WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 34 |
Ромакина  Геометрии коевклидовой и  копсевдоевклидовой плоскостей  Учебное пособие 2008  0 Свойства процессов и явлений нашей жизни обусловлены нашими идеалами, нашими принципами и представлениями истины, как свойства пространства обусловлены строением его абсолюта.

Ромакина Л.Н., доцент кафедры геометрии Саратовского государственного университета имени Н.Г.Чернышевского 1 УДК [514.13+514.14+514.15](075/8) ББК 22.151.2 я73 Р 69 Ромакина Л.Н. Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Учебное пособие по спецкурсу для студентовматематиков педагогических специальностей вузов. – Саратов: ООО Издательство «Научная книга», 2008. – 279с.

Рекомендовано к изданию кафедрой геометрии Саратовского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского.

Р е ц е н з е н т ы:

1. Игошин В.И., доктор педагогических наук, кандидат физико- математических наук, профессор кафедры геометрии Саратовского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского.

2. Киотина Г.В., кандидат физико-математических наук, профессор кафедры алгебры и геометрии Рязанского государственного педагогического университета имени С.А. Есенина.

Книга адресована студентам математических специальностей вузов, предназначена в качестве учебного пособия по специальным курсам, посвященным вопросам неевклидовых геометрий. Может быть использована учителями средних школ при подготовке элективных курсов и проведении занятий в классах с углубленным изучением математики.

В книге с проективной точки зрения рассмотрены геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей, соответствующих по принципу двойственности плоскостям евклидовой и псевдоевклидовой соответственно. Определены основные метрические инварианты, проведена классификация преобразований фундаментальных групп, дано конструктивное определение преобразований каждого класса. Построены теории линий второго порядка.

ISBN 978-5-9758-0909-4 ББК 22.151.2 я© Ромакина Л.Н., ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие................................ Часть I. Геометрия коевклидовой плоскости............. Глава 1. Проективные инварианты коевклидовой плоскости...... 1.1 Абсолют и фундаментальная группа коевклидовой плоскости.

Семейство канонических реперов........................ 1.2 Формулы преобразования координат. Ориентация плоскости... 1.3 Различные типы прямых. Прямые коевклидовой плоскости..... 1.4 Уравнение изотропной прямой. Отрезки и лучи изотропной прямой. Инвариант трёх точек изотропной прямой.............. 1.5 Отрезки неизотропной прямой. Инвариант двух точек неизотропной прямой. Середины неизотропных отрезков.......... 1.6 Инвариант двух изотропных прямых. Полоса............ 1.7 Инвариант трёх неизотропных прямых одного пучка........ 1.8 Инвариант трёх неизотропных прямых................ Глава2. Ковекторы............................. 2.1 Определение ковектора......................... 2.2 Координаты ковектора......................... 2.3 Преобразование координат ковектора................ 2.4 Внутренние операции над ковекторами................ 2.5 Ковекторное пространство....................... 2.6 Скалярное умножение ковекторов.................. 2.7 Ортонормированные базисы ковекторного пространства.... 2.8 Ориентация ковекторного пространства............... 2.9 Измерение углов между неизотропными прямыми.

Измерение направленных неизотропных отрезков.............. 2.10 Расстояние от точки до неизотропной прямой.

Направляющие косинусы и высота точки в каноническом репере...... 2.11 Расстояние между точками изотропной прямой.......... Глава 3. Изображение коевклидовой плоскости............. 3.1 Введение коевклидовых координат.................. 3.2 Преобразование коевклидовых координат.............. 3.3 Изображение коевклидовой плоскости в трехмерном евклидовом пространстве............................ Глава 4. Линейные преобразования коевклидовой плоскости...... 4.1 Классификация преобразований.................... 4.2 Свойства преобразований коевклидовой плоскости. Движения.. 4.3 Конструктивное определение коевклидовых преобразований... 4.4 Инволюции коевклидовой плоскости................. Глава 5. Квадрики коевклидовой плоскости............... 5.1 Уравнения квадрики. Овальная линия................ 5.2 Типы и классы овальных линий. Геометрический смысл инварианта квадрики............................... 5.3 Канонические уравнения овальных линий.............. 5.4 Центры овальных линий........................ 5.5 Метрическое определение овальных линий............. 5.6 Геометрический смысл коэффициентов канонических уравнений овальных линий.......................... Часть II. Геометрия копсевдоевклидовой плоскости........ Глава 1. Проективные инварианты копсевдоевклидовой плоскости. 1.1 Абсолют и фундаментальная группа копсевдоевклидовой плоскости. Семейство канонических реперов. Абсолютные углы..... 1.2 Преобразование координат точек копсевдоевклидовой плоскости. Согласование и ориентация копсевдоевклидовой плоскости. 1.3 Типы прямых копсевдоевклидовой плоскости. Инвариант двух точек неизотропной прямой.......................... 1.4 Взаимное расположение двух прямых................ 1.5 Квадранты копсевдоевклидовой плоскости............. 1.6 Лучи и отрезки неизотропной прямой................ 1.7 Лучи и отрезки изотропной прямой. Инвариант трёх точек изотропной прямой............................... 1.8 Инвариант двух изотропных прямых. Изотропная полоса..... 1.9 Инвариант трёх неизотропных прямых пучка............ 1.10 Инвариант трёх неизотропных прямых.............. Глава 2. Ковекторы............................ 2.1 Преобразование координат ковектора................ 2.2 Скалярное умножение ковекторов.................. 2.3 Базисы пространства. Ортонормированные базисы....... 2.4 Измерение в пучках неизотропных прямых............. 2.5 Расстояние от точки до неизотропной прямой.

Расстояние между точками изотропной прямой............... 2.6 Направляющие косинусы и высота точки в каноническом репере. Проекции ковектора на координатные оси............. 2.7 Направляющие косинусы и высота точки в каноническом репере. Проекции ковектора на координатные оси............. 2.8 Метрические соотношения на копсевдоевклидовой плоскости.. Глава 3. Изображение копсевдоевклидовой плоскости........ 3.1 Копсевдоевклидовы координаты................... 3.2 Изображение копсевдоевклидовой плоскости в трехмерном евклидовом пространстве........................... Глава 4. Линейные копсевдоевклидовы преобразования....... 4.1 Вид преобразования. Инвариантные изотропные прямые копсевдоевклидовых преобразований................ 4.2 Классификация преобразований копсевдоевклидовой плоскости. 4.3 Движения и псевдодвижения копсевдоевклидовой плоскости.. 4.4 Полудвижения, абсолютные движения и абсолютные псевдодвижения копсевдоевклидовой плоскости.............. 4.5 Дополнительные теоремы о линейных преобразованиях копсевдоевклидовой плоскости........................ 4.6 Конструктивное определение преобразований........... 4.7 Инволюции копсевдоевклидовой плоскости............ Глава 5. Квадрики копсевдоевклидовой плоскости.......... 5.1 Типы невырожденных линий второго порядка........... 5.2 Инвариант овальной линии..................... 5.3 Основные элементы, определяющие овальную линию....... 5.4 Каноническое уравнение эллипса и бигиперболы......... 5.5 Метрическое определение эллипса................. 5.6 Метрическое определение бигиперболы.............. 5.7 Каноническое уравнение параболы и гиперболической параболы 5.8 Метрические определения параболы и гиперболической параболы.................................. 5.9 Бипарабола............................... 5.10 Орипарабола............................. 5.11 Гипербола............................... 5.12 Оригипербола............................ 5.13 Эквигипербола............................ Литература............................... Предметный указатель......................... Приложения.............................. Приложение 1. Системы аксиом Вейля коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей....................... Приложение 2. Преобразования коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Таблицы.................. Приложение 3. Овальные линии копсевдоевклидовой плоскости.

Таблица................................... Приложение 4. Абсолюты плоских геометрий с проективной метрикой Кэли – Клейна............................ ПРЕДИСЛОВИЕ Идея исследования различных неевклидовых геометрий в единой логической системе коренится в трудах английского математика Артура Кэли (Cayley Arthur, 1821 – 1895), который вводит мероопределение с помощью образа второго порядка и тем самым устанавливает связь между теорией инвариантов и проективной геометрией [5, стр. 329]. Впервые сформулирована данная идея в знаменитой лекции немецкого математика Феликса Клейна (Klein Christian Felix, 1849 – 1925), прочитанной в 1872 году в университетете г. Эрланген (Германия) и известной под названием «Эрлангенская программа» [12, стр. 656]. Согласно представлениям Кэли и Клейна о геометрии как совокупности свойств фигур, инвариантных относительно некоторой подгруппы группы проективных преобразований, существует девять различных геометрий [3], [5], [7, стр. 106], [10], определенных образом второго порядка на проективной плоскости.

Интересно отметить, что Клейн шесть из девяти соответствующих мероопределений считал «логически равноправными с евклидовой геометрией», но «непригодными к практическим применениям во внешнем мире» [5, стр.209]. Возможно, именно эта «непригодность» с точки зрения корифея геометрии привела к ситуации, когда к началу третьего тысячелетия от рождества Христова четыре из девяти указанных геометрий оказались почти неизвестными миру. Двум из четырех «таинственных незнакомок» посвящена данная книга.

Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей [9, стр. 367] соответствуют по малому принципу двойственности евклидовой и псевдоевклидовой планиметриям. Абсолюты этих плоскостей – вырожденные линии второго порядка, пары прямых, мнимо сопряженных и действительных соответственно.

В книге определены фундаментальные группы преобразований, семейства канонических реперов и метрические инварианты указанных плоскостей. Введены понятие ковектора и основные операции над ковекторами. Проведена классификация линейных преобразований каждой плоскости, показано, что существует четыре класса коевклидовых линейных преобразований первого рода и три – второго, семь классов линейных копсевдоевклидовых преобразований первого рода и четыре – второго, конструктивно определен каждый класс преобразований. Доказаны свойства коевклидовых и копсевдоевклидовых преобразований. На коевклидовой плоскости выделены движения как преобразования, сохраняющие без изменения углы между прямыми. На копсевдоевклидовой плоскости аналогично выделены движения, полудвижения как преобразования, сохраняющие расстояния между прямыми, пересекающимися на одной из абсолютных прямых, и абсолютные движения как преобразования, сохраняющие расстояния между прямыми, пересекающимися на любой абсолютной прямой.

Построены теории линий второго порядка. Определены центры квадрик, основные инварианты и инварианты квадрик относительно групп движений.

Показано, что на коевклидовой плоскости существует три типа овальных линий, на копсевдоевклидовой – девять. Найдены аналитические условия принадлежности линии заданному типу, метрические характеристики и канонические уравнения линий каждого типа.

Введены собственные координаты точек данных плоскостей.

Построены изображения коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей в евклидовом трехмерном пространстве – соответственно круговой и гиперболический цилиндры с отождествленными симметричными относительно центра цилиндра точками. Предложены геометрические интерпретации используемых понятий.

Изложение коевклидовой и копсевдоевклидовой геометрий проведено на основе геометрии проективной, что способствует формированию у читателя целостного представления геометрии, определяет единую схему изучения различных геометрий, приводит к более глубокому, неформальному усвоению геометрических понятий, к новому взгляду на известные факты, в частности, и факты геометрии Евклида, установлению новых связей между различными понятиями. Проведение аналогий при изучении на основе проективной геометрии двойственных пар геометрий (евклидова – коевклидова, псевдоевклидова – копсевдоевклидова) позволяет осмыслить, а, нередко, и переосмыслить, многие основополагающие геометрические понятия.

Книга адресована студентам математических специальностей вузов и может быть использована в качестве учебного пособия по специальным курсам, посвященным вопросам неевклидовых геометрий.

Автор выражает глубокую благодарность своему начному руководителю профессору Рязанского государственного педагогического университета Киотиной Галине Васильевне и рецензенту Игошину Владимиру Ивановичу, профессору Саратовского государственного университета, за ценные советы и замечания по содержанию данного пособия, а также за привитые интерес к неевклидовым геометриям и потребность в научном творчестве.

август, 2008 год.

Часть I. Геометрия коевклидовой плоскости Глава 1. Проективные инварианты коевклидовой плоскости 1.1 Абсолют и фундаментальная группа коевклидовой плоскости.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 34 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.