WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 | 4 |
Высшая математика. Лекции по курсу.

преподаватель Ляликов Александр Сергеевич Список литературы 1 Линейная алгебра [1] Высшая математика для экономистов. Под редакцией Матрицы. Прямоугольная таблица чисел, содержащая Н.Ш. Кремера. m строк и n столбцов, называется матрицей размера m n:

a11 a12... a1n [2] С.А. Минюк, Е.А. Ровба. Высшая математика.

a21 a22... a2n A = [3] Сборник задач по высшей математике для экономистов.......................

Под редакцией В.И. Ермакова.

am1 am2... amn [4] Сборник индивидуальных заданий по высшей матема- Каждый элемент снабжается двумя индексами: первый укатике. Под редакцией А.П. Рябушко. зывает номер строки, а второй номер столбца, в которых расположен этот элемент.

Две матрицы называются равными, если числа их строк Содержание и столбцов равны и если равны элементы, расположенные на соответствующих местах этих матриц. Матрица назы1 Линейная алгебра 1 вается нулевой, или нуль-матрицей, если все её элементы Матрицы........................ 1 равны нулю.

Действия над матрицами............... 1 Если число столбцов матрицы n равно числу её строк, то Определители..................... 2 матрицу называют квадратной матрицей порядка n. ЭлеСвойства определителей............... 2 менты a11, a22,..., ann квадратной матрицы порядка n обОбратная матрица................... 3 разуют её главную диагональ. Квадратная матрица назыРешение систем линейных уравнений....... 3 вается диагональной, если все её элементы, расположенные Модель Леонтьева многоотраслевой экономики.. 4 вне главной диагонали, равны нулю. Диагональная матрица называется единичной, если все её элементы, располо2 Аналитическая геометрия 4 женные на главной диагонали, равны единице. Например, Уравнения прямой.................. 4 Угол между прямыми................ 5 2 3 0 2 0 0 1 0 1 0 Различные уравнения................. 5 A = 5 4, B = 5 0, E = 1 Пересечение прямых................. 5 3 7 3 0 0 3 0 0 Расстояние от точки до прямой........... соответственно квадратная, диагональная и единичная матрицы третьего порядка.

3 Предел Числовая последовательность............ Действия над матрицами. Над матрицами, как и над Предел последовательности............. числами, можно производить ряд операций, причём некоПонятие функции................... торые из них аналогичны операциями над числами, а некоПредел функции.................... торые специфические.

Замечательные пределы............... Чтобы умножить матрицу на число, надо каждый элемент матрицы умножить на это число. Например, 4 Теория дифференцирования Понятие производной................. 2 3 0 6 9 A = 3A =.

Задачи, приводящие к понятию производной... 1 5 4 3 15 Правила дифференцирования............ Суммой матриц A и B о д и н а к о в ы х размерностей назыДифференциал функции............... вается матрица, элементы которой равны сумме элементов Производные высших порядков........... матриц A и B, расположенных на соответствующих местах.

Правило Лопиталя.................. Например, Монотонность и экстремум функции........ Исследование функций и построение их графиков 2 3 -3 3 -1 Понятие эластичности функции........... 11 A = -5, B = 1 7 A + B = 2 2.

0 6 2 0 2 5 Неопределённый интеграл Умножение матрицы A на матрицу B определено, когда Первообразная и неопределённый интеграл.... число столбцов первой р а в н о числу строк второй. При Свойства неопределённого интеграла........ этом произведением матрицы A порядка m k на матрицу Метод замены переменной.............. B порядка k n называется матрица C порядка m n, Метод интегрирования по частям.......... элементы cij которой вычисляются как сумма произведений Интегрирование тригонометрических функций.. элементов i-ой строки матрицы A и j-го столбца матрицы 6 Определённый интеграл 14 B:

k Понятие определённого интеграла......... cij = ai1b1j + ai2b2j + · · · + aikbkj = aisbsj.

Формула Ньютона Лейбница............ s=Замена переменной в определённом интеграле.. Пример 1. Вычислить произведение матриц A и B, где Формула интегрирования по частям........ Вычисление площадей плоских фигур....... -1 1 0 A =, B = 5 1.

3 1 -2 Р е ш е н и е. По определению находим элементы матрицы Пример 3. Вычислить определитель матрицы AB как произведение соответствующих строки и столбца 1 -1 матриц A и B.

A = 1 1.

1 · (-1) + 0 · 5 + 2 · (-2) 1 · 0 + 0 · 1 + 2 · 1 1 AB = = 3 · (-1) + 1 · 5 + 0 · (-2) 3 · 0 + 1 · 1 + 0 · Р е ш е н и е.

-5 =.

2 |A| = 1 · 1 ·2 + 2 · 1 · 1+ (-1)· 1 · 1 - 1 · 1 ·1 - 2 ·(-1) · 2 - 1· 1 ·1 = Операции над матрицами обладают следующими свой= 2 + 2 - 1 - 1 + 4 - 1 = 5.

ствами:

Введём понятие определителя произвольного порядка n.

1) A + B = B + A, 2) (A + B) + C = A + (B + C), Для этого понадобятся следующие определения.

3) (A + B) = A + B, 4) A(B + C) = AB + AC, Минором Mij элемента aij определителя n-го порядка называется определитель (n - 1)-го порядка, который по5) (A + B)C = AC + BC, 6) (AB) = (A)B = A(B), лучается вычёркиванием в данном определителе строки и 7) A(BC) = (AB)C, 8) AE = EA = A, столбца, содержащих элемент aij. Алгебраическим дополнением Aij элемента aij называется его минор, умноженный где E, как обычно, единичная матрица. Следующий пример на (-1)i+j:

показывает, что коммутативный (переместительный) заAij = (-1)i+jMij.

кон умножения для матриц, вообще говоря, не выполняется.

Если например, Пример 2. Найти произведения AB и BA, где 3 2 -1 3 8 © 1 2 0 A = A =, B =.

-2 3 0 0, 3 4 6 2 4 1 Р е ш е н и е.

то 1 · 0 + 2 · 6 1 · 5 + 2 · 8 12 AB = =, 3 2 3 · 0 + 4 · 6 3 · 5 + 4 · 8 24 M23 = -2 3 0, A23 = (-1)2+3M23 = -M23.

0 · 1 + 5 · 3 0 · 2 + 5 · 4 15 BA = =, 2 4 6 · 1 + 8 · 3 6 · 2 + 8 · 4 30 Известно, что каждый определитель равен сумме произто есть AB = BA.

ведений любой его строки или столбца на их алгебраические По аналогии с числами вводим понятие степени матри- дополнения, то есть цы A:

|A| = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · · + ainAin, (2) Am = A · A ·... · A.

|A| = a1jA1j + a2jA2j + · · · + anjAnj, (3) m раз По определению считают, что A0 = E. Операция возведеРавенства (2) и (3) называются соответственно разложениния в степень обладает следующими свойствами:

ями определителя матрицы по элементам i-й строки и j-го столбца. Формулы (2) и (3) применяются для вычисления Am · Ak = Am+k, (Am)k = Amk.

определителей матриц.

Переход от матрицы A к матрице A, в которой строПример 4. Вычислить определитель матрицы ки и столбцы поменялись местами с сохранением поряд ка, называется транспонированием матрицы A. Матрица 2 2 0 A называется транспонированной относительно матрицы 2 1 3 A = A. Например, 1 1 0 2.

5 2 1 1 1 0 A = A = 1.

Р е ш е н и е. Разложим данный определитель по элементам 3 1 2 его третьего столбца.

Операция транспонирования обладает следующими свой|A| = a13A13 + a23A23 + a33A33 + a43A43 = ствами:

2 1 4 2 2 1) (A ) = A, 2) (A) = A, = (-1)1+3 · 0 · 1 1 2 + (-1)2+3 · 3 · 1 1 2 + 5 2 0 5 2 3) (A + B) = A + B, 4) (AB) = B A.

2 2 1 2 2 Определители. Определителем матрицы второго по+ (-1)3+3 · 0 · 2 1 4 + (-1)4+3 · 1 · 2 1 4 = рядка называется число 5 2 0 1 1 = -3 · (0 + 2 + 20 - 5 - 8 - 0)a11 a= a11a22 - a21a12.

a21 a- 1 · (4 + 2 + 8 - 1 - 8 - 8) = = -3 · 9 - 1 · (-3) = -24.

Определителем матрицы третьего порядка называется число Свойства определителей. Вычисление определителя с a11 a12 aпомощью разложения по строке или столбцу достаточно a21 a22 a23 = a11a22a33 + a31a12a23 + a21a32a13 трудоёмкое дело. Используя свойства определителя, можно a31 a32 a33 - a13a22a31 - a21a12a33 - a32a23a11. (1) значительно упростить его вычисление.

1) При транспонировании матрицы её определитель не Знаки, с которыми слагаемые входят в формулу (1), легко меняется, то есть запомнить, пользуясь правилом треугольника. Определи|A | = |A|.

тель квадратной матрицы A обозначается |A| или det A.

2) Общий множитель всех элементов строки или столб- Обратная матрица. Матрица A-1 называется обратной ца определителя можно вынести за знак определителя. для квадратной матрицы A, если Например, AA-1 = A-1A = E.

a11 a12 a13 a11 a12 aКвадратная матрица имеет обратную тогда и только тоka21 ka22 ka23 = k a21 a22 a23.

гда, когда её определитель не равен нулю. Такие матрицы a31 a32 a33 a31 a32 aназываются невырожденными. Невырожденная матрица A имеет единственную обратную 3) Если элементы какой-либо строки (столбца) определи теля представляют собой суммы двух слагаемых, то A11 A21... Anопределитель может быть разложен на сумму двух соA12 A22... AnA-1 =, (4) |A| ответствующих определителей. Например, A1n A2n... Ann где Aij алгебраическое дополнение элемента aij матрицы a11 + b1 a12 + b2 a13 + bA.

a21 a22 a23 = a31 a32 aПример 6. Найти матрицу, обратную к данной.

a11 a12 a13 b1 b2 b 1 -1 = a21 a22 a23 + a21 a22 a23.

A = 1 1.

a31 a32 a33 a31 a32 a1 1 4) Определитель, содержащий две одинаковые строки или Р е ш е н и е. В примере 3 было подсчитано, что |A| = 5 = 0.

столбца, равен нулю.

Значит, матрица A невырожденная и обратная существует.

По формуле (4) находим 5) Определитель не изменяется, если к элементам одной из его строк (столбцов) прибавить соответствующие 1 3 -2 1/5 3/5 -2/элементы другой строки (столбца), умноженные на од-3 1 1 = -3/5 1/5 1/5.

A-1 = но и то же число. Например, 1 -2 3 1/5 -2/5 3/a11 a12 a13 a11 a12 + ka11 aДля проверки правильности вычислений полезно убедитьa21 a22 a23 = a21 a22 + ka21 a23.

ся, что для найденной матрицы в самом деле верно равенa31 a32 a33 a31 a32 + ka31 aство A · A-1 = E.

6) Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: Невырожденные матрицы обладают следующими свойствами:

|AB| = |BA| = |A| · |B|.

-1) |A-1| =, 2) (A-1) = A, |A| Если в определителе порядка n имеется столбец (строm 3) (Am)-1 = (A-1), 4) (AB)-1 = B-1A-1, ка), все элементы которого, кроме одного, равны нулю, то, разложив определитель по этому столбцу (строке), мы све5) (A-1) = (A )-1.

дём его вычисление к вычислению определителя порядка (n - 1). Если же такого столбца (строки) нет, то, испольРешение систем линейных уравнений. Система лизуя свойство 5) определителей, можно, не меняя значения нейных уравнений имеет вид данного определителя, преобразовать его так, чтобы в вы бранном столбце (строке) все элементы, кроме одного, об a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1, ратились в нуль.

a x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2, Пример 5. Вычислить определитель матрицы · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm, 4 6 -2 1 2 -3 где aij коэффициенты при неизвестных, bi свободные A = 4 -2 1 0.

члены. Матрицы 6 4 4 a11 a12... a1n a11 a12... a1n bР е ш е н и е. Преобразуем матрицу так, чтобы все элементы a21 a22... a2n a21 a22... a2n b третьей строки, кроме одного, обратились в нуль. Для этого.....................,..........................

домножим третий столбец на -4 и добавим к первому, а am1 am2... amn am1 am2... amn bm затем домножим третий столбец на 2 и добавим ко второму.

называются соответственно матрицей и расширенной мат12 2 -2 12 2 4 рицей системы.

13 -4 -3 Система уравнений называется совместной, если она |A| = = 1 · (-1)3+3 13 -4 1.

0 0 1 -10 12 6 имеет хотя бы одно решение. Совместная система имеет ли-10 12 4 бо одно, либо бесконечно много решений. В первом случае она называется определённой, а во втором неопределёнОбнулим в полученном определителе третьего порядка ной. Система уравнений, не имеющая решений, называется все элементы второй строки, кроме одного. Для этого донесовместной.

множим третий столбец нового определителя на -13 и 4 и Рассмотрим метод Гаусса решения систем линейных добавим соответственно к первому и второму столбцам.

уравнений на конкретном примере.

-40 18 Пример 7. Решить систему -40 |A| = 0 0 1 = 1 · (-1)2+3 = -88 x - y + z = 6, -88 36 x - 2y + 3z = 17, 5 = (-1) · (-8) · 18 = 144 · (10 - 11) = -144.

11 2 -2x - 3y - 5z = -9, Р е ш е н и е. Избавимся от переменной x во втором и тре- Модель Леонтьева многоотраслевой экономики.

тьем уравнениях. Для этого сначала домножим первое Пусть имеется n отраслей промышленности, каждая из коуравнение на -1 и прибавим ко второму, а потом домно- торых производит свою продукцию. Часть продукции идёт жим первое на 2 и прибавим к третьему. на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для x - y + z = 6, x - y + z = 6, целей конечного (вне сферы материального производства) x - 2y + 3z = 17, -y + 2z = 11, личного и общественного потребления.

-2x - 3y - 5z = -9, -5y - 3z = 3, Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например, год). Введём следующие обозначения:

x - y + z = 6, -y + 2z = 11, xi общий (валовый) объём продукции i-ой отрасли;

- 13z = -52.

aij коэффициенты прямых затрат, показывающие затраты продукции i-ой отрасли на производство единиОтсюда цы продукции j-ой отрасли;

z = 4, yi объём конечного продукта i-ой отрасли для непроизy = 2z - 11 = 8 - 11 = -3, водственного потребления.

x = 6 + y - z = 6 - 3 - 4 = -1.

Так как валовый объём продукции i-ой отрасли равен Для сокращения письма и придания решению большей суммарному объёму её продукции, потребляемой всеми отнаглядности можно проделать те же преобразования с расраслями, и конечного продукта, то ширенной матрицей системы:

n 1 -1 1 6 1 -1 1 xi = aijxj + yi (i = 1, 2,..., n). (5) 1 -2 3 17, -1 2 11, j=-2 -3 -5 -9 0 -5 -3 Уравнения (5) называются соотношениями баланса.

1 -1 1 0 -1 2 11.

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого валового объёма продукции для каждой 0 0 -13 -из отраслей, который при известных прямых затратах обесЕсли обозначить матрицу системы через A, а столбец печивает заданный конечный продукт. Для её решения досвободных членов и столбец переменных через B и X соотстаточно решить систему линейных алгебраических уравветственно, то получится матричный вид системы линейнений (5).

ных уравнений:

AX = B.

Pages:     || 2 | 3 | 4 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.