k) > 0, (33) то есть точки U, W также принадлежат ветви.

Из условий (SS0 K1K2) = –1, (SS0 АB) = –1, (АSK1K2) > 1+ 1- k :находим единственную точку S ( ) – середину отрезка АВ. Так как справедливы неравенства:

(SUАB) < 0 и (SWАB) < 0, то точки U, W принадлежат множеству, и так как (UW K1A) < 0, (34) эти точки принадлежат различным классам по отношению. Следовательно, фактор-множество / содержит не менее двух элементов.

Для каждой точки F прямой t выполняется условие:

(FW K1A) = (FU K1A)(UW K1A).

Согласно неравенству (34) выражения (FW K1A) и (FU K1A) имеют разные знаки, то есть либо (FW K1A) > 0, либо (FU K1A) > 0. Поэтому каждая точка множества попадает либо в класс, содержащий точку W, либо в класс, содержащий точку U.

Следовательно, множество разбито по отношению точно на два класса. Что и требовалось доказать.

Таким образом, каждые две точки А и В одной ветви неизотропной прямой разделяют ветвь на три части: отрезок АВ; два луча с началами в точках А и В, причем ни один из лучей не содержит точек отрезка АВ.

3. Получим формулы для вычисления координат точки S, середины неизотропного отрезка АВ.

Пусть в некотором каноническом репере заданы точки A (a1 : a2 : a3), B (b1 : b2 : b3) и точки K1 (1:1: k1), K2 (1: –1: k2) пересечения неизотропной прямой АВ с абсолютными прямыми l1, l2. Согласно неравенству (22) условие принадлежности точек А, В одной ветви прямой АВ имеет вид:

2 2 = (a1 - a2 )(b12 - b2 )>. (35) Ортогональным точкам S, S0, учитывая условие (25), присвоим однородные координаты: S (s1 : s2 : s), S0 (s2 : s1 : s0).

Гармоническая сопряженность пар точек A, B и S, S0 приводит к уравнению относительно координат s1, s2:

2 s1 (a1b2 + a2b1)- 2s1s2(a1b1 + a2b2)+ s2 (a1b2 + a2b1) = 0.

(36) Решения квадратного уравнения (36) определяют зависимость между двумя первыми координатами точек S, S0:

2 2 a1b1 + a2b2 ± (a1 - a2 )(b12 - b2 ).

s = (37) s2 a1b2 + a2b 1,Подкоренное выражение в равенствах (37) согласно условию (35) больше нуля, следовательно, равенства (37) определяют два действительных отношения s1 : s2. Принадлежность точки S прямой АВ дает:

a1 a2 ab1 b2 b3 = 0.

(38) s1 s2 sИз условий (37), (38) находим координаты точек S, S0:

((a1b2 - a2b1)(a1b1 + a2b2 ± ):

2 2 (a1 b2 - a2b12):

(39) 2 2 b2b3(a1 - a2 )- a2a3(b12 - b2 )± (a3b2 - a2b3)), где значение определено условием (35). По определению середины отрезка для точки S выберем те координаты, при которых S принадлежит ветви, то есть при которых выполняется условие (SAK1K2) > 0, равносильное неравенству:

± (a1b1 + a2b2 ) > 0.

(40) Итак, координаты середины отрезка АВ неизотропной прямой определены условиями (39), (35), (40).

4. Пусть неизотропная прямая t пересекает абсолютные прямые в точках K1, K2, а точки А и В прямой t принадлежат различным абсолютным углам.

Очевидно, что точки А и В разбивают множество всех точек прямой t на два класса 1, 2, каждый из которых содержит одну из точек K1, K2.

Класс i, i = 1, 2, содержит все такие точки X прямой t, для которых выполняется условие: (XKi AВ) > 0.

Назовем каждый класс 1, 2 квазиотрезком АВ, или соответственно принадлежности точки K1 (K2) – квазиотрезком АK1В (АK2В), а точки А и В – концами квазиотрезка АK1В (АK2В). Каждый квазиотрезок АK1В (АK2В), очевидно, состоит из двух лучей различных ветвей прямой t с началами в точках А, В и общей бесконечно удаленной точкой.

Квазиотрезки АK1В и АK2В назовем смежными.

Точки S1, S2, гармонически разделяющие пары точек K1, K2 и А, В, назовем серединами квазиотрезка АK1В (АK2В).

Если точки А и В в некотором каноническом репере заданы координатами: A (a1 : a2 : a3), B (b1 : b2 : b3), то условие (39) определяет координаты середин квазиотрезка АK1В (АK2В).

Так как точки А и В принадлежат различным абсолютным углам, то значение, определенное равенством из (35), согласно неравенству (24) меньше нуля, следовательно, середины квазиотрезка – точки мнимые. Так как мнимые части координат (39) отличаются только знаком, то середины квазиотрезка – мнимо сопряженные точки.

1.7 Лучи и отрезки изотропной прямой. Инвариант трёх точек изотропной прямой 10. Каждая точка А изотропной прямой разделяет множество всех точек этой прямой на два класса. Любые две точки одного класса не разделяют пару точек А и Р. Каждый класс назовем лучом с началом в данной точке А.

20. Любые две точки А и В изотропной прямой разделяют множество всех точек этой прямой на три класса: отрезок АВ; два луча АР и ВР.

Точки А, В и множество всех точек X, разделяющих с бесконечно удаленной точкой P пару коллинеарных точек A, B, назовём отрезком AB изотропной прямой, или изотропным отрезком АВ. Точки A и B назовём концами этого отрезка.

Пусть A, B, C – три различные точки изотропной прямой. Число –(ABCP), инвариантное относительно фундаментальной группы преобразований копсевдоевклидовой плоскости, назовём простым отношением трёх точек A, B, C изотропной прямой. Обозначение: (АВ,С).

Если (AB,C) = t, то будем говорить, что точка C делит изотропный отрезок AB в отношении t. Если точка C принадлежит изотропному отрезку AB, то есть разделяет с точкой P пару точек A, B, то, очевидно, t больше нуля.

Найдём формулы деления отрезка изотропной прямой в данном отношении t.

Точки A, B, C лежат на одной изотропной прямой, поэтому согласно равенству (14) отношения двух первых координат этих точек равны. Зададим точки A, B, C в некотором каноническом репере R координатами: A (µ : : a), B (µ : : b), C (µ : : c). Учитывая, что (AB,C) = t, получаем c - a (ABCP) = = -t.

c - b Выразим c через a, b и t:

a + bt c =. (41) 1+ t Серединой изотропного отрезка AB назовём точку, которая с бесконечно удаленной точкой P гармонически разделяет пару A, B.

Если C – середина отрезка AB, то формула (41) принимает вид:

a + b c =. (42) Заметим, что в применяемых канонических реперах коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей общая точка прямых абсолюта имеет одни и те же координаты, поэтому формулы (41), (42) полностью совпадают с формулами (12), (13) §4 главы 1 первой части пособия.

1.8 Инвариант двух изотропных прямых. Изотропная полоса На копсевдоевклидовой плоскости с помощью абсолюта, без использования вспомогательных единиц измерения, можно ввести гиперболическое измерение углов между изотропными прямыми.

Расстоянием между изотропными прямыми a и b назовем число ab:

= ln(abl1l2 ), ab (43) где l1 и l2 – абсолютные прямые.

Очевидно, расстояние между любыми точками A, B изотропных прямых a и b соответственно равно расстоянию между прямыми a, b: |АВ| = ab.

На основании равенства (43) по аналогии с выводом формул (19), (23), получим формулу, выражающую расстояние ab через однородные координаты изотропных прямых a (a1: a2:0) и b (b1: b2:0):

a1b1 - a2bchab =, где a1b1 - a2b2 > 0.

(44) 2 2 a1 - a2 b12 - bПрямые a и b принадлежат одному абсолютному углу, если они не разделяют прямые абсолюта, в этом случае их однородные координаты удовлетворяют условию:

2 2 (a1 - a2 )(b12 - b2 )> 0.

(45) Две изотропные прямые a и b назовем перпендикулярными (или ортогональными), если они гармонически разделяют прямые абсолюта. Для перпендикулярных прямых а и b = ln (- 1) = i, ab 2 итак, i / 2 – имманентная величина измерения в пучке изотропных прямых.

В координатах условие ортогональности изотропных прямых a (a1: a2:0) и b (b1: b2:0) в каноническом репере имеет вид:

a1b1 - a2b2 = 0.

(46) Изотропной полосой аb назовем множество всех изотропных прямых, пересекающих некоторый отрезок АВ с концами на изотропных прямых а, b.

Определение изотропной полосы не зависит от выбора отрезка АВ [2, стр.32].

Точку X назовем внутренней точкой изотропной полосы ab, если изотропная прямая XP принадлежит полосе ab. Изотропную прямую, содержащую середину отрезка АВ, назовем биссектрисой изотропной полосы ab.

1.9 Инвариант трёх неизотропных прямых пучка Пусть Р – общая точка абсолютных прямых, a и b – неизотропные прямые, пересекающиеся в точке S. Прямые а, b и множество всех прямых пучка с центром в точке S, разделяющих с прямой SP пару a, b, назовем углом со сторонами a, b, если прямые a и b не параллельны, и полосой со сторонами a, b, если прямые a и b параллельны.

Будем говорить, что угол ab образован прямыми a и b (полоса ab P образована прямыми a и b). Точку S назовем вершиной угла (полосы) ab.

a Очевидно, вершина угла – собственная k А точка плоскости, вершина полосы – бесконечно удаленная.

c С Множество всех прямых пучка с S b центром в точке S, не принадлежащих углу (полосе) ab, назовем дополнением В l угла (полосы) ab.

Рис. Точку М будем называть внутренней точкой угла (полосы) ab с вершиной S, если прямая MS принадлежит углу (полосе) ab. Если прямая MS принадлежит дополнению угла (полосы) ab, точку М будем называть внешней точкой угла (полосы) ab.

Множество всех внешних точек угла (полосы) ab за исключением точек изотропной (абсолютной) прямой SP можно разделить на два непустых непересекающихся класса следующим образом. Для любых двух точек N и K одного класса (различных классов) пара прямых SN и SK не разделяет (разделяет) прямые в парах SP, a и SP, b.

Простым отношением трех неизотропных прямых a, b, c пучка с центром в точке S назовем число: –(abck), где k – изотропная или абсолютная прямая SP, инвариантное относительно преобразований группы Q.

Если в принятых обозначениях (abck) = –, будем говорить, что прямая c делит угол (полосу) ab в отношении. Обозначение: (ab,c) =.

Выберем некоторый канонический репер R и определим зависимость между однородными координатами в репере R прямых a(ai), b(bi), c(ci), i = 1, 2, 3, и числом.

Проведём изотропную прямую l: x1 = 0 (или x2 = 0), отличную от прямой k. Тогда точки A, B, C (рис. 27) пересечения прямой l с прямыми a, b, c соответственно имеют координаты:

A(0:–a3:a2), B(0:–b3:b2), C(0:–c3:c2), (A(–a3:0:a1), B(–b3:0:b1), C(–c3:0:c1)).

Если прямая k не является координатной, то, учитывая равенство (abck) = (ABCP) = –, находим выражения для координат прямой с:

a1 b1 a2 b + + c1 a3 b3 c2 a3 b= =. (47) c3 1 + c3 1 + Если прямая k совпадает с одной из координатных прямых (x1 = 0 или x2 = 0), то, рассуждая аналогично, находим одно из равенств (47). Еще одно равенство получим из первого, учитывая принадлежность прямых a, b, c одному пучку, то есть, учитывая условие:

a1 b1 ca2 b2 c2 = 0.

a3 b3 cПрямую q назовём биссектрисой угла (полосы) ab с вершиной S, если она с изотропной (абсолютной) прямой k = SP гармонически разделят пару прямых a, b, то есть если (ab,q) = 1.

Из равенств (47) при = 1 находим выражение однородных координат (qi), i = 1, 2, 3, биссектрисы q угла (полосы) ab через соответствующие координаты сторон угла (полосы):

a1 b1 a2 b+ + q1 a3 b3 q2 a3 b=, =. (48) q3 q2 Формулы (47), (48) совпадают с соответствующими формулами (28), (29), полученными для прямых коевклидовой плоскости в §7 главы 1 первой части пособия.

1.10 Инвариант трёх неизотропных Aпрямых Пусть в некотором каноническом Bl2 репере R заданы три неизотропные P попарно непараллельные прямые a, b, CC c, не принадлежащие одному пучку lB прямых. Определив инвариант прямых A a, b, c, мы определим инвариант трех a c b точек A, B, C попарного пересечения этих прямых (рис. 28).

Рис. Пусть прямые a(ai), b(bi), c(ci), где i = 1, 2, 3, пересекают абсолютную прямую, например, l1, в точках A0, B0, Cсоответственно. Сложное отношение четырёх точек (A0B0C0P) инвариантно относительно всех линейных преобразований копсевдоевклидовой плоскости.

Выразим модуль гиперкомплексного числа (A0B0 C0P) гиперболического типа через однородные координаты прямых a, b, c.

Точки A0, B0, C0 в репере R имеют координаты:

A0 (–a3: –a3: a1 + a2), B0 (–b3: –b3: b1 + b2), C0 (–c3: –c3: c1 + c2).

Поэтому b3(a1c3 - a3c1 + a2c3 - a3c2 ) (A0B0C0P) = = a3(b1c3 - b3c1 + b2c3 - b3c2 ) c1 a1 c2 a - - + c3 a3 c3 a =.

c1 b1 c2 b - - + c3 b3 c3 b Таким образом, если J = |(A0B0C0P)|, то 2 c1 a1 c2 a - - - c3 a3 c3 a J =.

2 (49) c1 b1 c2 b - - - c3 b3 c3 b Геометрический смысл инварианта J копсевдоевклидовых преобразований будет определен в следующей главе.

Глава 2. Ковекторы Ковектор на копсевдоевклидовой плоскости определим в полном соответствии с определением ковектора на плоскости коевклидовой.

Рассуждения, приведенные в §§1–5 главы 2 первой части пособия, полностью отнесем и к геометрии копсевдоевклидовой плоскости. Различия появляются в определении и свойствах скалярного произведения ковекторов, формулах преобразования координат ковекторов, в определении ортонормированных базисов. Поэтому в данной главе мы сразу перейдем к обозначенным вопросам, отправляя читателя при необходимости к первой части пособия.

2.1 Преобразование координат ковектора 1. Пусть R = {A1, A2, A3, E} и R' = {A'1, A'2, A'3, E'} – канонические реперы ориентированной копсевдоевклидовой плоскости, а преобразование проективных координат точек при переходе от репера R к реперу R' задано формулами (9) §2 главы 1.

Найдем формулы преобразования координат ковектора при переходе от репера R к реперу R'.

Пусть ковектор V имеет в репере R координаты (v1; v2), а в репере R' – координаты (v'1; v'2). Прямые а, b, стороны дублета, представляющего ковектор V, зададим в репере R уравнениями:

a : a1x1 + a2x2 + a3x3 = 0, b : b1x1 + b2x2 + b3x3 = 0.

Pages:     | 1 |   ...   | 15 | 16 || 18 | 19 |   ...   | 34 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.