WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 34 |

Согласно проведенной в §1 классификации коевклидовых преобразований при отражении от неизотропной прямой инвариантна фигура, составляющая абсолют евклидовой плоскости. В силу инвариантности в каждом коевклидовом преобразовании общей точки Р прямых абсолюта при отражении от неизотропной прямой неподвижным является объект, инвариантный относительно вращений евклидовой плоскости. Поэтому отражение от неизотропной прямой будем также называть евклидовым вращением.

Коэффициент k отражения от неизотропной прямой является, очевидно, коэффициентом искажения данного преобразования. Отражение от неизотропной прямой t с коэффициентом k является движением тогда и только тогда, когда k = 1.

2. Сжатие к неизотропной прямой Сжатием к неизотропной прямой t с коэффициентом k (k 0, k 1) назовем преобразование коевклидовой плоскости, которое каждой точке М ставит в соответствие такую точку М', что:

1) точки М, М' коллинеарны;

2) точка Т, коллинеарная точке М на прямой t, делит изотропный отрезок М'М в отношении (–k), то есть (М'М ТР) = k, где Р – действительная точка абсолюта.

Прямую t назовем осью сжатия.

Согласно введенному определению сжатие к неизотропной прямой является коллинеарным преобразованием.

Найдем аналитическую запись сжатия к неизотропной прямой. Пусть в каноническом репере R ось сжатия t и точка М имеют однородные координаты (t1: t2: t3), t3 0, и (x1: x2: x3) соответственно. Так как прямая ММ' – изотропная, а точка Т ей принадлежит, то в репере R точки М' и Т можно задать координатами (x1: x2: x'3) и (x1: x2: t'3) соответственно.

Прямая t содержит точку Т, поэтому выполняется равенство x1 t1 + x2 t2 + t'3 t3 = 0, (43) откуда находим t1 t t3 = - x1 - x2.

t3 tИз того, что (M'M ТP) = k, получаем x3 = t3 (1 - k ) + kx3, (44) или с учетом выражения (43) t1(k -1) t2(k -1) x3 = x1 + x2 + kx3.

(45) t3 tИтак, проективные координаты (x'1: x'2: x'3) точки M', образа точки M при отражении с коэффициентом k от неизотропной прямой t (t1: t2: t3), выражаются через координаты (x1: x2: x3) точки M следующим образом:

x1 = t3x1, = x t3x2, (46) x3 = t1(k -1)x1 + t2(k -1)x2 + kt3x3.

Матрица сжатия к неизотропной прямой имеет вид t3 0 0 t3 (47) (k - 1)t1 (k - 1)t2 kt и при соответствующих обозначениях совпадает с матрицей A2, представленной во второй строке таблицы 1 (приложение 2).

С другой стороны, согласно результатам классификации преобразований и теореме 1 каждое преобразование, заданное матрицей A2, является сжатием к неизотропной оси t (а31: а32: а33- а11) с коэффициентом k = а33 / а11.

Таким образом, преобразования, заданные матрицей A2, и только они являются сжатиями к неизотропной прямой.

Заметим, что при k < 0 пара точек М, М' разделяет пару точек Р, Т, то есть изотропный отрезок ММ' содержит точку оси сжатия. При k > изотропный отрезок ММ' не содержит точек оси сжатия.

По формуле (46) главы 2 найдем расстояния от точек М, М' до прямой t.

m1t1 + m2t2 + m3t3 k m1t1 + m2t2 + m3t (M,t) =, (M,t) =.

(48) 2 2 2 t3 m1 + m2 t3 m1 + mСравнивая выражения из (48), получаем (M, t ) = k (M, t ).

Следовательно, в данном преобразовании при |k | > 1, расстояние от точки до оси сжатия увеличивается. Преобразование в этом случае можно называть растяжением с коэффициентом k от оси t. При |k | < 1 расстояние от точки до оси сжатия уменьшается.

Сжатие к неизотропной прямой t при k = –1 является движением. В этом случае прямая t делит изотропный отрезок MM' пополам. Указанное преобразование является аналогом центральной симметрии плоскости евклидовой. Назовем его симметрией относительно неизотропной прямой.

3. Изотропный сдвиг Пусть задан ненулевой ковектор V. Рассмотрим преобразование, которое каждой неизотропной прямой a коевклидовой плоскости ставит в aa ' соответствие такую прямую а', что дублет представляет данный ковектор V.

Найдем способ построения образа прямой а в данном преобразовании P pq (рис. 13). Дублет является p представителем данного ковектора V.

Пусть А – точка пересечения M' q направляющей ковектора V с заданной a' прямой а, а М – точка пересечения a прямых а и р.

M A Прямая а' проходит через точку А и точку М' пересечения изотропной Рис. прямой РМ с прямой q.

Заметим, что в данном преобразовании инвариантна каждая изотропная прямая, то есть преобразование является коллинеарным. Кроме того, преобразование имеет бесконечное множество двойных точек, заполняющих направляющую ковектора V.

Следовательно, указанное преобразование является преобразованием, заданным матрицей A3 (таблица 1, приложение 2).

Назовем введенное преобразование изотропным сдвигом на ковектор V.

Изотропный сдвиг на ковектор является движением и представляет собой аналог параллельного переноса евклидовой плоскости.

Построение точки M', образа точки M в данном преобразовании, можно P q провести, используя способ построения образа некоторой прямой, проходящей через точку M.

a Пусть M – произвольная точка p K' M' pq плоскости, а дублет с вершиной S A является представителем ковектора V (рис. 14). Через точку M проведем произвольно неизотропную прямую a.

K S Точку ее пересечения с прямой p M обозначим K, а с прямой PS – A. Пусть изотропная прямая PK пересекает Рис. прямую q в точке K', тогда M' – точка пересечения прямых PM и AK'.

Найдем аналитическую запись введенного преобразования.

Пусть в некотором каноническом репере R ковектор V имеет координаты (v1; v2), а точка M – координаты (x1: x2: x3). Тогда точка М', принадлежащая прямой MP, может быть задана тройкой пропорциональных чисел (x1: x2: x'3).

pq Дублет представляет ковектор V, следовательно, прямая PS, направляющая ковектора V, имеет однородные координаты (v1: v2: 0).

Для упрощения выкладок без потери общности рассуждений прямую a проведем через вершину А2(0:1:0) канонического репера. Тогда ее однородные координаты имеют вид (x3: 0: – x1). Точка A пересечения прямых a и PS имеет в репере R координаты: A(x2 v2: – x1 v1: x3 v2). Найдем однородные координаты прямой АМ':

AM' (x1 x'3 v1 + x2 x3 v2: x1 x'3 v2 – x1 x3 v2: – x1 (x1 v1 + x2v2)).

aa' pq Согласно определению преобразования дублеты и эквиполлентны, поэтому равны их соответствующие координаты:

x1x3v1 + x2x3v2 x3 x1x3v2 - x1x3v+ = v1, = v2.

- x1(x1v1 + x2v2) x1 - x1(x1v1 + x2v2) Из последнего равенства находим x'3:

x'3 = – x1 v1 – x2v2 + x3.

Тогда матрица изотропного сдвига на ковектор V имеет вид 1 0 0 1 (49) - v1 - v2 и при соответствующих обозначениях совпадает с матрицей A3 таблицы преобразований коевклидовой плоскости (приложение 2).

Можно показать, что каждое преобразование, представленное матрицей А3, является изотропным сдвигом.

4. Тождественное преобразование Тождественное преобразование, при котором каждая точка плоскости остается инвариантной, может быть задано матрицей A4 (таблица 1, приложение 2) коевклидовых преобразований.

5. Поворотное отражение от неизотропной прямой Пусть – некоторое действительное число, причем ± 1. Зафиксируем неизотропную прямую t и на ней точку N. Каждой точке M коевклидовой плоскости поставим в соответствие точку М' таким образом, чтобы выполнялись следующие условия:

1) изотропные прямые MP и М'P гармонически разделяют изотропные ортогональные прямые NP и P ( – точка прямой t, ортогональная точке N);

2) прямая t делит угол M'NM в отношении (–), то есть ((NM')(NM) t (NP)) =.

Введенное соответствие, очевидно, является взаимно однозначным отображением коевклидовой плоскости на себя. Покажем, что оно является преобразованием второго рода. Действительно, пусть Т – некоторая точка на прямой l1 абсолюта. Согласно условию 1 введенное преобразование переводит точку Т в точку изотропной прямой, гармонически разделяющей с прямой l1 пару прямых NP и P, то есть в точку прямой l2 абсолюта. Таким образом, данное преобразование переводит друг в друга абсолютные прямые, следовательно, является преобразованием второго рода.

Назовем введенное преобразование поворотным отражением от неизотропной прямой t с центром в точке N и коэффициентом.

Найдем аналитическую запись поворотного отражения в присоединенной канонической системе координат.

Учитывая ортогональность точек N и, совместим собственные вершины канонического репера с этими точками: А1 = N(1:0:0), А2 = (0:1:0).

Пусть М (m1: m2: m3) – произвольная точка плоскости, а М' (m'1: m'2: m'3) – ее образ в данном преобразовании. Прямые PN, P, PM, PM' имеют следующие однородные координаты:

(0:1:0), (1:0:0), (–m2: m1:0), (–m'2: m'1:0).

Согласно условию 1 получаем:

m1 : m1 = m2 : m. (50) Однородные координаты прямых NP, N, NM, NM' имеют вид:

(0:1:0), (0:0:1), (0: –m3: m2), (0: –m'3: m'2).

Следовательно, условие 2 дает:

m2 : m2 = m3 : m3.

(51) Отношения (50), (51) определяют формулы поворотного отражения:

x1 = a11x1, x2 = -a11x2 x3 = -a11x3.

, (52) Матрица преобразования, очевидно, является матрицей вида A5 из таблицы 2 (приложение 2) преобразований коевклидовой плоскости.

Ортогональные точки N, являются инвариантными точками в поворотном отражении от прямой N. Число – инвариант преобразования.

Так как по определению ± 1, движений среди поворотных отражений от неизотропной прямой нет.

Поясним выбор названия преобразования.

Прямая t является инвариантной прямой преобразования. Причем если > 0 ( < 0), то согласно второму условию определения преобразования (MN) t, (M N) t ковекторы, представленные дублетами, сонаправлены (противоположно направлены). Поэтому преобразование называем отражением от прямой t с коэффициентом.

Пусть M0, M'0 – точки, коллинеарные на прямой t точкам М, М' соответственно. Тогда по первому условию определения преобразования точки N и являются серединами неизотропных отрезков, определенных точками M0, M'0. Поэтому |M0N| = |NM'0|. Учитывая, что М || M0 и М' || M'0, имеем: |МN| = |M0N|, |NM'| = |NM'0|. Таким образом, |MN| = |NM'|. То есть данное преобразование не изменяет расстояния от каждой точки плоскости до фиксированной точки N, названной центром преобразования. Тем же свойством обладает поворот вокруг некоторой точки евклидовой плоскости.

Поэтому отражение называем поворотным с центром в точке N.

Два поворотных отражения от неизотропной прямой t с коэффициентом назовем сопряженными, если центры этих отражений – ортогональные точки. Аналитическая запись поворотного отражения, сопряженного отражению (52), имеет вид:

x1 = a11x1, x2 = -a11x2 x3 = a11x3.

, (53) Справедливы следующие утверждения.

1. Образы каждой точки коевклидовой плоскости в сопряженных поворотных отражениях от неизотропной прямой t коллинеарны и симметричны относительно этой прямой.

2. Композиция сопряженных поворотных отражений от неизотропной прямой t с коэффициентом является сжатием к оси t с коэффициентом (–2).

6. Центральная симметрия Симметрией с центром в точке K назовем преобразование коевклидовой плоскости, которое каждой точке М P ставит в соответствие точку M', для которой выполняются условия:

1) точка М' принадлежит прямой MK;

2) изотропные прямые MP и М'P k гармонически разделяют изотропные ортогональные прямые PK и k (рис. 15).

Точку K назовем центром симметрии.

M K M' Прямые PK и k – ортогональные, то есть гармонически разделяют прямые l1, Рис. l2 абсолюта. Поэтому по второму условию определения при центральной симметрии точки прямой l1 (l2) переходят в точки прямой l2 (l1). Следовательно, центральная симметрия является преобразованием второго рода.

В данном преобразовании инвариантна каждая прямая пучка с центром в точке K. Следовательно, данное преобразование указано в последней строке таблицы 2 коевклидовых преобразований (приложение 2), и может быть задано матрицей A5 при условиях (18) и (20).

Найдем аналитическую запись данного преобразования в присоединенном каноническом репере.

Пусть центр симметрии совпадает с первой координатной вершиной (K(1:0:0)), тогда поляра k этой точки относительно абсолютной квадрики имеет в выбранном репере уравнение: x1 = 0.

Гармоническая разделенность точек М (m1: m2: m3) и М' (m'1: m'2: m'3) относительно изотропных прямых PK и k дает m2 : m1 = -m2 : m. (54) Точки K, M и M' лежат на одной прямой, следовательно:

m3 : m2 = m3 : m2.

(55) Условия (54), (55) определяют аналитическую запись центральной симметрии:

x1 = a11x1, x2 = -a11x2, x3 = -a11x3.

(56) Согласно проведенной классификации преобразований коевклидовой плоскости и теореме 9 каждое преобразование, заданное матрицей A5 при условиях (18) и (20) является центральной симметрией.

Каждая центральная симметрия в силу выполнения условия (20) является движением коевклидовой плоскости.

7. Скользящее отражение Пусть заданы точка K и ковектор V с направляющей PK.

Композицию симметрии с центром в точке K и изотропного сдвига на ковектор V назовем скользящим отражением.

Как композиция движений скользящее отражение является движением коевклидовой плоскости.

Продолжая рассуждения предыдущего пункта, найдем матрицу композиции симметрии с центром в точке K(1:0:0), заданной в репере R формулами (56), и изотропного сдвига на ковектор V (v1; v2), заданного в любом каноническом репере матрицей (49), определенной с точностью до числового множителя.

Вершина каждого представителя данного ковектора лежит на прямой PK, следовательно, первая координата ковектора в присоединенном каноническом репере R равна нулю.

Тогда матрица скользящего отражения в репере R имеет вид -1 0 0 1 0 0 -1 0 0 1 0 0 1 0 = 0 1 0.

(57) 0 0 1 0 - v2 1 0 - v2 Следующая теорема позволит нам определить каждое коевклидово движение второго рода.

Теорема 10. Каждое движение второго рода можно представить композицией центральной симметрии и изотропного сдвига на ковектор с направляющей, проходящей через центр симметрии.

Доказательство. Пусть движение H второго рода и изотропный сдвиг на ковектор V(x; y) представлены соответственно матрицами:

a11 a12 A = a - a11, a a32 a 2 2 a11 + a12 = aгде, то есть справедливо условие (20), и 1 0 C = 0 1 0.

- x - y Задача сводится к построению матрицы В, которая задает симметрию с центром на изотропной прямой (x: y: 0), и для которой А = ВС.

Последним равенством однозначно определена матрица a11 a12 B = a12 - a11, a + xa33 a32 + ya33 a которая при условии (20) определяет движение второго рода.

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 34 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.