WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 34 |

Согласно проведенной классификации, преобразование, заданное матрицей A, имеет инвариантную точку K (2a33(a11 -a33):2a12a33 :-a11a31 -a12a32 +a31a33) на изотропной прямой, заданной уравнением (a11 + a33) x1 + a12x2 = 0.

(58) Все неподвижные точки изотропного сдвига на ковектор принадлежат направляющей ковектора. Следовательно, в композиции некоторого преобразования и изотропного сдвига на ковектор неподвижными могут быть только точки направляющей ковектора. Поэтому примем изотропную прямую (58) в качестве направляющей ковектора V. Тогда отношение координат ковектора V равно отношению двух первых координат этой прямой. То есть выполняется условие:

x : y = (a11 + a33 ) : a12.

(59) Матрица B должна определять центральную симметрию, поэтому ее элементы должны удовлетворять условиям (18), которые приводят к следующим уравнениям относительно x, y:

xa33 (a11 + a33 ) + ya33a12 = -a11a31 - a12a32 - a31a33, (60) xa33a12 + ya33 (a33 - a11 ) = a11a32 - a12 a31 - a32 a33.

(61) При условии (20) ранг расширенной матрицы системы уравнений (60), (61) равен единице, поэтому возможны два случая.

1. Правые части уравнений (60), (61) одновременно не обращаются в нуль, это означает, что для коэффициентов матрицы A не выполняются одновременно условия (18). Тогда движение H не является центральной симметрией.

Если правая часть уравнения (60) отлична от нуля, то уравнения (59), (60) однозначно определяют одновременно ненулевые значения x, y:

(a11 + a33)(a11a31 + a12a32 + a31a33) x = -, (62) a33((a11 + a33)2 + a12) a12 (+ a11a31 + a12 a32 + a31a33 ) y = -, 2 (63) a33 (( a11 + a33 )2 + a12 ) при которых матрица B задает симметрию с центром в точке K, а прямая PK является направляющей ковектора V.

Если правая часть уравнения (60) равна нулю, то одновременно не равные нулю значения x, y, участвующие в задании матриц B, C, можно однозначно определить из уравнений (59), (61):

(a11 + a33)(a11a32 - a12a31 - a32a33) x =, 2 (64) 2a12a(a11a32 - a12a31 - a32a33 ) y =.

2 (65) 2aМатрица B построена.

2. Правые части уравнений (60), (61) одновременно равны нулю. Это приводит к выполнению условий (18), при которых матрица A задает центральную симметрию.

Тогда система уравнений (59), (60), (61) имеет единственное нулевое решение, определяющее нулевой ковектор V.

Теорема справедлива в силу произвольного выбора движения H.

Найдем условия, при которых композиция центральной симметрии и изотропного сдвига коммутативна.

Пусть симметрия с центром в точке K задана в присоединенном каноническом репере R (K = A1(1:0:0)) формулами (56), а изотропный сдвиг на ковектор V (v1; v2) с направляющей v (v1: v2: 0) матрицей (49).

Коммутативность произведения матриц заданных преобразований приводит к равенству -1 0 0 1 0 0 1 0 -1 0 0 1 0 0 1 0 = 0 1 0 0 1 0, (66) 0 0 1- v1 - v2 1 v1 - v2 1 0 0 - из которого находим значение первой координаты ковектора V: v1 = 0.

Следовательно, направляющая v ковектора V имеет в репере R координаты:

v (0: 1: 0) и проходит через точку K, центр симметрии.

Обратно. Если направляющая v (v1: v2: 0) ковектора V содержит центр симметрии, точку K(1:0:0), то v1 = 0. Последнее условие обеспечивает выполнение равенства (66). Следовательно, композиция центральной симметрии и изотропного сдвига коммутативна.

Таким образом, справедлива теорема.

Теорема 11. Композиция центральной симметрии и изотропного сдвига на ковектор коммутативна тогда и только тогда, когда направляющая ковектора проходит через центр симметрии.

Из теоремы 11 и определения скользящего отражения непосредственно следует теорема.

Теорема 12. В скользящем отражении композиция центральной симметрии и изотропного сдвига коммутативна.

4.4 Инволюции коевклидовой плоскости Инволюционным (инволютивным) преобразованием (или инволюцией) называют нетождественное преобразование, совпадающее со своим обратным [2, стр. 50], [6, стр.62].

Термин инволюция (от лат. involutio – изгиб, свертывание, скрученное состояние молодых листьев) ввел создатель проективной геометрии Ж.Дезарг.

Пусть Н – инволюционное преобразование некоторого множества Ф, а М – произвольная точка из Ф. Тогда если Н (М) = М', то Н (М') = М.

Признак инволюционности [6, стр.63] преобразования Н можно записать в виде:

Н2 = Е, (67) где Е – тождественное преобразование.

Найдем инволюции фундаментальной группы коевклидовой плоскости.

1. Инволюции первого рода Пусть преобразование первого рода коевклидовой плоскости задано матрицей (1) при условии = 1. Определим матрицу квадрата данного преобразования.

2 a11 - a12 2a11a12 2 A = - 2a11a12 a11 - a12.

a a31 - a12a32 + a31a33 a11a32 + a12a31 + a32a33 a Матрица A задает тождественное преобразование тогда и только тогда, когда имеют место следующие равенства:

2 2 a11 - a12 = a33, a11a12 = 0, (68) a11a31 - a12a32 + a31a33 = 0, a11a32 + a12a32 + a32a33 = 0.

Из второго равенства получаем a11 = 0 или a12 = 0.

2 - a12 = aПри a11 = 0 первое равенство (68) дает:. Следовательно, в данном случае имеем: a11 = a12 = a33 = 0. При этих требованиях матрица (1) не определяет преобразование коевклидовой плоскости.

При a12 = 0 последние два условия (68) имеют вид a32(a11 + a33) = 0.

a31(a11 + a33) = 0, Откуда с учетом первого равенства (68) получаем две возможные матрицы преобразований:

a11 0 a11 0 E = 0 a11, I = 0 a11 0.

a a32 - a0 0 a Матрица E задает тождественное преобразование, которое согласно определению не является инволюционным.

Матрица I определяет симметрию относительно неизотропной прямой (a31: a32: – 2a11).

Доказана теорема.

Теорема 13. Инволюционными преобразованиями первого рода коевклидовой плоскости являются симметрии относительно неизотропной прямой, и только они.

2. Инволюции второго рода Преобразование H второго рода зададим матрицей (1) при = –1.

Матрица квадрата данного преобразования имеет вид:

2 a11 + a12 0 2 B = 0 a11 + a12.

a a31 - a12a32 + a31a33 - a11a32 + a12a31 + a32a33 a Последняя матрица определяет тождественное преобразование при одновременном выполнении условий (18), (20). При этих условиях преобразование H является центральной симметрией.

Таким образом, справедлива теорема.

Теорема 14. Инволюционными преобразованиями второго рода коевклидовой плоскости являются центральные симметрии, и только они.

Итак, линейными инволюциями коевклидовой плоскости являются только симметрии либо относительно прямой, либо относительно точки. Эти преобразования являются аналогами соответственно центральной и осевой симметрии евклидовой плоскости, которые также являются линейными инволюциями.

В данной главе мы рассматривали только линейные преобразования коевклидовой плоскости. Можно показать, что на коевклидовой плоскости, как и на плоскости евклидовой, существуют нелинейные инволюционные преобразования. Например, инверсии. Их можно определить, как преобразования, соответствующие по принципу двойственности инверсиям плоскости евклидовой.

Глава 5. Квадрики коевклидовой плоскости 5.1 Уравнения квадрики. Овальная линия 1. Множество всех точек коевклидовой плоскости, проективные координаты в некотором каноническом репере R которых удовлетворяют уравнению 2 2 a11x1 + a22x2 + a33x3 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + 2a23x2x3 =, (1) назовем линией второго порядка, или квадрикой коевклидовой плоскости.

Напомним, что репер R выбран таким образом, чтобы уравнение абсолютной квадрики в нем имело вид (1) главы 4.

Уравнение (1) назовем общим уравнением квадрики, а его коэффициенты, определенные с точностью до общего множителя, – однородными проективными координатами квадрики, или кратко:

координатами квадрики.

Симметрическую матрицу a11 a12 a A = a12 a22 a (2) a13 a23 a назовем матрицей координат квадрики (1), или: матрицей квадрики (1).

Линию второго порядка будем называть овальной, если существуют действительные точки ей принадлежащие, и матрица квадрики – невырожденная, то есть определитель матрицы А отличен от нуля.

Последнее условие означает, что ранг квадратичной формы (обозначим его r), определяющей левую часть уравнения (1) и инвариантный относительно всех проективных преобразований, равен трем.

Напомним, что на проективной плоскости [2, стр. 55] уравнение (1) при условии r < 3 определяет квадрику, распавшуюся на пару прямых, различных (действительных или мнимых) при r = 2, или слившихся при r = 1. Такие квадрики, равно как и невырожденные квадрики, не имеющие действительных точек, их называют нулевыми, не представляют особого интереса. Поэтому наши исследования относятся только к овальным линиям.

2. Через каждую точку C(c1: c2: c3) проективной плоскости проходят две касательные к овальной линии [2, стр. 61]: действительные различные, если точка внешняя по отношению к квадрике; мнимо сопряженные, если точка – внутренняя; совпавшие, если точка принадлежит квадрике. В последнем случае уравнение касательной к линии имеет вид [2, стр. 58]:

x1(c1a11+c2a12+c3a13)+x2(c1a12+c2a22+c3a23)+x3(c1a13+c2a23+c3a33)=0. (3) Пусть точка С пробегает всю линию. Тогда уравнение (3) определяет семейство всех касательных к линии (1). Очевидно, квадрику можно рассматривать как огибающую этого семейства.

Обозначим через (X1: X2: X3) однородные координаты касательной, проходящей через точку С линии. Тогда из уравнения (3) для находим X1 = c1a11 + c2a12 + c3a13, X2 = c1a12 + c2a22 + c3a23, (4) X = c1a13 + c2a23 + c3a33, где – произвольное ненулевое число.

Определитель матрицы А отличен от нуля, поэтому уравнения (4) разрешимы относительно координат точки С. Эти координаты удовлетворяют уравнению (1), так как точка С лежит на квадрике.

Подставляя значения c1, c2, c3 из уравнений (4) в уравнение (1), после несложных преобразований получим уравнение относительно координат касательной 2 A11X12 + A22 X + A33X + 2A12 X1X + 2A13X1X3 + 2A23 X X = 0, (5) 2 3 2 2 где Aij, i, j = 1, 2, 3, – алгебраические дополнения соответствующих коэффициентов aij уравнения (1).

Уравнение (5) является уравнением семейства всех касательных к линии (1), то есть определяет квадрику как огибающую этого семейства. Числа Aij назовем тангенциальными координатами квадрики, а уравнение (5) – уравнением квадрики в тангенциальных координатах.

3. Уравнение (1) в общем случае содержит шесть коэффициентов, определенных с точностью до общего множителя, следовательно, семейство всех линий второго порядка зависит от пяти параметров. Подвижность коевклидовой плоскости равна четырем. Поэтому должно существовать некоторое число, зависящее от координат квадрики, инвариантное относительно группы G ((3), гл. 1) преобразований коевклидовой плоскости.

Действительно, пусть общее уравнение квадрики, полученной из квадрики (1) некоторым преобразованием Н группы G, имеет вид 2 2 a11x1 + a22 x2 + a33x3 + 2a12 x1x2 + 2a13x1x3 + 2a23x2 x3 =. (6) Матрица A' координат a'ij, i, j = 1, 2, 3, квадрики (6) может быть представлена [6, стр. 81] в виде произведения матриц:

A = BT AB, где В – матрица, обратная к матрице преобразования Н, а BT – матрица, транспонированная по отношению к матрице В.

Пусть матрица В преобразования обратного к преобразованию Н, и, следовательно, также принадлежащего группе G, имеет вид:

b1 b2 В = b2 b1 -, (7) b3 b4 b det B = ±b5 (b12 + b2 ) 0.

где Выпишем определенные с точностью до общего ненулевого множителя коэффициенты матрицы А':

2 a11 = a11b12 + a22b2 + a33b3 - 2a12b1b2 + 2a13b1b3 - 2a23b2b3, a12 = a12b12 - a12b2 + a11b1b2 + a13b2b3 - a22b1b2 + a23b1b3 + a13b1b4 - a23b2b4 + a33b34, 2 a22 = a22b12 + a11b2 + 2a12b1b2 + 2a13b2b4 + 2a23b1b4 + a33b4, (8) a13 = b5(a13b1 - a23b2 + a33b3), a23 = b5(a13b2 + a23b1 + a33b3), a33 = a33b5.

Условия (8) можно рассматривать как систему шести неоднородных уравнений второй степени относительно пяти неизвестных bm, m=15.

Последнее уравнение из (8) определяет два варианта, принципиально различных для решения данной системы:

a33, (9) и a33 =. (10) В матрице В: b5 0, следовательно, условия (9), (10) инвариантны относительно группы G.

Инвариантность условий (9), (10) относительно коевклидовых преобразований определена также и геометрическим смыслом этих условий:

при условии (9) ((10)) координаты действительной абсолютной точки Р(0:0:1) не удовлетворяют (удовлетворяют) уравнению (1), следовательно, точка Р не принадлежит (принадлежит) линии (1).

При условии (9) система (8) содержит шесть уравнений. Исключая неизвестные bm, получим одно условие, связывающее координаты aij, a'ij квадрики и ее образа. Это условие дает нам некоторое число, инвариантное относительно каждого преобразования группы G. Назовем данное число инвариантом квадрики коевклидовой плоскости. Выражение инварианта квадрики через ее координаты, учитывая геометрический смысл инварианта, найдем в следующем параграфе.

При условии (10) система (8) содержит только пять уравнений и, следовательно, не определяет зависимость между координатами квадрики и ее образа. Таким образом, квадрики, заданные уравнением (1) при условии (10), не имеют инварианта группы коевклидовых преобразований, следовательно, все такие квадрики коевклидово эквивалентны (G-эквивалентны), то есть могут быть переведены друг в друга некоторым преобразованием группы G. Действительно, для каждого значения система (8) определяет с точностью до общего множителя единственный набор пяти чисел bm, то есть для любых двух квадрик указанного вида существуют преобразование первого и преобразование второго рода, которыми одна из квадрик может быть переведена в другую.

Две квадрики коевклидовой плоскости назовем равными, если существует движение коевклидовой плоскости, которое одну из этих квадрик переводит в другую.

5.2 Типы и классы овальных линий. Геометрический смысл инварианта квадрики 1. Классификацию овальных линий проведем, учитывая положение линии по отношению к абсолюту. Абсолют коевклидовой плоскости содержит одну действительную точку, поэтому возможны три случая.

lP lP llk2 kkk Рис. 16 Рис. 10. Действительная точка абсолюта является внешней точкой по отношению к квадрике. Тогда квадрика имеет две различные действительные изотропные касательные (рис. 16). Такие овальные линии будем называть когиперболами, учитывая их соответствие по принципу двойственности с гиперболами евклидовой плоскости.

20. Абсолютная точка P является внутренней по отношению к овальной линии, следовательно, линия имеет две мнимо сопряженные изотропные касательные k1, k2 (рис. 17). Назовем такие линии коэллипсами.

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 34 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.