WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 34 |

Пусть прямая m (X1: X2: X3) принадлежит множеству. Тогда (F, m) = md. (42) В координатах условие (42) имеет вид X + X X X 2 1 - + = 2. (43) X X X 3 3 После соответствующих преобразований получаем уравнение X12 = X X 2 3. (44) Для прямой коевклидовой плоскости, однородные координаты которой удовлетворяют уравнению (44), очевидно, выполняется условие (42).

Следовательно, уравнение (44), определяющее в тангенциальных координатах копараболу коевклидовой плоскости, является уравнением рассматриваемого множества прямых. Что и требовалось доказать.

Данную прямую d и данную точку F будем называть соответственно директрисой и фокусом копараболы.

Непосредственная проверка показывает, что директриса копараболы является полярой ее фокуса относительно самой копараболы.

В однородных координатах относительно текущей точки линии уравнение (44) имеет вид (23). Точки пересечения копараболы абсолютными прямыми имеют проективные координаты (i:–:1), (–i:–:1) и принадлежат прямой d. Согласно рассуждениям пункта 4 §4 прямая d содержит центр копараболы.

Таким образом, директриса копараболы соединяет мнимо сопряженные точки пресечения копараболы абсолютными прямыми, а значит, не имеет с линией действительных общих точек, и содержит центр копараболы.

Изотропная касательная копараболы (23) имеет уравнение: x2 = 0.

Следовательно, ортогональная ей изотропная прямая q(1:0:0) содержит фокус F копараболы. Назовем прямую q фокальной осью копараболы.

Прямую, проходящую через центр копараболы и ее фокус, назовем центральной осью копараболы, в дальнейшем будем обозначать ее f.

Центральная ось f пересекает копараболу в двух действительных точках:

F1(–::1), F2(::1), гармонически разделяющих центр и фокус линии.

Заметим, что расстояния от фокуса до этих точек не зависят от коэффициента, то есть одни и те же для всех копарабол.

Действительно, cos FF1 = cos FF2 = =, 2 2 + FF1 = FF2 = / 4.

то есть 6. Покажем, что множество всех точек коевклидовой плоскости, абсолютная величина разности квадратов расстояний от которых до данных неизотропных прямых а и b есть постоянная величина, является копараболой.

Канонический репер R выберем таким образом, чтобы прямые а и b были заданы в нем уравнениями:

a : 2x2 + x3 = 0, b : x3 = 0, (45) где 0, так как прямая а – неизотропная. Для построения такого репера при фиксированном значении потребуется израсходовать четыре параметра.

Расстояния от точки М (x1: x2: x3) до прямых a и b, вычисленные по формуле (46) главы 2, равны:

2x2 + x3 x1 = (M, a) =, 2 = (M,b) =.

(46) 2 2 2 x1 + x2 x1 + xРавенство 2 1 - 2 = 2 (47) приводит к однородному уравнению второй степени относительно координат точки М:

2 2 2 2x1 + ( 2 - 4)x2 - 4x2x3 = 0.

(48) Определитель матрицы коэффициентов уравнения (48) равен и в общем случае отличен от нуля, кроме того, уравнение не содержит квадрата третьей координаты точки М. Следовательно, множество точек, определенное уравнением (48), является невырожденной линией второго порядка, проходящей через действительную абсолютную точку Р(0:0:1), то есть является копараболой. Полагая = 2 : ||, от уравнения (48) перейдем к каноническому уравнению (23) копараболы. Таким образом, если точка М принадлежит множеству, то она принадлежит копараболе (23).

Обратно. Пусть точка М (x1: x2: x3) принадлежит копараболе (23). Через центр А1 копараболы проведем неизотропные прямые а и b, образующие угол = 2 : ||, так, чтобы прямая b являлась касательной к копараболе в точке А2, а прямая а разделяла с прямой А1Е23, Е23 = А2 + Р, пару касательных b и А1Р к копараболе в отношении (– 2 : ||).

Тогда прямые а и b в присоединенном репере копараболы будут иметь уравнения (45). Для точки М, очевидно, выполняется условие (47), где = и 1 = (M,a), 2 = (M,b).

Что и требовалось доказать.

7. Предлагаем читателю самостоятельно доказать, что каждую невырожденную овальную линию коевклидовой плоскости можно рассматривать как огибающую множества прямых, отношение расстояния от которых до данной точки F к мере угла, образованного с данной прямой d, есть постоянная величина.

Данные прямую d, точку F, и величину будем называть соответственно директрисой, фокусом и эксцентриситетом овальной линии.

Эксцентриситет копараболы, очевидно, равен единице.

5.6 Геометрический смысл коэффициентов канонических уравнений овальных линий 1. Пусть коэллипс задан каноническим уравнением (19), или в тангенциальных координатах – уравнением (20). Пусть для определенности и – положительные числа, причем, >.

Центрами коэллипса (19) являются координатные вершины A1(1:0:0), A2(0:1:0) канонического репера R. Найдем углы между касательными к коэллипсу, проведенными через его центр.

Прямая k, проходящая через точку A1, имеет в репере R уравнение:

x3 = tx2, (49) где t – параметр прямой.

Координаты общих точек коэллипса и прямой k удовлетворяют системе уравнений (19), (49). Следствием указанной системы является уравнение:

2 2 2 x1 = x2 (t2 - ), (50) которое дает значения параметра t для касательных k1, k2 коэллипса: t = ; –.

Угол между касательными k1 : x2 - x3 = 0, k2 : x2 + x3 = k1k2 = 2.

найдем по формуле (42) главы 2:

Аналогично находим угол между касательными h1 : x1 - x3 = 0, h2 : x1 + x3 = 0, h1h2 = проходящими через центр A2 коэллипса. Имеем, где > 0.

Через каждую точку полярной оси коэллипса, в нашем случае прямой А1А2 (x3 = 0), проходит пара касательных к линии. Координаты (X1: X2: X3) каждой касательной удовлетворяют уравнению (20). Поэтому пару d1, dкасательных коэллипса (20), пересекающихся на его полярной оси, можно задать уравнениями:

X12 X d1,2 : X1x1 + X x2 ± + x3 = 0, 2 2 (51) где (x1: x2: x3) – однородные координаты текущей точки касательной.

Действительно, точка пересечения прямых (51) имеет в репере R координаты:

(–X2: X1:0) и принадлежит полярной оси коэллипса.

Угол между прямыми d1, d2 обозначим 2:

X12 + X d1d2 = 2 = 2.

2 2 2 (52) X12 + X Так как числа,, – действительные положительные и <, имеет место неравенство:

< <. (53) Таким образом, 2, 2 – соответственно наименьший и наибольший угол между касательными коэллипса, проходящими через некоторую точку его полярной оси. Назовем эти углы соответственно меньшим и большим полярными углами коэллипса.

Прямые k1, k2 и h1, h2, проходящие через центр коэллипса и образующие соответственно меньший и больший полярные углы, назовем главными полярными касательными коэллипса.

Определенный геометрический смысл коэффициентов канонического уравнения коэллипса позволяет утверждать, что числа, являются инвариантными относительно всех движений коевклидовой плоскости.

2. Для когиперболы, заданной каноническим уравнением (21), или каноническим уравнением в тангенциальных координатах (22), координатная вершина A1(1:0:0) является внутренним, а вершина A2(0:1:0) – внешним центром. Пусть для определенности и – положительные числа.

Комплексно сопряженные касательные k1 : i x2 - x3 = 0, k2 : i x2 + x3 = когиперболы, проходящие через внутренний центр, образуют мнимый угол величиной 2i. Действительные касательные h1 : x1 + x3 = 0, h2 : x1 - x3 = 0, проходящие через внешний центр линии, образуют действительный угол величиной 2.

Для любой пары d1, d2 касательных когиперболы, пересекающихся на полярной оси, имеем 2 X + X 1 d d = 1 2, (54) X X 1 2 X12 X X1 : X : ± где – однородные координаты прямых d1, d2.

2 Возможны следующие случаи.

1. Знаменатель подкоренного выражения в равенстве (54) меньше нуля.

Тогда прямые d1, d2 мнимо сопряженные, а действительная точка их пересечения находится внутри когиперболы. Выражение (54) в этом случае определяет мнимый угол, обозначим его 2i.

Для действительных величин и имеет место неравенство: >.

Назовем прямые k1, k2 главными мнимыми полярными касательными когиперболы, а угол, образованный этими прямыми – меньшим мнимым полярным углом когиперболы.

2. Знаменатель подкоренного выражения равенства (54) равен нулю.

Тогда d1, d2 – совпавшие изотропные касательные когиперболы имеют однородные координаты: d1,2 (: : 0), или d1,2 (–: : 0). Полярный угол в каждом из указанных случаев не определен.

3. Знаменатель подкоренного выражения в равенстве (54) больше нуля.

Действительные прямые d1, d2 пересекаются в точке, внешней по отношению к когиперболе. Выражение (54) определяет действительный угол 2.

Так как, – действительные положительные числа, то <.

Угол 2 назовем меньшим действительным полярным углом когиперболы, а прямые h1, h2, образующие этот угол, – главными действительными полярными касательными когиперболы.

Геометрический смысл коэффициентов, канонического уравнения когиперболы показывает, что эти коэффициенты являются инвариантными относительно всех движений коевклидовой плоскости.

3. Пусть копарабола задана каноническим уравнением (23), или уравнением в тангенциальных координатах (44). Тогда неизотропная касательная k копараболы, проходящая через ее центр A1(1:0:0), имеет уравнение x3 = 0 и образует с центральной осью копараболы f = A1F : x2 – x3 = угол величиной.

X h X : : X Пусть 1 3 – некоторая неизотропная касательная 4 X копараболы (44). Определим величину угла между этой касательной и центральной осью f:

X12 Xhf = + + = 2 2. (55) X 4X 3 Если прямая h проходит через центр копараболы, то она совпадает с прямой k. Тогда и только тогда выполняется равенство: =. Очевидно, в любом другом случае выполняется неравенство: <.

Прямую k будем называть центральной касательной копараболы.

Угол, который центральная касательная образует с центральной осью копараболы, назовем центральным углом копараболы, а его меру – центральным параметром копараболы.

Очевидно, центральный параметр копараболы, а, следовательно, и коэффициент канонического уравнения копараболы, является инвариантным относительно всех движений коевклидовой плоскости.

Часть II. Геометрия копсевдоевклидовой плоскости Глава 1. Проективные инварианты копсевдоевклидовой плоскости 1.1 Абсолют и фундаментальная группа копсевдоевклидовой плоскости. Семейство канонических реперов. Абсолютные углы 1. Проективную плоскость P2 с фиксированной вырожденной квадрикой Г AП, состоящей из пары действительных прямых, назовем копсевдоевклидовой Г AП плоскостью. Вырожденную квадрику будем называть абсолютной квадрикой, или абсолютом копсевдоевклидовой плоскости. С его помощью на копсевдоевклидовой плоскости можно ввести гиперболическое измерение расстояний между точками и параболическое измерение углов между прямыми [3], [5, стр. 190-193], [7].

Г K2 = P2 \ AП Точки множества назовем собственными точками копсевдоевклидовой плоскости, а точки самой квадрики – несобственными, или абсолютными, или бесконечно удаленными точками копсевдоевклидовой плоскости.

Абсолют копсевдоевклидовой плоскости соответствует по принципу двойственности абсолюту псевдоевклидовой плоскости, состоящему из действительной прямой и пары действительных точек на ней [6], [7].

Следовательно, копсевдоевклидова геометрия на плоскости может быть получена из псевдоевклидовой по малому принципу двойственности.

Мы, следуя идеи Ф. Клейна, определим геометрию копсевдоевклидовой плоскости как совокупность свойств, инвариантных относительно группы копсевдоевклидовых преобразований, являющейся подгруппой группы проективных преобразований.

На плоскости P2 выберем проективный репер R = {A1, A2, A3, E}, в котором прямые l1 и l2, определяющие абсолютную квадрику, заданы соответственно уравнениями:

x1 = x2 и x1 = -x2.

(2) Тогда точка Р пересечения прямых l1 и l2, совпадает с координатной вершиной A3 выбранного репера, а уравнение 2 x1 - x2 = (2) Г AП определяет вырожденную квадрику.

Построение псевдоевклидовой геометрии на основе векторной аксиоматики Вейля предложено в пособии [7].

Выделим из группы проективных преобразований плоскости PГ AП множества преобразований Q1 и Q2, относительно которых фигура остаётся инвариантной. Пусть множество Q1 содержит все проективные преобразования плоскости P2, в которых абсолютные прямые l1 и lявляются двойными, а множество Q2 – все преобразования, переводящие абсолютные прямые l1 и l2 друг в друга.

Преобразования множеств Q1 и Q2 назовём линейными преобразованиями копсевдоевклидовой плоскости первого и второго рода соответственно.

Если матрица a11 a12 a a a22 a23, a a32 a где det || aij || 0, i, j = 1, 2, 3, определяет проективные преобразования плоскости P2, то в репере R множества Q1 и Q2 изоморфны множествам невырожденных матриц соответственно вида:

a11 a12 a11 a12 a12 a11 - a12 - a11 и.

a a32 aa31 a32 a 31 Таким образом, множество всех линейных преобразований копсевдоевклидовой плоскости состоит из двух связных компонент Q1, Q2 и может быть задано невырожденной матрицей вида:

a11 a12 a a11, (3) a31 a32 a а11 где = ±1, - а12 0,а33.

Преобразования, заданные матрицей (3), образуют группу. Назовем ее фундаментальной группой Q преобразований копсевдоевклидовой плоскости.

Преобразования группы Q будем называть копсевдоевклидовыми.

Первая компонента группы Q является разрешимой группой Ли, в отличие от второй, не содержащей тождественного преобразования, и, следовательно, не являющейся группой.

Множества Q1, Q2 содержат все линейные преобразования плоскости K2, и любое преобразование множеств Q1, Q2 является линейным [11, стр. 118, 119].

2. Матрица (3) содержит пять коэффициентов, определенных с точностью до общего множителя. Следовательно, группа преобразований копсевдоевклидовой плоскости зависит от четырех независимых параметров.

То есть подвижность [4] копсевдоевклидовой плоскости равна четырем.

Покажем, что семейство всех канонических реперов копсевдоевклидовой плоскости, то есть проективных реперов, допускающих задание абсолютной квадрики уравнением (2), зависит от четырех параметров.

Для этого достаточно показать, что для полной фиксации канонического репера необходимо израсходовать четыре параметра.

Действительно. Все канонические реперы копсевдоевклидовой плоскости обладают следующими свойствами.

1. Третья вершина репера совпадает с точкой Р пересечения абсолютных прямых.

2. Первая и вторая координатные вершины, а, следовательно, и проходящие через них изотропные координатные оси, гармонически сопряжены относительно абсолютных прямых.

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 34 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.