WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |   ...   | 34 |

3. Единичные точки Е12 = А1 + А2, Е21 = А1 – А2 неизотропной координатной прямой А1А2 принадлежат абсолютным прямым (1) l1, lсоответственно.

Согласно первому свойству реперов третья координатная вершина Аопределена однозначно уравнениями (1), ее задание не требует введения параметра. Один параметр потратим на задание прямой, проходящей через точку А3, например, прямой A1A3. Еще один параметр израсходуем на задание точки A1 на прямой A1A3. Положение прямой A1A3 однозначно определяет положение прямой A2A3, гармонически разделяющей с прямой A1A3 пару абсолютных прямых. Расходуя один параметр, построим точку A2 на прямой A2A3. Положение вершин координатного репера однозначно определено заданием трех параметров.

E12(1:1: 0),E21(-1:1: 0) На прямой A1A2 однозначно определена пара точек пересечения этой прямой с прямыми абсолюта. На прямой A3E12, расходуя E(1:1:1) один параметр, выберем единичную точку координатного репера.

Таким образом, однозначное задание единичной точки и вершин канонического репера зависит от четырех параметров. Следовательно, на копсевдоевклидовой плоскости существует 4 канонических реперов.

3. Абсолют копсевдоевклидовой плоскости разбивает множество всех ее собственных точек на два непустых непересекающихся множества.

Определим эти множества следующим образом.

Если две точки А и В копсевдоевклидовой плоскости не разделяют точки пересечения прямой АВ прямыми абсолюта, то будем говорить, что точки А и В находятся в отношении. Обозначение: А В.

Отношение является отношением эквивалентности.

Действительно, условие А В равносильно неравенству ((PA)(PB) l1l2) > 0.

Поэтому для отношения выполняются следующие три утверждения.

1. Отношение рефлексивно: А А, так как ((PA)(PA) l1l2) = 1 > 0.

2. Отношение симметрично: если А В, то В А. Так как если ((PA)(PB) l1l2) > 0, то ((PB)(PA) l1l2) = ((PA)(PB)l1l2 ) > 0.

3. Отношение транзитивно: если А В и В С, то А С. Так как если ((PA)(PB) l1l2) > 0 и ((PB)(PC) l1l2) > 0, то ((PA)(PC) l1l2) = ((PA)(PB) l1l2) ((PB)(PC) l1l2) > 0.

В предыдущих рассуждениях A, B, C – произвольные точки плоскости.

Разобьем по отношению множество всех точек копсевдоевклидовой плоскости на классы.

Если две точки находятся в отношении, то отнесем эти точки в один класс, точки, не находящиеся в отношении, поместим в различные классы.

Пусть М – произвольная точка плоскости, а М' – любая точка изотропной прямой, ортогональной к прямой РМ. Тогда ((PМ)(PМ') l1l2) = – 1 < 0.

Следовательно, точки М и М' принадлежат различным классам по отношению. Для любой собственной точки Н копсевдоевклидовой плоскости выполняется условие:

((PМ )(PН) l1l2)((PН)(РМ ) l1l2)= ((PМ )(РМ ) l1l2)<.

Поэтому для точки Н справедливо одно и только одно из двух условий:

Н М, или Н М'. То есть любая собственная точка плоскости принадлежит либо классу, содержащему точку М, либо классу, содержащему точку М'.

Таким образом, фактор-множество K2 / содержит два элемента.

Каждый элемент назовем абсолютным углом копсевдоевклидовой плоскости.

Если на копсевдоевклидовой плоскости задан некоторый канонический репер R, то абсолютный угол, содержащий первую координатную вершину, будем называть первым абсолютным углом относительно репера R, другой абсолютный угол – вторым абсолютным углом относительно репера R.

Пусть в данном каноническом репере R={A1, A2, A3, E} некоторая точка копсевдоевклидовой плоскости задана своими координатами: M (m1 : m2 : m3).

По определению точка M принадлежит первому (второму) абсолютному углу в репере R, если ((PM )(PA1) l1l2)> 0 (((PM )(PA1) l1l2)< 0).

В координатах последние неравенства имеют соответственно вид:

2 2 2 m1 - m2 (m1 - m2 < 0) > 0. (4) 1.2 Преобразование координат точек копсевдоевклидовой плоскости. Согласование и ориентация копсевдоевклидовой плоскости 1. Пусть R = {A1, A2, A3, E} и R' = {A'1, A'2, A'3, E'} – канонические реперы копсевдоевклидовой плоскости, и вершины репера R' в репере R имеют координаты:

A1(a11 : a21 : a31), A2(a12 : a22 : a32), A3(a13 : a23 : a33), E (a10 : a20 : a30 ).

Выразим координаты (x1: x2: x3) произвольной точки X плоскости в репере R через ее координаты (x'1: x'2: x'3) в репере R'.

Предположим, что столбцы матрицы а11 а12 а13 а а а22 а23 а20 (5) а а32 а33 а перехода от репера R к реперу R' согласованы [2, стр.19]. Учитывая свойства канонических реперов копсевдоевклидовой плоскости (п. 2, §1), найдем условия, связывающие коэффициенты матрицы (5).

Третья вершина каждого канонического репера совпадает с общей точкой абсолютных прямых, то есть одна и та же для всех канонических реперов. Следовательно, в матрице (5) а13 = а23 = 0.

Единичные точки каждой неизотропной координатной прямой принадлежат прямым абсолюта. Поэтому координаты точек Е'12 = А'1 + А'2, Е'21 = А'1 – А'2 репера R' удовлетворяют одному из уравнений (1).

Следовательно, имеют место равенства:

а11 + a12 = (а21 + а22), а11 - а12 = -(a21 - а22), = ±1.

Таким образом, коэффициенты матрицы (5) связаны условиями:

a21 = а12, а22 = a11, а13 = а23 = 0, = ±1.

(6) При условиях (6) вершины репера R' в репере R имеют координаты:

A1(a11 : a12 : a31), A2(a12 : a11 : a32), A3(0 : 0 : а33), E (a10 : a20 : a30), (7) в силу согласованности столбцов матрицы (5) связанные условиями:

а11 + a12 = а10, (а11 + а12) = а20, а31 + а32 + а33 = а30.

(8) Следовательно, формулы преобразования проективных координат точек копсевдоевклидовой плоскости при переходе от репера R к реперу R' имеют вид:

x1 = a11x1 + a12x2, x2 = a12x1 + a11x2, (9) x3 = a31x1 + a32x2 + a33x3.

2. Пусть W – множество всех канонических реперов копсевдоевклидовой плоскости, а R и R' – произвольные реперы из W, причем вершины репера R' в репере R имеют координаты (7) при условиях (8).

Вершины А'1, А'2 репера R' не принадлежат абсолюту, значит, их координаты в любом каноническом репере, в частности, в репере R не а11 удовлетворяют уравнениям (1), поэтому - а12 0. Для действительного 2 числа = а11 - а12 остаются возможными два варианта: 1) > 0 ; 2) < 0.

Неравенства из 1), 2) определяют взаимное расположение вершин А1, А'реперов соответственно R и R' относительно абсолютных углов.

Действительно, если Р – общая точка абсолютных прямых, то 2 а11 + а12 а11 - а ((PА1)(PA1) l1l2)= = =.

2 2 (10) а11 - а(а11 - а12) (а11 - а12) Поэтому неравенство > 0 ( < 0) означает, что вершины А1, А'принадлежат одному абсолютному углу (различным абсолютным углам). То есть при > 0 ( < 0) порядок следования абсолютных углов относительно реперов R и R' один и тот же (различный). Указанный геометрический смысл неравенств из 1), 2) обеспечивает их инвариантность относительно всех копсевдоевклидовых преобразований.

Если > 0, реперы R и R' назовем согласованными и будем говорить, что они находятся в отношении. Обозначение: R R'. В противном случае, при < 0, реперы R и R' назовем несогласованными.

Геометрический смысл неравенства > 0, очевидно, приводит к утверждению: отношение является отношением эквивалентности на множестве W.

Приведем и аналитическое доказательство данного утверждения.

1. – рефлексивно. Действительно, первая вершина репера R имеет в этом репере координаты: А1(1:0:0). Поэтому в формулах (9) перехода от репера R к самому себе:

а12 = 0, а11 0.

2 Следовательно, = а11 - а12 > 0 и R R.

2. – симметрично. Действительно, из формул (9) так как 0 находим x1 a11x1 a12 x = -, x2 - a12 x1 a11x = +.

(a11 :a21 :a31), (a12 :a22 :a32) Следовательно, для координат соответственно вершин А1, А2 репера R в репере R' имеет место равенство:

2 а12 2 2 а11 - а11 - а12 = =.

2 Очевидно, если > 0, то = а11 - а12 > 0. Таким образом, если R R', то R' R.

3. – транзитивно. Действительно, если формулы перехода от репера R к реперу R' имеют вид (9), от репера R' к реперу R'' – вид:

x1 = b11x1 + b12x2, x2 = b12x1 + b11x2, () x3 = b31x1 + b32x2 + b33x3, а от репера R к реперу R'' – вид:

x1 = c11x1 + c12x2, x2 = c12x1 + c11x2, () x3 = c31x1 + c32x2 + c33x3, то, подставляя значения координат (x'1: x'2: x'3) из формул () в формулы (9) и сравнивая полученный результат с формулами (), приходим к равенству:

2 2 с11 - с12 = (a11b11 + a12b12 ) - (a11b12 + a12b11) = 2 2 2 = (a11 - a12 )(b11 - b12 ).

2 2 2 2 а11 2 и, то Если - а12 > 0 b11 - b12 > 0 c11 - c12 > 0.

Следовательно, если R R' и R' R'', то R R''.

Что и требовалось доказать.

Множество W всех канонических реперов копсевдоевклидовой плоскости разобьем на классы по отношению таким образом, чтобы любые два репера одного класса находились в отношении, а любые два репера различных классов были несогласованными. Покажем, что фактормножество W / состоит из двух элементов.

Выберем из W два репера: R = {A1, A2, A3, E} и R' = {A2, A1, A3, E}. По свойству 2 (п. 2, §1) канонических реперов копсевдоевклидовой плоскости точки А1, А2, первые вершины реперов R и R' соответственно, принадлежат различным абсолютным углам. Поэтому реперы R и R' определяют различные элементы фактор-множества W /. Первая вершина произвольного репера R'' из W принадлежит одному из двух абсолютных углов, то есть принадлежит одному абсолютному углу с одной и только одной из точек А1, А2. Это означает, что каждый репер из W попадает в класс, определенный или репером R, или репером R'. Таким образом, существует точно два элемента фактор-множества W /.

Каждый элемент фактор-множества W / назовем согласованием множества W всех канонических реперов копсевдоевклидовой плоскости.

Одно из согласований множества W, произвольно выбранное, назовем положительным, другое – отрицательным. Все реперы положительного согласования назовем правосогласованными, а реперы отрицательного согласования – левосогласованными.

Копсевдоевклидову плоскость K2 назовем согласованной, если на множестве W указано согласование, которое будем считать положительным.

Чтобы задать положительное согласование множества W достаточно выбрать в качестве правосогласованного произвольный репер этого множества.

3. Будем говорить, что произвольные реперы R и R' из множества W всех канонических реперов копсевдоевклидовой плоскости находятся в отношении и называть их одинаково ориентированными, если в формулах (9) перехода от репера R к реперу R' = 1. Обозначение: R R'.

Как и на коевклидовой плоскости (гл. 2, ч. 1) геометрический смысл отношения заключается в следующем: одинаково ориентированные реперы R и R' из W имеют один и тот же порядок следования абсолютных прямых.

Очевидно, что отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, следовательно, является отношением эквивалентности на множестве W.

Множество W разобьем на классы эквивалентности по отношению.

Покажем, что фактор-множество W / содержит точно два элемента.

Выберем из множества W два репера: R = {A1, A2, A3, E} и R' = {A1, A2, A3, E'}, где Е' = А1 – А2 + А3. Вершины репера R' в репере R заданы координатами:

A1 (1:0:0), A2 (0:1:0), A3 (0:0:1), E' (1: –1:1).

Матрица перехода от репера R к реперу R' 1 0 0 0 1 0 -1 (11) 0 0 1 после согласования ее столбцов принимает вид:

1 0 0 0 -1 0 -1. (12) 0 0 1 В соответствующих формулах перехода от репера R к реперу R' = –1.

Следовательно, реперы R и R' определяют различные элементы фактормножества W /, то есть в реперах R и R' различный порядок следования абсолютных прямых. Абсолют копсевдоевклидовой плоскости состоит из двух прямых, поэтому порядок их следования в произвольном репере R'' из W совпадает с порядком следования этих прямых либо в репере R, либо в репере R'. Таким образом, каждый репер из W попадает в класс, определенный или репером R, или репером R'. То есть на множестве W существует точно два класса эквивалентности по отношению.

Каждый элемент фактор-множества W / назовем ориентацией множества W. Одну, произвольно выбранную, ориентацию множества W назовем положительной, другую – отрицательной. Все реперы положительной ориентации назовем правыми, а реперы отрицательной ориентации – левыми.

Копсевдоевклидову плоскость K2 назовем ориентированной, если на множестве W задана положительная ориентация. Задать положительную ориентацию можно, считая правым произвольно выбранный канонический репер. Каждое преобразование группы Q первого (второго) рода не изменяет (изменяет) ориентацию плоскости.

1.3 Типы прямых копсевдоевклидовой плоскости. Инвариант двух точек неизотропной прямой 1. Все действительные прямые копсевдоевклидовой плоскости (рис. 24) либо проходят через общую точку P абсолютных прямых, такие прямые будем называть изотропными, либо не содержат точку Р и, следовательно, имеют две бесконечно удаленные точки, назовем их неизотропными. В принятой терминологии [8, стр. 155] K• неизотропные прямые копсевдоевклиlP Kдовой плоскости – гиперболические, изотропные – параболические, или B l2 a аффинные.

A b Свойство прямой быть изотропной (неизотропной), очевидно, является Рис. инвариантным относительно всех копсевдоевклидовых преобразований.

Далее копсевдоевклидову плоскость будем считать ориентированной.

Для изотропных прямых копсевдоевклидовой плоскости в силу наличия одной бесконечно удалённой точки P и соответствующего выбора канонического репера справедливы все рассуждения, проведенные для изотропных прямых плоскости коевклидовой (§4, глава 1, часть I).

Через каждую точку копсевдоевклидовой плоскости проходит одна и только одна изотропная прямая. Причем любые две точки одной изотропной прямой находятся в отношении. Следовательно, каждая изотропная прямая за исключением ее несобственной точки полностью принадлежит одному из двух абсолютных углов.

Уравнение изотропной прямой копсевдоевклидовой плоскости имеет вид:

x1 + µx2 = 0, (13) где 2 + µ2 0.

Две точки А и В назовем коллинеарными, если они принадлежат одной изотропной прямой. Обозначение: А||B.

Условие коллинеарности точек А (а1 : а2 : а3) и В (b1 : b2 : b3), заданных в некотором каноническом репере, в координатах имеет вид:

a1 : a2 = b1 : b2. (14) Следовательно, коллинеарность точек равносильна пропорциональности двух первых координат этих точек в некотором каноническом репере.

2. Все неизотропные прямые содержат две несобственные, бесконечно удаленные точки, поэтому каждая неизотропная прямая копсевдоевклидовой плоскости состоит из двух связных частей, как гипербола евклидовой плоскости. Каждая часть целиком принадлежит одному абсолютному углу.

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |   ...   | 34 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.