WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 |

1 + x2 1 + xM x0, f(x0), и её угловой коэффициент равен f (x0). Поэтому её уравнение имеет вид Из 2) в частности следует, что y - f(x0) = f (x0)(x - x0). (2) 1 1 x = x1/2 = x1/2-1 = x-1/2 =, 2 2 2 x Перейдём к физическому смыслу производной. Пусть 1 1 некоторая материальная точка M движется прямолиней= x-1 = -1 x-1-1 = -x-2 = -.

но и задан закон её движения s = s(t), то есть известно x xрасстояние s(t) от точки M до некоторой начальной точТак как ln e = 1, то из 3) и 4) следует, что ки отсчета в каждый момент времени t. В момент времени t0 точка пройдет расстояние s(t0), а в момент времени t0 + t расстояние s(t0 + t). За промежуток времени t (ex) = ex, (ln x) =.

x точка M пройдет расстояние s = s(t0 + t) - s(t0).

y Отношение s/t можно рассматривать как среднюю скорость движения за время t. Чем меньше этот промежуток времени, тем точнее средняя скорость будет характеризовать движение точки в момент времени t0. Поэтому предел средней скорости движения при t 0 называют скоростью движения (или мгновенной скоростью движеx ния) точки M в момент времени t0 и обозначают v(t0), то есть s(t0 + t) - s(t0) v(t0) = lim = s (t0).

t0 t Производная не всегда существует. Например, если Таким образом, скорость движения есть производная от M x0, f(x0) является угловой точкой графика функции пройденного расстояния по времени.

y = f(x), то у функции f(x) нет производной в точке x0.

Рассмотрим функцию y = |x|. Для неё начало координат яв- Рассмотрим экономический смысл производной. Пусть u = u(t) выражает количество произведенной продукции за ляется угловой точкой. Следовательно, у данной функции время t на некотором предприятии. Необходимо найти пронет производной при x = 0. Строго говоря, производная изводительность труда в момент времени t0. За период врене существует, если предел (1) не существует или равен мени от t0 до t0 + t количество произведенной продукции бесконечности.

изменится от значения u(t0) до значения u(t0 + t). Тогда средняя производительность труда за период времени от tЗадачи, приводящие к понятию производной. Начдо t0 + t будет равна нём с геометрического смысла. Рассмотрим график некоторой функции y = f(x) (см. рис.). Пусть M x0, f(x0) u(t0 + t) - u(t0) какая-либо точка графика. Придадим аргументу прираще- zср =.

t ние x. Соответствующую точку на графике обозначим через N x0 + x, f(x0 + x). Через точки M и N проведем Производительность труда z в момент времени t0 есть прямую и назовем ее секущей. Если точку N устремить по предельное значение средней производительности при t графику к точке M, то положение секущей будет, вообще t0, говоря, изменяться, и ее предельное положение называется z = lim zср = u (t0).

tкасательной к кривой y = f(x) в точке M.

Правила дифференцирования. Следующие правила Дифференциал функции. Как мы уже знаем, произприменяются для дифференцирования функций, не вошед- водная функции y = f(x) определяется по формуле ших в таблицу производных.

f(x + x) - f(x) y f (x) = lim = lim.

1) f(x) ± g(x) = f (x) ± g (x), x0 x x0 x Поэтому при малых значениях x 2) cf(x) = cf (x), y 3) f(x) g(x) = f (x) g(x) + f(x) g (x), f (x) x f(x) f (x) g(x) - f(x) g (x) или 4) =, g(x) g2(x) y f (x)x.

Правую часть последнего выражения принято называть 5) f u(x) = f u(x) u (x).

дифференциалом функции y в точке x:

Правило 5) позволяет находить производные сложных dy = f (x)x.

функций.

При малых x дифференциал dy приближённо равен приПример 2. Найти производную функции f(x) = x2 sin x.

ращению функции y.

Р е ш е н и е. По правилу 3) Рассмотрим функцию y = x. Для неё dy = dx = x x = 1 · x = x.

f (x) = (x2) sin x + x2(sin x) = 2x sin x + x2 cos x.

Таким образом, dx = x. Поэтому выражение дифференПример 3. Найти производную функции циала можно записать в виде f(x) = arctg ex cos 2x.

dy = f (x) dx.

Р е ш е н и е. Пользуемся правилом 5) для производной Пример 5. Найти дифференциал функции y = sin5 3x.

сложной функции.

Р е ш е н и е. Находим производную.

1 f (x) = ex cos 2x = 1 + ex cos 2x y = 5 sin4 3x(sin 3x) = 5 sin4 3x cos 3x(3x) =15 sin4 3x cos 3x.

1 = ex cos 2x x3 cos 2x = Тогда 1 + e2x cos 2x dy = y dx = 15 sin4 3x cos 3x dx.

ex cos 2x = (x3) cos 2x + x3(cos 2x) = 1 + e2x cos 2x Производные высших порядков. Пусть функция f(x) ex cos 2x имеет производную в каждой точке x (a, b). Тогда на про= 3x2 cos 2x + x3(- sin 2x)(2x) = 1 + e2x cos 2x межутке (a, b) будет определена функция f (x), и тоже можex cos 2x но говорить о её производной. Назовем f (x) производной = 3x2 cos 2x - 2x3 sin 2x.

первого порядка функции f(x). Производной второго по1 + e2x cos 2x рядка функции f(x) называется производная от функции Пример 4. Составить уравнение касательной к кривой f (x), если она существует. Обозначается вторая производ ная символами y или f (x).

y = 2x + Производную от второй производной называют производной третьего порядка функции f(x) и обозначают y в точке x = 3.

или f (x). Производная n-го порядка является производР е ш е н и е. Находим производную данной функции. ной от производной (n - 1)-го порядка. Производная n-го порядка обозначается y(n) либо f(n)(x).

1 1 Рассмотрим физический смысл второй производной.

f (x) = y = (2x + 3) = · 2 =.

2 2x + 3 2 2x + 3 2x + Как мы уже знаем, первая производная пути по времени есть скорость. Тогда вторая производная это скорость изменения скорости, то есть ускорение.

y Пример 6. Вычислить третью производную функции f(x) = x3e2x.

Р е ш е н и е.

f (x) = (x3) e2x + x3(e2x) = 3x2e2x + 2x3e2x = = (3x2 + 2x3)e2x, x f (x) = (6x + 6x2)e2x + (3x2 + 2x3)2e2x = 1 = 2(2x3 + 6x2 + 3x)e2x, Уравнение касательной составляем по формуле (2).

f (x) = 2(6x2 + 12x + 3)e2x + 2(2x3 + 6x2 + 3x)2e2x = = 2(2x3 + 12x2 + 15x + 3)e2x.

y - f(3) = f (3)(x - 3), y - 2 · 3 + 3 = (x - 3), 2 · 3 + 1 x x y - 3 = (x - 3), y - 3 = - 1, y = + 2.

3 3 Правило Лопиталя. Правило Лопиталя даёт простой Экстремум функции часто называют локальным экси эффективный способ раскрытия неопределённостей вида тремумом, подчёркивая тот факт, что понятие экстрему0/0 или / при вычислении пределов. ма связано лишь с достаточно малой окрестностью точки x0. Так что на одном промежутке функция может иметь Теорема 1 (Правило Лопиталя). Пусть несколько экстремумов, причём может случиться что минимум в одной точке больше максимума в другой.

lim f(x) = lim g(x) = 0, xx0 xx0 Назовём стационарными точки, в которых производная функции f(x) равна нулю или не существует.

либо lim f(x) = lim g(x) =. Теорема 4 (Необходимое условие экстремума). Есxx0 xxли функция f(x) имеет экстремум в точке x0, то эта Тогда точка стационарная для функции f(x).

f(x) f (x) lim = lim, xx0 xxg(x) g (x) Однако заметим, что не всякая стационарная точка является точкой экстремума. Таким образом, для нахождения если последний предел существует.

экстремумов требуется дополнительное исследование стаПример 7. Вычислить предел lim x ln x. ционарных точек.

xТеорема 5 (Достаточное условие экстремума). ЕсР е ш е н и е. Так как ли при переходе через точку x0 производная функции f(x) меняет свой знак с плюса на минус, то точка x0 есть lim x = 0, lim ln x =, x0 xточка максимума функции f(x), а если с минуса на плюс, то точка минимума.

то имеем неопределённость вида 0 ·. Чтобы применить правило Лопиталя, преобразуем её к виду /.

Для решения прикладных задач важно уметь находить наибольшее и наименьшее значения (глобальный максимум и минимум) функции на отрезке [a, b].

ln x x lim x ln x = lim = lim = lim (-x) = 0.

Глобальный максимум или минимум могут достигать1 x0 x0 x0 xся либо на концах отрезка [a, b] либо в точках экстремума.

x xА каждая точка экстремума, как мы уже знаем, является 2x стационарной. Поэтому для отыскания наибольшего и наиПример 8. Вычислить предел lim.

x xменьшего значений функции f(x) на отрезке [a, b] удобно пользоваться следующей схемой:

Р е ш е н и е. Имеем неопределённость вида /. Применим правило Лопиталя.

1) найти f (x);

2x 2x ln 2) найти стационарные точки функции f(x) на интервале lim = lim.

x x x3 3x(a, b);

Мы снова получили неопределённость вида /. Приме3) найти значения функции в стационарных точках и на ним правило Лопиталя ещё раз. И будем делать это до тих концах отрезка и выбрать из них наибольшее fmax и пор, пока не исчезнет неопределённость.

наименьшее fmin.

2x 2x ln2 2 2x ln3 Пример 9. Найти наибольшее и наименьшее значения lim = lim = lim = =.

x x x x3 6x 6 функции f(x) = 5(x - 1)2e-x на отрезке [0, 5].

Р е ш е н и е. 1) Находим производную Монотонность и экстремум функции. Функция f(x) называется возрастающей на промежутке (a, b), если для f (x) = 10(x - 1)e-x + 5(x - 1)2e-x(-1) = всяких x1, x2 из (a, b) таких, что x1 < x2, верно неравенство f(x1) f(x2).

= 5e-x 2(x - 1) - (x - 1)2 = Функция f(x) называется убывающей на промежутке = 5e-x(x - 1) 2 - (x - 1) = -5e-x(x - 1)(x - 3).

(a, b), если для всяких x1, x2 из (a, b) таких, что x1 < x2, верно неравенство f(x1) f(x2).

2) f (x) обращается в нуль в точках x1 = 1 и x2 = 3. Это Если функция возрастает или убывает на промежутке и есть стационарные точки.

(a, b), то говорят, что она монотонна на этом промежутке.

3) Находим значения функции в стационарных точках и Теорема 2 (Условие возрастания функции). Если на концах отрезка [0, 5].

f (x) 0 на промежутке (a, b), то функция f(x) возрастает на этом промежутке.

20 f(1) = 0, f(3) =, f(0) = 5, f(5) =.

e3 eТеорема 3 (Условие убывания функции). Если f (x) 0 на промежутке (a, b), то функция f(x) убывает Итак, fmin = f(1) = 0 и fmax = f(0) = 5.

на этом промежутке.

Исследование функций и построение их графиков.

Точка x0 называется точкой максимума функции f(x), При исследовании функций и построении их графиков поесли в некоторой окрестности точки x0 выполняется нералезно придерживаться следующей схемы:

венство f(x) f(x0).

Точка x0 называется точкой минимума функции f(x), 1) найти область определения функции;

если в некоторой окрестности точки x0 выполняется неравенство f(x) f(x0).

2) исследовать функцию на чётность нечётность;

Значения функции в точках максимума и минимума 3) найти пределы функции в граничных точках области называются соответственно максимумом и минимумом определения;

функции. Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремума функции. Понятие экстрему4) в случае бесконечной области определения найти према имеет огромное значение для прикладных дисциплин, дел функции в бесконечности;

таких как физика или экономика.

y Здесь стрелка обозначает возрастание, а убывание функции.

6) Находим точки пересечения с осями координат. Уравнение f(x) = 0 не имеет решений.

4e0 f(0) = = - = -0,8.

-5 Находим дополнительные точки.

f(-3) -0,01, f(-2) -0,3, f(1,5) 0,02.

y x 0 1 5) найти экстремумы и интервалы монотонности функции;

2 x 6) найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

4 e-x -2x Пример 10. Исследовать функцию f(x) = и по4x - строить её график.

Р е ш е н и е. 1) Знаменатель обращается в нуль при x = 5/4. Поэтому область определения функции f(x) По результатам исследования строим график.

5 -,, +.

4 Понятие эластичности функции. Большое значение в 2) Функция f(x) не является ни чётной, ни нечётной.

экономике имеет понятие эластичности функции. Эластичностью функции y = f(x) относительно переменной x на3) Найдём пределы функции f(x) при x стремящемся к зывается величина 5/4 слева (коротко обозначается x 5/4 - 0) и справа x (обозначается x 5/4 + 0).

Ex(y) = f (x). (3) f(x) 4 e-25/16-5/lim f(x) = = -, Эластичность функции характеризует процент прироста заx5/4-0 -висимой переменной, соответствующий приращению неза4 e-25/16-5/lim f(x) = = +.

висимой переменной на 1%.

x5/4+0 +Пример 11. Зависимость между себестоимостью единицы 4) Найдём пределы при x стремящемся к - и +.

продукции y (тыс. руб.) и выпуском продукции x (млн. руб.) выражается функцией y = -0,5x + 80. Найти эластичность 4 e- 4 · lim f(x) = = = 0, себестоимости при выпуске продукции, равном 60 млн. руб.

x- - 4 e- 4 · Р е ш е н и е. По определению (3) lim f(x) = = = 0, x+ + + x x Ex(y) = (-0,5) =.

5) Вычислим производную.

-0,5x + 80 x - 2 e-x -2x(-2x - 2)(4x - 5) - e-x -2x · Тогда f (x) = 4 = (4x - 5)Ex=60(y) = = -0,6, 60 - e-x -2x(-8x2 + 2x + 6) = 4.

то есть при выпуске продукции, равном 60 млн. руб., уве(4x - 5)личение его на 1% приведёт к снижению себестоимости на Находим нули производной.

0,6%.

-1 ± 1 + 48 -1 ± -8x2 + 2x + 6 = 0, x = =.

-8 -5 Неопределённый интеграл То есть x1 = -3/4, x2 = 1.

Первообразная и неопределённый интеграл. ОсновИнтервалы монотонности функции совпадают с проной операцией дифференциального исчисления является межутками знакопостоянства производной, которые, в отыскание производной заданной функции. Однако, естесвою очередь, лежат между стационарными точками ственно, возникает вопрос о существовании операции, оби точками, где функция не существует. Для изучения ратной дифференцированию. Восстановление функции по поведения функции и её производной в таких точках и известной производной этой функции есть основная задача интервалах построим следующую таблицу.

интегрального исчисления.

3 3 3 5 5 Функция F (x) называется первообразной для функции x -, - - -, 1 1 1,, + 4 4 4 4 4 f(x) если f (x) - 0 + 0 - F (x) = f(x).

f(x) -1,3 -0,Например, функция F (x) = x5/5 является первообразной 2) Постоянный множитель можно выносить за знак интедля функции f(x) = x4, так как грала.

f(x) dx = f(x) dx.

F (x) = (x5) = x4 = f(x).

3) Интеграл от суммы равен сумме интегралов.

Функция F (x) = - cos x является первообразной для функции f(x) = sin x, так как f(x) ± g(x) dx = f(x) dx ± g(x) dx.

F (x) = -(cos x) = sin x = f(x).

Пример 1. Найти интеграл Задача об отыскании первообразной по данной функdx I =.

ции f(x) решается неоднозначно. Если, например, F (x) есть x первообразная для функции f(x), то функция F (x)+C, где C произвольная постоянная, также является первообраз- Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой 1) из таблицы основных интегралов.

ной для функции f(x). Действительно, x-1/3+1 x2/3 F (x) + C = F (x) + C = f(x) + 0 = f(x).

I = x-1/3 dx = + C = + C = x2 + C.

-1/3 + 1 2/3 Более того, можно доказать, что множество функций вида Пример 2. Найти интеграл F (x)+C описывает все первообразные для данной функции f(x). Таким образом, если известна хотя бы одна первообI = 23x-1 dx.

разная для данной функции f(x), то известно и всё множество первообразных для этой функции.

Pages:     | 1 | 2 || 4 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.