WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |   ...   | 34 |

Проведем произвольную хорду SX и обозначим точки ее пересечения с линией – K1, K2, а с абсолютными прямыми – H1, H2. По определению центра линии |SK1| = |SK2|, следовательно, (SK1 H1H2) = (K2S H1H2). Согласно лемме существует точка Т, гармонически разделяющая с точкой S пару точек K1, K2.

Очевидно, точка Т лежит на поляре точки S относительно линии, то есть на прямой q. По той же лемме (ST H1H2) = –1 для каждой секущей SX.

Следовательно, для каждой секущей SX соответствующие точки Т принадлежат изотропной прямой, ортогональной прямой SP, то есть q проходит через абсолютную точку P. По теореме о взаимности поляритета [2, стр. 60] S принадлежит поляре точки P относительно линии.

Доказана теорема.

Теорема 1. Если овальная линия коевклидовой плоскости имеет центр, то он принадлежит полярной оси данной линии.

3. Пусть S – центр невырожденной линии, заданной уравнением (1) при а33 0, а q – поляра точки S относительно.

При доказательстве теоремы 1 установлено, что изотропные прямые q и SP гармонически разделяют друг друга, то есть ((SP)q l1l2) = –1. С учетом этого прямые q и SP можно задать соответственно уравнениями:

u1x1 + u2x2 = (26) и -u2x1 + u1x2 = 0.

(27) P(0 : 0 :1) Поляра абсолютной точки относительно имеет [2, стр. 60] уравнение a13x1 + a23x2 + a33x3 = (28) и согласно доказанной теореме содержит точку S.

Система уравнений (27), (28) определяет координаты центра S линии:

S(-u1a33 : -u2a33 : u1a13 + u2a23). (29) Поляра точки S относительно линии имеет уравнение 2 x1(u1(a13-a11a33)+u2(a13a23-a21a33))+x2(u1(a13a23-a12a33)+u2(a23-a22a33))=0, или в тангенциальных координатах линии x1(u2 A12 - u1 A22 ) + x2 (u1 A12 - u2 A11) =. (30) Уравнения (26), (30) определяют одну прямую q, следовательно, их коэффициенты при переменных x1, x2 пропорциональны, то есть u2 A12 - u1A22 u1A12 - u2 A=, (31) u1 uили 2 u1 A12 + u1u2 (A22 - A11) - u2 A12 =.

Откуда A11 - A22 ± (A11 - A22 )2 + 4Au=. (32) u2 2AЕсли линия не является коокружностью, то есть одновременно не выполняются условия A11 = A22, A12 = 0, то выражение (32) дает два различных действительных отношения u1 : u2, каждое из которых определяет действительный центр линии.

Согласно лемме 1 центры линии сопряжены относительно абсолютных прямых. Непосредственная проверка доказывает, что центры линии гармонически разделяют действительные изотропные касательные к линии (см. уравнение (13) и равенство (32)). Следовательно, имеют место следующие теоремы.

P P lSkSk1 Sll2 S1 klk Рис. 19 Рис. Теорема 2. Каждая когипербола имеет два действительных ортогональных центра, гармонически разделяющих изотропные касательные линии.

Теорема 3. Каждый коэллипс, отличный от коокружности, имеет два действительных ортогональных центра, гармонически разделяющих мнимо сопряженные изотропные касательные линии.

Полярная ось когиперболы проходит через общие с изотропными касательными точки когиперболы. Поэтому согласно теореме 2 один из центров когиперболы является внутренним по отношению к линии, другой – внешним (рис. 19).

Поляра абсолютной точки относительно коэллипса не имеет с линией общих точек, следовательно, центры коэллипса являются по отношению к нему внешними точками (рис. 20).

Следствием доказанных теорем (1 – 3) и свойств полного четырехвершинника [2, стр. 42] является теорема, конструктивно определяющая положение центров коэллипсов и когипербол.

Теорема 4. Центры когиперболы (коэллипса) являются диагональными точками полного четырехвершинника, образованного точками пересечения данной линии абсолютными прямыми.

Применяя метод координат, нетрудно проверить справедливость следующих утверждений.

10. Если одна из двух комплексно сопряженных точек принадлежит овальной линии, то линии принадлежит и вторая точка.

20. Через две комплексно сопряженные точки проходит и только одна вещественная прямая.

30. Если прямая проходит только через одну из двух комплексно сопряженных точек, то она является мнимой прямой.

40. Для каждой точки мнимой прямой комплексно сопряженная точка лежит на прямой, комплексно сопряженной данной прямой.

Имеют место следующие рассуждения.

Пусть прямая абсолюта li, i = 1, 2, пересекает квадрику в точках Ai, Bi А(рис. 21), тогда, очевидно, эта четверка точек состоит двух пар комплексно lсопряженных точек. Пусть точкам A1, P B2 B1 сопряжены точки A2, BAсоответственно. Тогда прямые A1A2, BB1B2 являются действительными, а Sпрямые A1B2, A2B1 – мнимыми.

Прямые первой пары назовем Slдействительными фокальными осями когиперболы (коэллипса), а прямые Рис. второй пары – мнимыми фокальными осями когиперболы (коэллипса).

Центр линии, являющийся пересечением действительных (мнимых) фокальных осей, будем называть соответственно действительным (мнимым) центром линии. Следует помнить, что оба центра – точки действительные.

На рисунке 21 представлены центры коэллипса, как диагональные точки полного четырехвершинника, образованного пересечением линии абсолютными прямыми.

Для коэллипса, заданного каноническими уравнениями (19) при || > || (|| < ||), действительным центром является координатная вершина А1 (А2) мнимым – вершина А2 (А1). Для когиперболы, заданной уравнением (21), действительным центром является координатная вершина А2, мнимым – вершина А1.

Два коэллипса (две когиперболы) назовем сопряженными, если они имеют общие изотропные касательные и мнимый центр одного (одной) из них является действительным центром другого (другой).

Каноническое уравнение коэллипса, сопряженного коэллипсу, заданному уравнением (19), имеет вид:

2 2 2 2 x1 + x2 - x3 =.

Каноническое уравнение когиперболы, сопряженной когиперболе (21), имеет вид:

2 2 2 2 x1 - x2 + x3 =.

Пользуясь, например, каноническим уравнением когиперболы, можно показать, что мнимый центр когиперболы является ее внутренней точкой, а действительный центр – внешней (рис. 22).

P S lAq K1 Q ANHSSlP T H2 NBBk p Kl1 lРис. 22 Рис. В частном случае, если А12 = 0 и А11 А22, из равенства (31) получаем u1u2 = 0, тогда центрами линии являются точки S1(0:–a33: a23) и S2(–a33: 0: a13).

Для коокружности А11 = А22, А12 = 0. При этих условиях уравнения (26) и (30) равносильны. Следовательно, каждая изотропная прямая содержит центр коокружности. В соответствии с теоремой 1 имеет место теорема.

Теорема 5. Центром коокружности является каждая точка полярной оси данной коокружности.

4. Для общего уравнения копараболы имеет место условие (10). Поэтому для определения центра копараболы, способ, предложенный в пункте 3, непригоден. Найдем центр S копараболы, заданной уравнением (1) при условии а33 = 0.

По теореме 1 S принадлежит полярной оси p линии. Прямая p, очевидно, является касательной к линии в точке P (рис. 23).

Построим изотропную прямую q, гармонически разделяющую с прямой p пару абсолютных прямых. Проведем касательную k через собственную точку Q пересечения линии прямой q. Точку пересечения прямых p и k обозначим S. Докажем, что S является центром копараболы.

Пусть Т – произвольная точка прямой q, по построению q – поляра точки S относительно линии. Согласно определению поляры выполняется равенство:

(STK1K2 ) = -, (33) где K1, K2 – точки пересечения прямой ST с копараболой.

Учитывая, что (pq l1l2) = –1, находим (STH1H ) = -, (34) где H1, H2 – точки пересечения прямой ST абсолютными прямыми. По лемме 2 из условий (33), (34) следует равенство (SK1H1H2 ) = (K2SH1H2 ).

Таким образом, S – центр линии.

Найдем координаты центра копараболы (1), а33 = 0.

В принятых обозначениях прямые p и q имеют соответственно уравнения:

a13x1 + a23x2 = 0 a23x1 - a13x2 =,.

Координаты точки пересечения линии с прямой q имеют вид:

3 2 2 3 2 Q(-2(a13 + a13a23 ) : -2(a13a23 + a23 ) : a11a13 + 2a12a13a23 + a22a23 ), а уравнение проходящей через эту точку касательной k к линии – вид:

3 2 3 x1(a11a13 + 2a11a13a23 + 2a12a23 - a13a22a23) + 2 2 2 x2(2a12a13 + 2a13a22a23 + a22a23 - a11a13a23) + 2 2x3(a13 + a23)2 = 0.

Следовательно, центр копараболы, точка пересечения прямых k и р, имеет координаты:

2 2 2 2 2 S(-a23(a13 + a23) : a13(a13 + a23) : a12(a23 - a13) + a13a23(a11 - a22)).(35) Непосредственная проверка показывает, что центр копараболы принадлежит прямой n, соединяющей точки N1(2ia23 -2a13 :2ia13 + 2a23 :a11 -a22 -2ia12), N2(-2ia23 -2a13 :2a23 -2ia13 :a11 -a22 +2ia12) пересечения копараболы абсолютными прямыми (рис.22).

Две копараболы назовем сопряженными, если они имеют общие касательные, а отрезок каждой изотропной прямой с концами на данных копараболах имеет середину на общей неизотропной касательной копарабол.

Каноническое уравнение копараболы, сопряженной копараболе (23), имеет вид x1 + x2x3 =.

5.5 Метрическое определение овальных линий 1. Пусть f1, f2 – неизотропные прямые, 2 – мера угла между ними, а – некоторое положительное число, причем <.

Найдем огибающую множества всех прямых коевклидовой плоскости, каждая из которых образует с данными прямыми f1, f2 углы, сумма мер которых равна данной величине 2.

Канонический репер плоскости выберем таким образом, чтобы данные прямые в нем имели однородные координаты:

f1( : 0 :1), f2(- : 0 :1).

f1 f2 = 2.

По формуле (42) главы Если прямая принадлежит множеству, то для нее выполняется равенство:

mf1 + mf2 =. (36) Запишем равенство (36) в координатах:

2 2 X1 X2 X1 X - + + + + = 2, 2 XX3 X3 X или 2 2 X1 X2 X1 X 2 2.

+ X3 + X3 = 2 - - X3 + X После возведения обеих частей последнего равенства в квадрат и приведения подобных слагаемых получаем X X X 1 2 - + = - 2.

X X X 3 3 Возведем в квадрат обе части равенства и приведем подобные слагаемые. Производя замену: 2 = 2 – 2, получим уравнение (20), определяющее коэллипс в тангенциальных координатах.

Если однородные координаты прямой m удовлетворяют уравнению (20), то для прямой m выполняется равенство (36).

Действительно, из уравнения (20) находим 2 2 X X 1 X 2 2 1 = - = 2 2 2 2.

X - X X 3 3 Следовательно, 1 X 1 X 2 mf = - mf = + 1,.

X X 3 Равенство (36) выполняется с учетом того, что < и из уравнения (20) следует неравенство: |X1: X3|.

Таким образом, огибающая множества прямых является коэллипсом.

Непосредственная проверка доказывает, что данные прямые f1, f2 являются действительными фокальными осями коэллипса.

2. Проводя аналогичные рассуждения, можно показать, что когипербола является огибающей множества всех прямых коевклидовой плоскости, каждая из которых образует с данными прямыми f1, f2 углы, абсолютная величина разности мер которых равна данной величине 2.

3. В обозначениях первого пункта в случае совпадения прямых f1, f2, фокальных осей коэллипса, = 0, то есть =. Уравнение (20) в этом случае определяет коокружность. Следовательно, коокружность является частным видом коэллипса, что согласуется с типологией овальных линий (см. §2).

Определим коокружность как точечное множество.

Зафиксируем некоторую неизотропную прямую a.

Найдем множество всех точек М коевклидовой плоскости, расстояние от которых до данной прямой a есть постоянная величина, равная.

Поместим вершины A1, A2 координатного репера на прямую a. Тогда уравнение прямой a имеет вид: x3 = 0.

Определим расстояние от точки М (x1: x2: x3) до прямой a по формуле (30) главы 2 и приравняем его к :

x (M, a) = =.

(37) 2 x1 + xПосле соответствующих преобразований получаем уравнение относительно однородных координат текущей точки искомого множества:

2 2 2 2 x1 + x2 - x3 =, (38) определяющее на коевклидовой плоскости коокружность.

Если координаты некоторой точки удовлетворяют уравнению (38), то для нее выполняется условие (37). Следовательно, введенное множество точек является коокружностью.

Данную прямую a будем называть базой, а величину – высотой коокружности.

4. Определим множество всех точек коевклидовой плоскости, сумма квадратов расстояний от которых до двух данных неизотропных прямых есть постоянная положительная величина.

Пусть заданы две неизотропные прямые а и b. Выберем канонический репер R так, чтобы данные прямые в нем имели соответственно координаты:

а(0: : 1), b(0: –: 1), где – положительное число. Для этого, расходуя три параметра, координатную вершину А1 поместим в точку пересечения прямых а и b, а точкам пересечения изотропной координатной прямой А2А3 с прямыми а и b присвоим координаты: K1 (0:1: –), K2 (0:1: ). То есть вершину А2 репера поместим в середину отрезка K1K2. Очевидно, существует однопараметрическое семейство таких канонических реперов (каждый репер определен фиксированным значением ). Мера угла между прямыми а и b, вычисленная по формуле (42) главы 2, в репере R равна 2.

Определим расстояния от точки М (x1: x2: x3) до прямых a и b по формуле (46) главы 2:

x2 + x3 x2 - x1 = (M, a)=, 2 = (M,b) =.

(39) 2 2 2 x1 + x2 x1 + xУсловие 2 1 + 2 = (40) в координатах имеет вид:

x 2 2 2 x1 + - - x3 = 0.

2 (41) 2 С другой стороны, если координаты точки М удовлетворяют уравнению (41), то для точки М выполняется условие (40). Следовательно, уравнение (41) определяет множество.

По определению > 0. Следовательно, при > 22 уравнение (41) имеет вид (19) и задает коэллипс с действительным центром А1, а при < 22 – имеет вид (21) и задает когиперболу с действительным центром А2. Если = 22, то уравнение (41) определяет прямые а и b.

С другой стороны, каждое уравнение вида (19) ((21)) имеет вид (41), где > 22 ( < 22). Таким образом, каждый коэллипс (каждая когипербола) является множеством всех точек коевклидовой плоскости, сумма квадратов расстояний от которых до неизотропных прямых а и b, пересекающихся в действительном (мнимом) центре коэллипса (когиперболы) и образующих угол 2 с биссектрисой на полярной оси линии, есть постоянная величина, причем > 22 ( < 22).

5. Копараболу можно рассматривать как огибающую множества всех прямых коевклидовой плоскости, расстояние от которых до данной точки равно мере угла, образованного с данной прямой.

Действительно, выберем канонический репер так, чтобы данные прямая d и точка F имели в нем следующие однородные координаты:

d(0 :1: ); F(0 : :1), где – положительное число.

Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |   ...   | 34 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.