WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 34 |

Частным видом коэллипсов являются линии, для которых абсолютные прямые являются касательными. Будем называть такие линии коокружностями.

30. Абсолютная точка P лежит на линии. Овальная линия имеет две совпавшие действительные изотропные касательные (рис. 18). Такие линии lназовем копараболами. Для них выполняется условие (10).

k1 = kТаким образом, на коевклидовой Р плоскости существуют три типа овальных линий: когиперболы, lкопараболы и коэллипсы, в частности, Рис. коокружности.

2. Для когипербол и коэллипсов, заданных уравнением (1), выполняется условие (9). Следовательно, согласно рассуждениям предыдущего параграфа существует число, характеризующее связь между коэффициентами квадрики (1), инвариантное относительно группы преобразований коевклидовой плоскости. Определим его геометрический смысл.

Через действительную абсолютную точку проходят две изотропные касательные k1, k2 к квадрике (1), действительные или мнимые (рис. 16, 17).

Сложное отношение четырех прямых (k1k2 l1l2), где l1, l2 – абсолютные мнимо сопряженные прямые, является проективным инвариантом, а так как любая коллинеация проективной плоскости сохраняет касание фигур, то указанное сложное отношение четырех прямых является инвариантом квадрики.

Выразим косинус расстояния между изотропными касательными квадрики (1) через ее тангенциальные координаты.

Пусть прямая ki, где i = 1, 2, задана уравнением i x1 + µ x2 = 0, (11) i i + µi2 при, i = 1, 2.

i Полагая, находим уравнение µi µi µi 2 x2 a11 - 2a12 + a22 + 2x2x3a23 - a13 + a33x3 = 0, (12) i i i определяющее отношение x2 : x3 проективных координат общих точек прямой ki и квадрики (1) при условии (9).

Так как прямая ki – касательная к квадрике, то уравнение (12) имеет единственный корень, следовательно, его дискриминант равен нулю:

µi 2 µi - a11a33)+ 2 (a12a33 - a13a23)+ (a23 - a22a33)= 0, (a i i или в тангенциальных координатах µi µi A22 + 2 A12 + A11 = 0.

i i (13) Согласно формуле (18) главы 12 + µ1µcos k1k2 =.

(14) 2 1 + µ12 2 + µПреобразуем правую часть равенства (14):

µ1µ1+ 12 + µ1µ2 = = 2 2 2 1 + µ1 2 + µ2 1+ µ1 1+ µ 1 µ1µµ1µ1+ 1+ 12 = = = 2 2 2 2 2 µ1 µ2 µ1 µ µ1 µ2 µ1 µ2 µ1µ + + + + + - 2 + 1 2 1 1 2 1 µ1µ1+.

2 µ1µ2 µ1 µ -1 + + 12 1 Отношение µ : является корнем уравнения (13). По формулам Виета находим µ1 µ2 A11 µ1 µ2 A= + = -1 2 A22, 1 2 A22.

Таким образом, A11 + Acos k1k2 = ±. (15) (A11 - A22) + 4AЗнак плюс (минус) в формуле (15) соответствует положительному (отрицательному) значению координаты А22.

Левая часть равенства (15) может быть выражена через инвариант квадрики – (k1k2 l1l2), следовательно, и правая часть этого равенства является инвариантом линии. Обозначим его.

Геометрический смысл инварианта определен: – есть косинус расстояния между изотропными касательными к линии (1).

3. Уравнение (13) определяет изотропные касательные к линии (1).

AОбозначим дискриминант уравнения (13) 4. Тогда = - A11 A. Число позволит нам определить тип квадрики по ее тангенциальным координатам.

Выполняется равенство (1- 2 )(A11 + A22 )=, (16) устанавливающее связь числа с инвариантом.

Равенство (16) показывает, что знак числа зависит от модуля, следовательно, является инвариантом квадрики.

Если больше нуля (модуль при этом меньше единицы), то уравнение (13) имеет два различных действительных корня, то есть квадрика (1) имеет две действительные изотропные касательные, следовательно, является когиперболой.

Если меньше нуля (модуль больше единицы), то корни уравнения (13) мнимо сопряженные. Следовательно, квадрика имеет мнимо сопряженные изотропные касательные и является коэллипсом.

В случае, когда модуль бесконечно велик (А11 = А22, А12 = 0) квадрика касается абсолютных прямых, то есть является коокружностью.

Выразив через однородные координаты квадрики, получим:

= – а33 D, где D – определитель матрицы координат линии. Мы рассматриваем овальные линии, для которых D 0. Поэтому условие = равносильно условию (10).

Таким образом, при = 0 (модуль равен единице и выполняется условие (10)), квадрика имеет слившиеся изотропные касательные и является копараболой. Мы уже показали, что все копараболы коевклидово эквивалентны, то есть представляют самостоятельный класс овальных линий коевклидовой плоскости.

Множество всех коэллипсов и множество всех когипербол разобьем на классы таким образом, чтобы в один класс попали линии с равными инвариантами, а линии с различными инвариантами находились в различных классах.

Справедливы следующие утверждения.

1. Любые две линии одного класса коевклидово эквивалентны, то есть для каждой пары линий одного класса существует преобразование группы G, которое одну из линий переводит в другую.

2. Не существует преобразования группы G, которое линию одного класса переводит в линию другого класса.

Итак, на коевклидовой плоскости существует три типа овальных линий и бесконечное множество их классов, каждый из которых определен типом линии и значением инварианта.

5.3 Канонические уравнения овальных линий 1. Как обычно, каноническим уравнением овальной линии будем называть уравнение наиболее простого вида, определяющее линию в некотором каноническом репере.

Канонический репер, в котором уравнение квадрики имеет канонический вид, будем называть присоединенным репером квадрики.

Семейство всех канонических реперов коевклидовой плоскости зависит от четырех параметров, следовательно, пристраивая к линии наиболее удобным способом канонический репер, мы имеем право израсходовать не более четырех параметров.

2. Пусть на коевклидовой плоскости задан некоторый коэллипс.

Построим присоединенный репер R коэллипса. В каждом каноническом репере коевклидовой плоскости третья координатная вершина совпадает с действительной абсолютной точкой, которая согласно определению коэллипса является его внутренней точкой, поэтому через точку P=Aпроходят две мнимо сопряженные касательные k1, k2 коэллипса.

Существует единственная пара действительных изотропных прямых а, b, гармонически разделяющих абсолютные прямые и пару касательных k1, k2.

Затратим один параметр, совместив координатную прямую A1A3 с прямой a.

После этого однозначно определена прямая A2A3=b. Точки пересечения коэллипса с прямой а обозначим K1, K2. Точка, четвертая гармоническая к тройке точек K1, K2, A3 на прямой а, определена геометрически Очевидно, данное определение нельзя считать строгим математическим определением, так как понятие «простой вид» субъективно. По возможности, мы будем стремиться к тому, чтобы квадратичная форма, определяющая каноническое уравнение квадрики, имела канонический вид [1, стр. 268].

Доказательство этого факта проективной геометрии предлагаем читателю провести самостоятельно.

единственным образом. Поместим в эту точку первую координатную вершину A1. Этот шаг расходует еще один параметр. Очевидно, что точкам K1, K2 можем теперь присвоить координаты: K1 (1:0:) и K2 (1:0: – ), где – некоторое действительное число.

На прямой b точку А2 совместим с четвертой гармонической к тройке точек H1, H2, A3, где H1, H2 – точки пересечения прямой b с линией.

Затратим на этот шаг один параметр. Точки H1, H2 можно задать координатами: H1 (0:1: ) и H2 (0:1: – ), – действительное число.

На прямой A1A2 однозначно определена пара ортогональных точек E12(1:1: 0),E12(-1:1: 0), гармонически разделяющая пару вершин репера. На прямую A3E12 поместим единичную точку Е репера (расходуем один параметр) таким образом, чтобы выполнялось равенство:

2 1+ + (A3EF1F2 ) =, 2 1- + где F1, F2 – точки пересечения линии с прямой А3Е12. Тогда эти точки в 2 2 2 F1(1:1: + ) F2 (1:1: - + ) репере R будут иметь координаты: и.

Итак, затратив четыре параметра, мы определили канонический репер R. Назовем этот репер – присоединенным репером коэллипса. Найдем уравнение квадрики в присоединенном репере.

Любые пять точек общего положения на проективной плоскости определяют единственную овальную линию [2, стр. 65], через них проходящую. Учитывая, что точки K1, K2, H1, H2, F1 принадлежат линии, то есть их координаты удовлетворяют уравнению (1), найдем условия на координаты квадрики. Первая пара точек дает условия:

a11 + 2a13 + a332 = 0, a11 – 2a13 + a332 = 0.

Откуда a13 = 0, a11 = -a33.

(17) Следующие точки определяют равенства:

a12 = 0, a23 = 0, a22 = -a33.

(18) Таким образом, уравнение квадрики принимает вид:

2 2 2 2 x1 + x2 - x3 =. (19) Вообще, репер определен с точностью до порядка следования двух первых координатных вершин и единичных точек Е13, Е'13 на изотропной координатной прямой.

Назовем уравнение (19) каноническим уравнением коэллипса.

Переходя к тангенциальным координатам квадрики, получим уравнение X12 X + = X. (20) 2 3. Некоторые отличия появляются при построении присоединенного репера когиперболы. Существует единственная пара ортогональных изотропных прямых, гармонически разделяющих пару действительных изотропных касательных квадрики. Но только одна из этих прямых пересекает квадрику в действительных точках. Примем эту прямую в качестве координатной прямой А1А3. Согласуясь с рассуждениями предыдущего пункта, координаты точек пересечения квадрики координатными прямыми А1А3, А2А3 примем соответственно в виде:

K1 (1:0: ), K2 (1:0: –) и H1 (0:1: i), H2 (0:1: – i), где, – действительные числа. Координаты точек F1, F2 пересечения линии прямой А3Е12 при выборе единичной точки Е репера, соответствующем выполнению равенства 2 1+ - (A3EF1F2) =, 2 1- - имеют вид:

2 2 2 F1(1:1: - ), F2 (1:1: - - ).

Тогда в общем уравнении квадрики 2 a12 = a13 = a23 = 0, a11 = a33, a22 = a33.

Следовательно, в построенном присоединенном репере уравнение когиперболы имеет вид 2 2 2 2 x1 - x2 - x3 =. (21) Назовем уравнение (21) каноническим уравнением когиперболы. В тангенциальных координатах каноническое уравнение принимает вид X12 X - = X. (22) 2 4. Присоединенный репер копараболы построим следующим образом.

Вершина A3 совпадает с абсолютной точкой и лежит на копараболе.

Изотропную касательную копараболы примем в качестве координатной прямой A1A3, затратим на этот шаг один параметр. Существует единственная действительная изотропная прямая a, ортогональная прямой A1A3. Очевидно, эта прямая содержит вторую вершину координатного репера. Поместим, расходуя один параметр, вершину A2 в точку пересечения прямой a с копараболой.

Еще один параметр потратим на задание вершины A1 как точки пересечения прямой A1A3 с единственной касательной квадрики, проходящей через ее точку A2.

Построим пару действительных изотропных прямых, гармонически разделяющих пару абсолютных прямых и пару координатных прямых A1A3, A2A3. Такая пара прямых существует и притом единственная: A3E12, A3E'12.

Пусть прямая A3E12 пересекает квадрику в точке K. Единичную точку репера поместим на прямую A3E12 так, чтобы выполнялось равенство:

(KEA3E12) =, где – действительное число. Тем самым израсходован последний четвертый параметр. Присоединенный репер линии построен.

Определим уравнение копараболы в присоединенном репере.

Точки A2, A3 принадлежат линии, следовательно, в общем уравнении (1) линии a22 = a33 = 0. Прямые A1A2, A1A3 касаются линии. Поэтому a12 = a13 = 0.

Точка K в построенном репере имеет координаты: K(::1). Принадлежность точки K линии дает: a11 = – 2а23.

Таким образом, каноническое уравнение копараболы имеет вид x1 - x2 x3 =. (23) Или в тангенциальных координатах X12 = X X 2 3.

5.4 Центры овальных линий 1. Прежде чем ввести понятие центра овальной линии, докажем два факта проективной геометрии.

Лемма 1. Если для точек Q, K1, K2, H1, H2 проективной прямой выполняется условие (QK1H1H2) = (K2QH1H2), (24) то на этой прямой существует единственная точка Т такая, что (TK1H1H2 ) = (K2TH1H2 ) (25) и пара точек Q, T гармонически разделяет пары точек K1, K2 и H1, H2.

Доказательство этой леммы и следующей проведем для двух случаев:

1) точки H1, H2 – действительные; 2) точки H1, H2 – мнимо сопряженные.

Пусть в некотором проективном репере на прямой K1K2 точки Q, K1, H1, H2 имеют соответственно первому и второму случаю координаты:

Q(1: 0),K1(a1 : a2),H1(1:1),H2(-1:1), (Q(1: 0), K1(a1 : a2), H1(i :1), H2(-i :1)).

Условие (24) определяет единственную точку K2 (–a1: a2). Для точки T(t1: t2) имеет место равенство (25), поэтому t1t2 = 0. Последнему равенству удовлетворяют координаты двух точек на данной прямой: Q(1:0) и T(0:1), гармонически разделяющих пары точек K1, K2 и H1, H2, поскольку выполняются равенства (QTK1K2) = -1, (QTH1H2 ) = -.

Что и требовалось доказать.

Лемма 2. Если пара точек Q, T гармонически разделяет пары точек K1, K2 и H1, H2, то выполняются равенства (24) и (25).

Доказательство. Пусть на прямой QT в некотором проективном репере точки Q, Т и H1 имеют соответственно первому и второму случаям координаты:

Q(1: 0),T(0 :1), H1(1:1) Q(1: 0),T (0 :1), H1(i :1) и.

По условию леммы (QT H1H2) = –1, следовательно, точка H2 имеет координаты: H2 (–1:1) или H2 (–i:1). Если в заданном репере (a1: a2) – координаты точки K1, то согласно условию (QT K1K2) = –1 точка K2 имеет координаты: (–a1: a2).

Непосредственная проверка доказывает утверждение леммы.

Действительно, a1 + a2 a1 + a(QK1H1H2 ) = (K2QH1H2 ) = a1 - a2, a1 - a2, a1 + aa1 + a(TK1H1H2 ) = (K2TH1H2 ) = a2 - a1, a2 - a1.

2. Полярной осью овальной линии коевклидовой плоскости назовем поляру действительной абсолютной точки относительно данной линии.

Собственную для коевклидовой плоскости точку S назовем центром овальной линии, если модули расстояний от нее до точек пересечения линии с любой проходящей через S неизотропной прямой равны.

По принципу двойственности на плоскости евклидовой введенному объекту соответствует ось линии второго порядка как прямая, образующая равные углы с двумя касательными к линии, проходящими через произвольную точку на этой прямой.

На евклидовой плоскости оси линии второго порядка пересекаются в ее центре, а центр линии является полюсом бесконечно удаленной прямой относительно этой линии [2, стр. 76]. Естественно предположить, что на коевклидовой плоскости центры овальной линии, если они существуют, находятся на поляре абсолютной точки относительно данной линии, то есть на полярной оси линии.

Проверим это предположение.

Пусть S – центр овальной линии, а q – поляра S относительно линии.

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 34 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.