WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 |

На рисунке 1 график функции z = f(x,y) представляет собой поверхность F. Длина отрезка Р0Р равна значению функции z в точке P0, то есть Р0Р = f(x0,y0) (на рисунке для наглядности поверхность F выбрана так, что все рассматриваемые значения функции и приращения в точке Pположительны, но это не ограничивает справедливости приведенных выше выводов и формул в общем случае). Координатами точек Q0, S0 и Rявляются пары чисел соответственно (x0,y0+у); (x0+x,y0) и (x0+x,y0+у), причём Q0Q = f(Q0), S0S = f(S0) и R0R = f(R0). Приращение f(х0,у0) функции в точке Р0 равно RR2.

Параллелограмм PQ1R1S1 лежит в плоскости, которая касается поверхности F в точке Р. Прямоугольник PQ2R2S2 расположен в горизонтальной плоскости. Очевидно: Q2Q1 = fy(x0,y0)y и S2S1 = fx(x0,y0)x.

Из легко доказываемого равенства R2R1 = S2S1 + Q2Qи формулы (2) следует, что дифференциал функции в точке Р0 равен R2R1.

Так как df(x0,y0) f(x0,y0), дифференциал df даёт приближенное значение приращения функции при малых значениях приращений аргументов.

§4. Производная по направлению.

Пусть в плоскости XOY расположена точка M0(x0,y0). Зададим произвольный угол и рассмотрим множество точек на той же плоскости, координаты которых определяются из формул x = x0 + t cos, y = y0 + t sin. (1) Здесь t - параметр, который может быть равен любому числу. Из формул (1) следует:

(y - y0)/(x - x0) = tg Это означает, что все точки M(x,y), координаты которых удовлетворяют равенствам (1), лежат на прямой, проходящей через точку M0(x0,y0) и составляющей угол с осью OX. Каждому значению t соответствует единственная точка M(x,y), лежащая на этой прямой, причем согласно формуле (1) из §1 расстояние между точками M0(x0,y0) и M(x,y) равно t. Можно считать эту прямую числовой осью с положительным направлением, определяемым возрастанием параметра t. Обозначим положительное направление этой оси символом l.

Производной функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0) по направлению l называется число f x0, y0 f x0 t cos, y0 t sin - f x0, y0.(2) lim t l t Производной функции по направлению можно дать геометрическую интерпретацию. Если через прямую l, определяемую формулами (1), провести вертикальную плоскость P (на самом деле в трехмерном пространстве уравнения (1) определяют эту самую плоскость), то эта плоскость пересечет поверхностьграфик функции z = f(x,y) вдоль некоторой пространственной кривой L. Тангенс угла между горизонтальной плоскостью и касательной к этой кривой в точке M0(x0,y0) равен производной функции в этой точке по направлению l.

В любом курсе математического анализа доказывается, что производная по направлению, определяемая формулой (2), может быть представлена в виде f x0, y0 f x0, y0 cos f x0, y0 sin.(3) l x y Заметим, что частная производная по x тоже является производной по направлению. Это направление определяется равенствами: cos = 1; sin = 0.

Аналогично частная производная по y — это производная по направлению, которое можно задать условиями cos = 0; sin = 1.

Прежде, чем анализировать формулу (3), приведем некоторые понятия и факты из курса векторной алгебры. Пусть в плоскости с системой координат XOY задан направленный отрезок или (что то же самое) вектор, причем точка r M0(x0,y0) является его начальной точкой, а M1(x1,y1) - конечной точкой. Определим координату вектора по оси OX как число, равное x1 - x0, а координату по оси OY, как число, равное y1 - y0. Если задать упорядоченную пару любых чисел a и b, то эти числа можно рассматривать как координаты некоторого вектора в r плоскости XOY, причем длина этого вектора определена формулой H r a2 b2, а тангенс угла наклона вектора к оси OX определяется из формулы tg = b/a (отметим, что зная величину tg, а также знак любого из чисел a и b, мы можем определить угол с точностью до 2 ).

Представление вектора в виде пары его координат будем записывать в виде r a;b или r a;b. Такое представление имеет одну характерную особенность:

оно не определяет местоположение вектора на плоскости XOY. Чтобы его определить, нужно наряду с координатами вектора задавать, например, координаты его начальной точки или, как её можно назвать, точки приложения вектора.

Если заданы два вектора: a a1; a2 и b b1;b2, то скалярным произведением ab этих векторов называется число a b cos ( - угол между векторами).

В любом курсе векторной алгебры доказывается, что скалярное произведение векторов a a1; a2 и b b1;b2 равно сумме произведений одноименных координат этих векторов:

ab = a1b1 + a2b2.(4) Пусть в некоторой области G плоскости XOY задана функция z = f(x,y), имеющая непрерывные частные производные по обоим аргументам. Градиентом или вектором-градиентом grad f x; y функции f(x,y) в точке (x,y) G называется вектор, который задается формулой f x, y ; f x, y grad f x, y =.

x y Функция f определяет для каждой точки области G вектор-градиент, исходящий из этой точки.

Возвратимся теперь к формуле (3). Ее правую часть мы можем рассматривать, как скалярное произведение векторов. Первый из них - векторградиент функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0):

f x0, y0 ; f x0, ygrad f x0, y0 =.

x y Второй – вектор e cos=;sin=. Это вектор, имеющий длину 1 и угол наклона к оси OX, равный.

Теперь можно сделать вывод, что производная функции z = f(x,y) по направлению, определяемому углом наклона к оси OX, в точке M0(x0,y0) может быть вычислена по формуле f x0, y grad f x0; y0 cos.(5) l Здесь - угол между вектором grad f x0, y0 и вектором e, задающим направление, по которому берется производная. Здесь также учтено, что e 1.

Из формулы (5) можно сделать очень важное заключение: производная по направлению от функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0) достигает наибольшего значения, если это направление совпадает с направлением вектораградиента функции в рассматриваемой точке, так как cos 1, и равенство достигается только если = 0 (очевидно, что другие решения уравнения cos = нас в данном случае не интересуют). Иначе можно сказать, что вектор-градиент функции в точке направлен в сторону наискорейшего возрастания функции в этой точке.

Кроме того из формулы (5) следует, что наибольшее значение производной по направлению в точке или наибольшее значение скорости возрастания функции в точке равно длине вектора-градиента функции в этой точке.

y Пример. Требуется найти производную функции z по направлению, y - x составляющему угол в 60° с осью OX, в точке (1;3).

y x Найдем частные производные функции: zx ;zy - Теперь y - x 2 y - x 3 можно определить градиент функции в точке (1;3): gradz 1;3 = ;-.

4 1 Принимая во внимание равенство e = ;, воспользуемся формулой (4):

2 z 1;3 3 -.

l §5. Экстремум функции двух переменных.

Точка M0(x0,y0) является точкой максимума (минимума) функции z = f(x,y), если найдется такая окрестность точки M0, что для всех точек M(x,y) из этой окрестности выполняется неравенство f(x,y)< f(x0,y0) ( f(x,y)> f(x0,y0)).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Сформулируем необходимое условие экстремума. Если в точке экстремума существует первая частная производная (по какому-либо аргументу), то она равна нулю.

Точки экстремума дифференцируемой функции (то есть функции, имеющей непрерывные частные производные во всех точках некоторой области) надо искать только среди тех точек, в которых все первые частные производные равны нулю.

Там, где выполняется необходимое условие, экстремума может и не быть (здесь полная аналогия с функцией одной переменной).

Пример:

z = xy; zx = y; zy = x; zx(0,0) = 0; zy(0,0) = 0.

Обе частные производные в точке (0,0) обращаются в 0. Однако точка (0,0) не является точкой экстремума, так как в ней самой z = 0, а в любой её окрестности есть точки, где z(x,y) > 0 (это точки, лежащие внутри первого и третьего координатных углов), и есть точки, где z(x,y) < 0 (это точки, лежащие внутри второго и четвертого координатных углов).

Для ответа на вопрос, является ли точка области определения функции точкой экстремума, нужно использовать достаточное условие экстремума. Ниже приводится его формулировка.

Пусть zx(x0,y0) = 0 и zy(x0,y0) = 0, а вторые частные производные функции z непрерывны в некоторой окрестности точки (x0,y0). Введем обозначения: A = zxx(x0,y0); B = zxy(x0,y0); C = zyy(x0,y0); D = AC - B2.

Тогда, если D < 0, то в точке (x0,y0) экстремума нет.

Если D > 0, то в точке (x0,y0) экстремум функции z, причем если A > 0, то минимум, а если A < 0, то максимум.

Если D = 0, то экстремум может быть, а может и не быть. В данном случае требуются дополнительные исследования.

Исследование функции двух переменных на экстремум сводится к следующему: сначала выписываются необходимые условия экстремума:

zx(x,y) = 0;

zy(x,y) = которые рассматриваются как система уравнений. Ее решением является некоторое множество точек. В каждой из этих точек вычисляются значения D и проверяется выполнение достаточных условий экстремума.

§6. Метод наименьших квадратов Пусть проводится n однородных испытаний или экспериментов, и результатом каждого испытания является пара чисел – значений некоторых переменных x и y. Испытание с номером i приводит к числам xi, yi. В качестве испытания можно, например, рассматривать выбор определенного предприятия в данной отрасли промышленности, величиной x считать объем производства продукции (например в миллионах рублей), величиной y – объем экспорта этого вида продукции (в миллионах рублей), и обследовать n предприятий отрасли.

Итогом этих испытаний является таблица:

x x1 x2... xn y y1 y2... yn где каждому числу xi (величину x рассматриваем как независимый показатель или фактор) поставлено в соответствие число yi (величину y рассматриваем как зависимый показатель – результат).

В качестве значений xi часто рассматриваются моменты времени: t1, t2,..., tn, взятые через равные промежутки. Тогда таблица t t1 t2... tn y y1 y2... yn называется временным рядом.

Нас интересует вопрос, как найти приближенную формулу для функции y = f(x), которая “наилучшим образом” описывала бы данные таблицы.

Пусть точки с координатами (xi,yi) группируются на плоскости вдоль некоторой прямой. Задача заключается в том, чтобы найти параметры a0 и a1 этой прямой:

y = a0 + a1x,(1) причем это нужно сделать так, чтобы она лучше любой другой прямой соответствовала расположению на плоскости экспериментальных точек (xi, yi).

Признаком наилучшей прямой считается минимум суммы квадратов отклонений фактических значений y, полученных из таблицы, от вычисленных по формуле (1). Эта сумма квадратов рассчитывается по формуле S2 = (y1 – (a0 + a1x1))2 + (y2 – (a0 + a1x2))2 +...+ (yn – (a0 + a1xn))2 = n y - a0 a1xi 2.

i i=Обратим внимание на то, что все xi и yi — известные из таблицы числа, а Sесть функция двух переменных a0 и a1.

S2 = S2(a0,a1) Можно показать, что график функции S2 выглядит примерно так, как изображено на рисунке. Единственная 2 S S точка, в которой обе частные производные и равны a0 aнулю, является точкой минимума.

Отсюда следует, что точку минимума можно искать, используя лишь необходимые условия экстремума:

n Sa0 2 yi - a0 - a1xi 0,(2) i=n Sa1 2xi yi - a0 - a1xi 0.(3) i=На самом деле для фунуции S2 = S2(a0,a1) достаточно легко проверить выполнение достаточных условия экстремума, тогда не нужно обращаться к графику функции. Проверку выполнения достаточных условий предоставляем читателю сделать самому.

Уравнения (2) и (3) можно преобразовать:

a0n a1 xi yi.(4) a xi a1 xi2 xi yi Получилась так называемая система нормальных уравнений относительно неизвестных величин a0 и a1.

Формула (1) с параметрами a0, a1 определенными из системы (4), называется уравнением регрессии. Прямая линия, описываемая этим уравнением, называется линией регрессии. Для временных рядов обычно вместо слова “регрессия” употребляется слово тренд.

Если экспериментальные точки в плоскости XOY группируются вдоль некоторой кривой линии, то можно подобрать вместо формулы (1) другую подходящую формулу, например, y = a0 + a1x + a2x2 или y = a0 exp(a1x) с параметрами соответственно a0, a1, a2 и a0, a1, подставить ее в выражение n S2 yi - y xi и искать минимум получившейся функции S2 при помощи ( ) () i =частных производных по параметрам.

Упражнения 1. Найти частные производные первого порядка от следующих функций:

y 1) 2) z x3 y3 - 3axy ; z x ;

y x - y sin 3) z ; 4) x z e ;

x y y x2 - yz ;

5) 6) z arcsin ;

x x2 yГлава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения §1. Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения входят не только сами функции, но и их производные. Если производные, входящие в уравнение, берутся только по одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Если в уравнении встречаются производные по нескольким переменным, то уравнение называется уравнением в частных производных. Мы будем рассматривать лишь обыкновенные дифференциальные уравнения.

Начнем с дифференциальных уравнений первого порядка. Это уравнения, в которые входит лишь первая производная неизвестной функции. Это уравнение может быть записано в виде F(x,y,y) = 0. (1) dy Здесь x - независимая переменная, y - её неизвестная функция, y dx производная функции y, F - заданная функция трех переменных. Функция F может быть задана не для всех значений её аргументов, поэтому можно говорить об области B определения функции F координатного пространства, то есть о множестве точек координатного пространства трех переменных x,y,y.

Приведем примеры дифференциальных уравнений первого порядка:

y – x4 = 0; x sin y – ln y = 0; x cos y + (y – y2) sin x = 0.

Решением уравнения (1) называется такая функция y = (x), определенная на некотором промежутке (x1, x2), что при подстановке её вместо y в уравнение (1) получается верное равенство на всем промежутке (x1, x2). Очевидно, что подстановка y = (x) возможна только тогда, когда функция (x) на промежутке (x1, x2) имеет первую производную. Необходимо также, чтобы при любом значении переменной x из промежутка (x1, x2) точка с координатами x, y, y принадлежала множеству B, на котором определена функция F. Совокупность всех решений дифференциального уравнения называется его общим решением.

В некоторых случаях уравнение (1) определяет переменную y как функцию независимых переменных x и y:

y = f(x,y). (2) Тогда дифференциальное уравнение (2) равносильно дифференциальному уравнению (1) и называется разрешенным относительно производной.

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.