WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||

Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой 3).

Множество всех первообразных функции f(x) называ1 1 8x ется неопределенным интегралом функции f(x) и обознаI = 23x · 2-1 dx = 8x dx = + C.

чается 2 2 ln f(x) dx.

Пример 3. Найти интеграл dx Функция f(x) называется подынтегральной функцией, I =.

4x2 + f(x) dx подынтегральным выражением, переменная x переменной интегрирования.

Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой 9).

Итак, если F (x) есть первообразная функции f(x), то 1 dx 1 dx I = = = 4 x2 + 25/4 4 x2 + (5/2)f(x) dx = F (x) + C, 1 1 x 1 2x = arctg + C = arctg + C.

где C произвольная постоянная. Отыскание неопределен- 4 5/2 5/2 10 ного интеграла по подынтегральной функции называется Пример 4. Найти интеграл интегрированием этой функции.

Например, 2 x + I = dx.

x x sin x dx = - cos x + C.

Р е ш е н и е. Разложим числитель по формуле куба суммы.

8x3/2 + 12x + 6x1/2 + Свойства неопределённого интеграла. Приведем I = dx = x3/таблицу основных интегралов. Формулы этой таблицы можно проверить дифференцированием их правой части.

= 8 + 12x-1/2 + 6x-1 + x-3/2 dx = x+1 dx dx 1) xdx = + C (=-1), 2) = ln |x| + C, = 8 dx + 12 x-1/2 dx + 6 + x-3/2 dx = + 1 x x ax 3) axdx = + C (0

x dx dx 6) = - ctg x + C, 7) = tg x + C, cos2 x sin2 x Метод замены переменной. Метод замены переменной dx x часто позволяет свести неизвестный интеграл к таблично8) = arcsin + C (-a < x < a, a > 0), a a2 - x2 му.

dx 1 x Пример 5. Найти интеграл 9) = arctg + C (a = 0), a2 + x2 a a dx dx 1 x - a I =.

10) = ln + C (a = 0), 1 - 2x x2 - a2 2a x + a Р е ш е н и е. Положим t = 1 - 2x. Тогда dx 11) = ln x + x2 + a + C (a = 0).

x2 + a 1 t 1 t dt x = -, dx = - dt = -, 2 2 2 2 Рассмотрим теперь основные свойства неопределённого интеграла.

и dt - 1 dt I = = - = - ln |t| + C.

1) Производная неопределённого интеграла равна подынt 2 t тегральной функции.

Теперь нужно вернуться к исходной переменной. Тогда f(x) dx = f(x).

I = - ln |1 - 2x| + C.

Пример 6. Найти интеграл Р е ш е н и е. Применим к этому интегралу формулу интегрирования по частям. Для этого положим I = xe-x dx.

u = x, dv = e-2x dx.

Тогда Р е ш е н и е. Положим t = -x2. Тогда e-2x v = dv = e-2x dx = = - e-2x, du = dx.

dt = (-x2) dx = -2x dx, x dx = - dt.

-2 Вычисляя интеграл в последней формуле мы не выписываВ данном случае нет необходимости выражать переменную ли произвольную постоянную C, поскольку здесь нам было x через t, поскольку при замене -x2 на t и x dx на -1/2 dt нужно не всё множество первообразных, а какая-нибудь одпеременная x больше не будет входить в подынтегральное на из них.

выражение. В самом деле Тогда имеем 1 I = et - dt = - et dt = I = u dv = uv - v du = 2 1 1 1 = - et + C = - e-x + C. = x - e-2x - - e-2x dx = 2 2 2 1 1 1 1 e-2x Пример 7. Найти интеграл = - xe-2x + e-2x dx = - xe-2x + dx + C = 2 2 2 2 -x dx 1 I =.

= - xe-2x - e-2x dx + C.

1 - x2 Пример 10. Найти интеграл Р е ш е н и е. Положим t = 1 - x2. Тогда dt I = x2 sin x dx.

dt = (1 - x2) dx = -2x dx, x dx = -, Р е ш е н и е. Положим и u = x2, dv = sin x dx.

dt - I = 2 = - t-1/2 dt = Тогда t 1 t1/v = dv = sin x dx = - cos x, du = (x2) dx = 2x dx, = - + C = - t + C = - 1 - x2 + C.

2 1/и Пример 8. Найти интеграл I = x2(- cos x)- (- cos x) 2x dx = -x2 cos x+2 x cos x dx.

ln x I = dx.

x Чтобы вычислить Р е ш е н и е. Положим t = ln x. Тогда x cos x dx 1 dx dt = (ln x) dx = dx =, снова применим формулу интегрирования по частям. Поx x ложим и u = x, dv = cos x dx.

Тогда I = t dt = t1/2 dt = v = dv = cos x dx = sin x, du = dx, t3/2 2 = + C = t3 + C = ln3 x + C.

3/2 3 и Метод интегрирования по частям. Формула x cos x dx = x sin x - sin x dx = x sin x + cos x + C.

В результате u dv = uv - v du I = -x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + 2C.

называется формулой интегрирования по частям. Эта Рассмотрим теперь интеграл из II группы.

формула оказывается полезной при вычислении интегралов следующих двух видов:

Пример 11. Найти интеграл I = x ln x dx.

I. xneax dx, xn sin mx dx, xn cos mx dx;

Р е ш е н и е. Положим xk lnn x dx, xk arcsin x dx, xk arccos x dx, II.

u = ln x, dv = x dx.

xk arctg x dx, xk arcctg x dx.

Тогда x2 Рассмотрим примеры интегралов из I группы.

v = dv = x dx =, du = (ln x) dx = dx, 2 x Пример 9. Найти интеграл и x2 x2 1 x2 I = xe-2x dx.

I = ln x - dx = ln x - x dx = 2 2 x 2 x2 1 x2 x2 x= ln x - + C = ln x - + C.

2 2 2 2 y Интегрирование тригонометрических функций.

Пример 12. Найти интеграл sin3 x I = dx.

cos4 x x Р е ш е н и е. Положим t = cos x. Тогда 0 a b dt = (cos x) dx = - sin x dx, y sin3 x dx = sin2 x(sin x dx) = (1 - cos2 x)(-dt) = = (1 - t2)(-dt) = (t2 - 1) dt, и t2 - 1 t-1 t-x I = dt = t-2 dt - t-4 dt = - + C = t4 -1 - x x x b 0 a 2 1 1 1 = - + C = - + C.

3t3 t 3 cos3 x cos x Естественно предположить, что это равенство будет тем Для нахождения многих интегралов оказываются полезточнее, чем меньше максимум длин отрезков разбиения ными формулы, преобразующие произведение тригонометрических функций в сумму:

= max (xk - xk-1).

1 k n sin cos = sin( + ) + sin( - ), Поэтому площадь криволинейной трапеции S равна n cos cos = cos( - ) + cos( + ), lim f(k)(xk - xk-1). (1) 1 k=sin sin = cos( - ) - cos( + ), 1 + cos 2 1 - cos 2 Число S, равное пределу (1), называют определенным инcos2 =, sin2 =.

тегралом от функции f(x) по отрезку [a, b] и обозначают 2 Пример 13. Найти интеграл b f(x) dx.

I = sin 3x cos 5x dx.

a Таким образом, задача о вычислении площади криволинейР е ш е н и е. По рассмотренным выше формулам ной трапеции приводит к введению понятия определённого 1 1 интеграла.

sin 3x cos 5x = sin 8x + sin(-2x) = sin 8x - sin 2x.

2 2 2 Основные свойства определённого интеграла.

Поэтому 1) При перемене местами пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный.

1 I = sin 8x dx - sin 2x dx = 2 2 b a 1 - cos 8x 1 - cos 2x cos 2x cos 8x f(x) dx = - f(x) dx.

= - + C = - + C.

2 8 2 2 4 a b 6 Определённый интеграл 2) Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всём отрезке равен сумме интегралов по кажПонятие определённого интеграла. Пусть на отрезке дой из частей.

[a, b] задана функция y = f(x). Рассмотрим фигуру (см.

b c b рис.), ограниченную графиком функции y = f(x), прямыми x = a, x = b и осью Ox. Её называют криволинейной f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx.

трапецией. Поставим задачу об определении и вычислении a a c площади этой криволинейной трапеции.

Отрезок [a, b] разобьём на n произвольных частей точ3) Постоянный множитель можно выносить за знак интеками:

грала.

b b a = x0 < x1 < x2 <... < xk-1 < xk <... < xn = b.

f(x) dx = f(x) dx.

a a Через точки xk проведём прямые, параллельные оси Oy.

Криволинейная трапеция разобьется на n частичных криво4) Интеграл от суммы равен сумме интегралов.

линейных трапеций. Теперь на каждом из отрезков [x0, x1], b b b [x1, x2],..., [xn-1, xn] произвольно выберем по точке k, f(x) ± g(x) dx = f(x) dx ± g(x) dx.

k [xk-1, xk] (k = 1, 2,..., n).

a a a Вычислим значение f(k). И каждую частичную криволиФормула Ньютона Лейбница. Если F (x) произнейную трапецию заменим прямоугольниками с высотами вольная первообразная функции f(x), то справедлива форf(1), f(2),..., f(n). Тогда можно полагать, что для пломула Ньютона Лейбница щади S криволинейной трапеции справедливо соотношение b n S f(k)(xk - xk-1).

f(x) dx = F (b) - F (a).

k=a Таким образом, формула Ньютона Лейбница сводит вы- Вычисление площадей плоских фигур. Пусть на отчисление определённого интеграла к вычислению разности резке [a, b] заданы функции f1(x) и f2(x) такие, что f1(x) значений любой её первообразной на верхнем и нижнем f2(x). Тогда площадь S фигуры, заключённой между крипределах интегрирования. Эта формула считается основной выми y = f1(x) и y = f2(x), на отрезке [a, b] вычисляется по формулой интегрального исчисления. формуле b Разность F (b) - F (a) для удобства обозначают F (x)|b.

a Поэтому формулу Ньютона Лейбница можно записать в S = f2(x) - f1(x) dx.

виде:

a b Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной лиf(x) dx = F (x)|b.

a ниями y = x2 и y = x5.

a Пример 1. Вычислить y I = x2 dx.

Р е ш е н и е. По формуле Ньютона Лейбница x3 1 13 03 I = = - =.

3 3 3 x Замена переменной в определённом интеграле. Замена переменной осуществляется точно так же, как и в 1 неопределённом интеграле с двумя различиями:

1) при замене следует пересчитывать пределы интегрирования;

2) не нужно возвращаться к старой переменной.

Пример 2. Вычислить I = x(2 - x2)5 dx. Р е ш е н и е. Находим точки пересечения данных кривых.

x2 = x5, x2 - x5 = 0, x2(1 - x3) = 0, Р е ш е н и е. Положим t = 2 - x2. Тогда Отсюда dt = (2 - x2) dx = -2x dx, x dx = - dt, x1 = 0, 1 - x3 = 0, x3 = 1, x2 = 1 = 1.

2 x = 0 t = 2 - 02 = 2, x = 1 t = 2 - 12 = 1.

На отрезке [0, 1] x5 x2. Поэтому Поэтому 1 1 1 1 1 1 1 1 t6 S = x2 - x5 dx = x2 dx - x5 dx = I = t5 - dt = - t5 dt = t5 dt = = 2 2 2 2 0 0 2 2 1 26 16 1 63 21 1 x3 1 x6 1 1 1 = - = (26 - 1) = = = 5. = - = - =.

2 6 6 12 12 4 4 3 6 3 6 0 Формула интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям для определённого интеграла принимает вид:

b b b u dv = (uv) a - v du.

a a Пример 3. Вычислить I = ln x dx.

Р е ш е н и е. Положим u = ln x, dv = dx.

Тогда v = dv = dx = x, du = (ln x) dx = dx.

x Поэтому 2 I = (x ln x) 1 - x dx = 2 ln 2 - 1 ln 1 - dx = x 1 = 2 ln 2 - x 1 = ln 22 - (2 - 1) = ln 4 - 1.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.