WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 | 18 |   ...   | 34 |

Множество всех точек неизотропной прямой копсевдоевклидовой плоскости, принадлежащих одному абсолютному углу, назовем ветвью данной прямой. Если копсевдоевклидова плоскость согласована, то есть абсолютные углы упорядочены, то соответственно принадлежности абсолютному углу ветви будем называть первой или второй.

Пусть неизотропная прямая а (рис. 24) пересекает абсолютные прямые lи l2 в точках K1 и K2 соответственно.

Расстоянием между точками A и B ориентированной копсевдоевклидовой плоскости назовем число |АВ|, определенное формулой АВ = ln(ABK K ).

1 2 (15) Расстояние |AB| инвариантно относительно всех копсевдоевклидовых преобразований и не зависит от выбора канонического репера, так как число (AB K1K2) – инвариант группы Q.

Сложное отношение четырех точек обладает следующими свойствами:

1 (ABCD) = (BACD), (ABCD) = (ABDC), поэтому расстояние |AB| зависит от порядка следования и точек (|AB|= –|BA|), и абсолютных прямых, то есть, учтена ориентация плоскости.

Для каждой точки С прямой АВ имеет место равенство:

(AB K1K2) = (AС K1K2) (СB K1K2), с учетом которого формула (15) дает:

1 AB = ln(ABK K )= ln((ACK K )(CBK K ))= 1 2 1 2 1 2 1 = ln(ACK K )+ ln(CBK K ) = AC + CB.

1 2 1 2 Следовательно, расстояние между точками обладает свойством аддитивности: для любых трех точек A, B, C одной прямой |AB| = |AC| + |CB|.

3. Выразим расстояние |AB| через однородные координаты точек A (a1: a2: a3) и B (b1: b2: b3) в некотором правом каноническом репере R.

Абсолютные прямые l1, l2 в любом каноническом репере имеют уравнения (1), следовательно, точки K1, K2 в репере R можно задать координатами: K1(1:1: k1), K2(1: –1: k2), где k1, k2 – некоторые действительные числа. Учитывая, что две первые координаты точек K1, K2 определяют принадлежность этих точек абсолютным прямым, найдем сложное отношение точек А, В, K1, K2 по первой паре координат данных точек.

a1 a2 b1 b1 1 -1 (a1 - a2)(b1 + b2).

(ABK1K2)= = a1 a2 b1 b(a1 + a2)(b1 - b2) (16) -1 1 1 Гиперкомплексные числа гиперболического типа a1 ± a2, b1 ± b2 в показательной форме имеют вид:

a + a = e, b1 + b = e, 1 2 1 2 (17) - - a - a = e, b1 - b = e, 1 2 1 2 2 2 1 = a1 - a2, 2 = b12 - b2 и где a1 bch =, ch =, 2 a12 - a b12 - ba2 b2 (18) sh =, sh =, 2 a12 - a2 b12 - bch, sh – гиперболические функции:

ei + e-i ei - e-i сh = sh =,, 2 для которых имеет место тождество:

ch2 - sh2 =.

Из равенств (16), (17) находим:

1e- 2e (ABK K2 ) = = e- 2 e2 = e2( - ).

1e 2e- Подставим это значение в формулу (15). Тогда ln(ABK1K ) ln e2( - ) =.

|AB| = = 2 Следовательно, ch AB = ch ch - sh sh, sh AB = ch sh - sh ch.

Согласно формулам (18) a1b1 - a2bch AB =, (19) 2 2 a1 - a2 b12 - ba1b2 - a2bsh AB =. (20) 2 2 a1 - a2 b12 - bМы рассматриваем действительные точки А, В, поэтому сложное отношение четырех точек (AB K1K2) – число действительное.

Если точки А и В принадлежат одному абсолютному углу, то, очевидно, (ABK1K2) > 0, (21) следовательно, расстояние между точками А и В, определенное по формуле (15), является числом действительным [12, стр. 328].

Условие (21), принадлежности точек А и В одному абсолютному углу, согласно равенству (16) в однородных координатах точек А, В имеет вид:

2 2 (a1 - a2 )(b12 - b2 )> 0.

(22) Формулы (19), (20) определяют значения sh |AB|, ch |AB| с точностью до знака, так как с точностью до знака определены однородные координаты точек А и В. Если выполняются условия (21), (22) и расстояние |AB| – действительное число, то правая часть равенства (19), которая по модулю больше, либо равна единице, должна быть числом положительным. Поэтому условимся однородные координаты точек А и В выбирать таким образом, чтобы выполнялось неравенство:

а1b1 - a2b2 > 0.

(23) Если точки А и В находятся в различных абсолютных углах, то имеют место неравенства (ABK1K2) < 0, 2 2 (a1 - a2 )(b12 - b2 )< 0.

(24) Тогда расстояние |АВ|, определенное по формуле (15), является числом мнимым [12, стр. 329].

Таким образом, расстояния между точками неизотропной прямой копсевдоевклидовой плоскости являются действительными величинами, если точки принадлежат одному абсолютному углу, и мнимыми, если точки принадлежат различным абсолютным углам копсевдоевклидовой плоскости.

Вообще, формула (19) получена для точек неизотропных прямых. Но ее формальное применение для коллинеарных точек А и В, их координаты связаны условием (14), определяет нулевое расстояние между этими точками.

С другой стороны, если расстояние между точками А и В равно нулю, то в формуле (19) равна единице правая часть равенства, следовательно, для координат точек А и В выполняется условие коллинеарности (14).

Если хотя бы одна из точек А, В бесконечно удалена, то сложное отношение точек А, В, K1, K2 равно нулю. Так как логарифм нуля не определен, не определено и расстояние между точками А и В. Но формальное применение к точкам А, В формулы (19) (координаты бесконечно удаленной точки удовлетворяют уравнению из (1)) дает бесконечно большое значение ch |AB|, а, следовательно, и бесконечно большое значение |AB|. Это соответствует, формально, термину «бесконечно удаленная точка».

Точки A и B будем называть ортогональными, если они гармонически сопряжены относительно абсолютных прямых.

В принятых для вывода формулы (19) обозначениях для ортогональных точек А и В выполняется условие: (ABK1K2) = (BAK1K2) = –1, или в однородных координатах точек a1b1 - a2b2 =. (25) Следовательно, |AB|=|BA|= i. Действительно, по определению логарифмической функции [12, стр. 329]:

1 1 1 AB = ln(ABK1K2) = ln(-1) = [ln -1 + i arg(-1)]= [0 + i]= i.

2 2 2 2 Таким образом, i – естественная константа измерения расстояний между точками на копсевдоевклидовой плоскости.

Итак, на копсевдоевклидовой плоскости существует два типа вещественных прямых: изотропные прямые, расстояния между различными точками которых, формально вычисленные по формуле (19), равны нулю;

неизотропные прямые, расстояния между различными точками которых, вычисленные по формуле (19), отличны от нуля и являются числами мнимыми или действительными.

1.4 Взаимное расположение двух прямых Точка пересечения двух прямых копсевдоевклидовой плоскости либо является собственной точкой плоскости, прямые в этом случае будем называть пересекающимися, либо принадлежит абсолюту, то есть является бесконечно удаленной точкой. Поэтому на копсевдоевклидовой плоскости имеет смысл понятие параллельности прямых, то есть пересечения в бесконечно удаленной точке. В этом смысле все изотропные прямые параллельны.

Две неизотропные прямые назовем параллельными, если точка их пересечения принадлежит одной из абсолютных прямых.

Очевидно, свойство прямых быть параллельными сохраняется в каждом преобразовании копсевдоевклидовой плоскости.

Выполняются следующие утверждения.

1. Через точку, не принадлежащую данной неизотропной прямой, проходят ровно две прямые, параллельные данной прямой.

Термин «параллельные» будем применять только к неизотропным параллельным прямым.

2. Для каждой неизотропной прямой копсевдоевклидовой плоскости существует два однопараметрических семейства параллельных ей прямых.

Каждое семейство представляет собой пучок прямых с центром в одной из двух несобственных точек данной прямой.

Две прямые ориентированной копсевдоевклидовой плоскости будем называть 1- параллельными (2 - параллельными), если точка их пересечения принадлежит первой (второй) прямой абсолюта.

1.5 Квадранты копсевдоевклидовой плоскости 1. Покажем, что любая неизотропная прямая l разбивает множество всех точек каждого абсолютного угла на два непустых непересекающихся множества.

Пусть K1, K2 – точки пресечения прямой l с прямыми l1, l2 абсолюта.

Рассмотрим точки A, B, принадлежащие абсолютному углу Г1 (рис. 25).

Точки пересечения прямой AP с прямыми Ki B, i = 1, 2, и l обозначим соответственно Bi, L.

Р N АВА В T l2 lB2 CC CL K2 M KH FF А' F Рис. Будем говорить, что точки A и B абсолютного угла Г1 находятся в отношении ~, порожденном прямой l (обозначение: l~(A, B)), если точки A, Bi не разделяют пару точек P, L В определении точки B1, B2 (K1, K2) равноправны. Действительно, применяя свойства сложного отношения четырех точек прямой и сложного отношения четырех прямых пучка, получим цепочку равенств:

(AB1 PL) = ((K2 A)(K2 B1) l2l) = ((K2 T)(K2 B1) l2l) = (TB1 NK1) = ((PT)(PB1) l2l1) = (ML K2 K1), где T, N, М – точки пересечения прямых K2А и K1B, l2 и K1B, РТ и l соответственно. Поэтому если (AB1 PL) > 0, то (ML K2K1) > 0. (26) Но точки А, В принадлежат одному абсолютному углу, следовательно, ((PA)(PB) l2l1) = (LH K2K1) > 0, (27) где H – точка пересечения прямых l и РВ.

Из условий (26), (27) получаем (MH K2K1) = (ML K2K1)(LH K2K1) > 0, следовательно, (AB2 PL) = ((K2 T)(K2 B) l2l) = (TB NK1) = (MH K2K1) > 0.

Таким образом, если точки A, B1 не разделяют пару точек P, L, то и точки A, B2 не разделяют эту пару. Следовательно, отношение не зависит от порядка следования абсолютных прямых.

Покажем, что отношение ~ является отношением эквивалентности на множестве всех точек абсолютного угла Г1.

Пусть М, А, В, С – произвольные точки угла Г1.

1. Отношение ~ рефлексивно: l~(М, М), так как (ММ1 PL) = (ММ PL) = 1 > 0, где М1 – точка пересечения прямых МP и K1М.

2. Если l~(A, B), то l~(B, А). Действительно, по определению условие l~(A, B) означает, что точки A, B2 не разделяют пару точек P, L (рис. 25), то есть (AB2 PL) > 0. Но (AB2 PL) = ((K2 A)(K2 B2) l2l1) = (A2B PH).

Следовательно, пара точек A2, B не разделяет пару точек P, H, то есть согласно определению отношения ~ выполняется условие l~(B, А). Таким образом, отношение ~ симметрично.

3. Если l~(A, B) и l~(В, C), то l~(A, C). В обозначениях рисунка условия l~(A, B) и l~(В, C) равносильны соответственно неравенствам:

(AB1 PL) > 0 и (ВС1 PH) > 0.

Последнее неравенство дает:

(ВС1 PH) = ((K1В)(K1С1) l1 l) = (В1С2 PL) > 0.

Поэтому (АС2 PL) = (AB1 PL)(В1С2 PL) > 0.

Следовательно, точки А, С2 не разделяют пару точек P, L, то есть имеет место условие l~(A, C). Отношение ~ транзитивно.

Пусть A некоторая точка заданного абсолютного угла, а l – данная прямая. На прямой АР построим точку А', гармонически разделяющую с точкой А пару точек Р и L, где L – точка пересечения прямых l и АР. Тогда для каждой точки X1 прямой АР выполняется и притом только одно из неравенств: (AX1 PL) > 0, или (A'X1 PL) > 0.

Следовательно, для каждой точки X данного абсолютного угла, не принадлежащей прямой l, выполняется и притом только одно из условий:

l~(A, X), или l~(А', X) (для точек В, С, F на рисунке 25 выполняются условия:

l~(A, В), l~(A, С), l~(A', F)).

Таким образом, прямая l разбивает по отношению ~ множество всех точек заданного абсолютного угла на два непустых непересекающихся класса. Каждый класс назовем квадрантом, определенным данной прямой l (или квадрантом относительно прямой l). Очевидно, каждая неизотропная прямая делит всю копсевдоевклидову плоскость на четыре квадранта.

2. Получим аналитическую запись условия принадлежности двух точек плоскости одному квадранту относительно некоторой прямой.

Пусть неизотропная прямая l задана в каноническом репере R уравнением:

u1x1 + u2 x2 + u3x3 = 0.

(28) Точка пересечения прямых l и l1 имеет координаты: K1(–u3 : –u3 : u1+u2).

Данным точкам А, В в репере R присвоим координаты: A (a1 : a2 : a3), B (b1 : b2 : b3). Тогда уравнение прямой K1B имеет вид:

x1(- u1b2 - u2b2 - u3b3)+ x2(u1b1 + u2b1 + u3b3)+ x3u3(b1 -b2) = 0.

(29) Точки L и В1 пересечения прямой АР с прямыми l и K1B соответственно имеют в репере R координаты:

L(- a1u3 : -a2u3 : a1u1 + a2u2 ), B1(a1u3(b2 -b1) : a2u3(b2 -b1) : a2(u1b1 + u2b1 + u3b3) - a1(u1b2 + u2b2 + u3b3)).

Условие принадлежности точек A и B одному квадранту относительно прямой l имеет вид: (АB1 LP) > 0, или в координатах:

(b1 - b2)(a1u1 + a2u2 + a3u3) > 0.

(30) (a1 - a2)(b1u1 + b2u2 + b3u3) Отметим, что по условию точки А и В принадлежат одному абсолютному углу, следовательно, их координаты связаны условием (22).

1.6 Лучи и отрезки неизотропной прямой 1. Пусть K1, K2 – точки пересечения неизотропной прямой t с абсолютными прямыми l1, l2. Можно показать, что каждая точка А некоторой ветви прямой t разделяет множество всех точек этой ветви на два класса (рис. 26). Одному классу принадлежат точки, попарно не разделяющие никакую из пар точек Ki, А, i = 1, 2. Каждый класс назовем лучом с началом в точке A. Обозначение: АK1, AK2.

2. На некоторой ветви неизотропной прямой t выберем произвольно пару точек А, В. На прямой t найдется единственная пара ортогональных точек S, S0, гармонически разделяющих пару точек A и B (рис. 26). Точки S, S0 ортогональны, то есть (SS0 K1 K2) = –1 < 0, поэтому одна и только одна из них принадлежит ветви, обозначим ее S, вторую точку обозначим S0.

Точки А, В и множество всех точек ветви, не разделяющих с точкой S • пару А, В, назовем отрезком АВ. Точки K1 • SА и В назовем концами отрезка АВ, • Kточку S – серединой отрезка АВ, а точку S0 – квазисерединой отрезка АВ.

Длиной отрезка АВ назовем S • B(A) A(B) • модуль расстояния |AB| между концами • отрезка, определенного формулой (15).

Рис. Концы отрезка по определению принадлежат одному абсолютному углу, поэтому для них справедливо неравенство (21), тогда согласно формуле (15) длина отрезка – число действительное.

Пусть X, Y – некоторые точки отрезка АВ, по определению:

(XS AB) > 0 и (YS AB) > 0.

Тогда (XY AB) = (XS AB)(SY AB) = (XS AB):(YS AB) > 0.

Следовательно, любая пара точек отрезка не разделяет его концы.

Рассмотрим множество всех точек ветви, не принадлежащих отрезку АВ. Пусть U, V – любые точки из. Тогда (US AB) < 0 и (VS AB) < 0, следовательно, (UV AB) = (US AB)(SV AB) = (US AB):(VS AB) > 0.

То есть любые две точки множества не разделяют концы отрезка АВ.

Рисунок 26 для наглядности выполнен с учетом замкнутости проективной прямой t, ветвь изображена дугой K1ABK2.

Если K1, K2 – точки пересечения прямой t прямыми абсолюта, то, учитывая принадлежность точек U, V одной ветви, получаем неравенство:

(UV K1 K2) > 0. (31) Пусть пара точек U, V разделяет пару точек K1, A, то есть (UV K1 A) < 0, тогда при выполнении неравенства (31) получаем:

(UV K2 A) = (UV K2 K1)(UV K1 A) < 0, (UV K1 B) = (UV K1 A)(UV AB) < 0, (UV K2 B) = (UV K2 A)(UV AB) < 0.

Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 | 18 |   ...   | 34 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.