WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |

x0 xx x Производная определенного интеграла по верхнему пределу в точке x равна значению подынтегральной функции в точке x. Отсюда следует, что x функция I x f t dt является первообразной для функции f(x), причем такой a первообразной, которая принимает в точке x = a значение, равное нулю. Этот факт дает возможность представить определенный интеграл в виде x f t dt I x - I a.(1) a Пусть F(x) тоже является первообразной для функции f(x), тогда по теореме об общем виде всех первообразных функции I(x) = F(x) + C, где C — некоторое число. При этом правая часть формулы (1) принимает вид I(x) – I(a) = F(x) + C – (F(a) +C) = F(x) – F(a). (2) Из формул (1) и (2) после замены x на b следует формула для вычисления определенного интеграла от функции f(t) по промежутку [a;b]:

b f t dt F b - F a, a которая называется формулой Ньютона-Лейбница. Здесь F(x) — любая первообразная функции f(x).

Для того, чтобы вычислить определенный интеграл от функции f(x) по промежутку [a;b], нужно найти какую-либо первообразную F(x) функции f(x) и подсчитать разность значений первообразной в точках b и a. Разность этих b значений первообразной принято обозначать символом F x.

a Приведем примеры вычисления определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Примеры. 1. I xdx sin x sin - sin 0 1.

cos 2. I xexdx.

Сначала вычислим неопределенный интеграл от функции f(x) = xex. Используя метод интегрирования по частям, получаем: xexdx ex x -1 C. В качестве первообразной функции f(x) выберем функцию ex(x – 1) и применим формулу Ньютона-Лейбница:

I = ex(x – 1) = 1.

При вычислении определенных интегралов можно применять формулу замены переменной в определенном интеграле:

b f x dx f t t dt.

a Здесь и определяются, соответственно, из уравнений ( ) = a; ( ) = b, а функции f,, должны быть непрерывны на соответствующих промежутках.

e ln xdx Пример: I.

x Сделаем замену: ln x = t или x = et, тогда если x = 1, то t = 0, а если x = e, то t = 1.

В результате получим:

1 ln et etdt t2 1 I.

tdt 2 et При замене переменной в определенном интеграле не нужно возвращаться к исходной переменной интегрирования.

§14. Несобственные интегралы с бесконечными пределами Если положить промежуток интегрирования бесконечным, то приведенное выше определение определенного интеграла теряет смысл, например, потому что невозможно осуществить условия n ; 0 для бесконечного промежутка. Для такого интеграла требуется специальное определение.

Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна на полубесконечном промежутке [a; ), тогда несобственным интегралом с бесконечным пределом b f x dx называется lim f x dx, если предел существует. Если этот предел не b a a существует, то не существует и несобственный интеграл. В этом случае принято говорить, что несобственный интеграл расходится. При существовании предела говорят, что несобственный интеграл сходится.

Аналогично b b b f x dx lim f x dx и f x dx lim lim f x dx.

b a a a a b b dx dx 1 Примеры: 1. I. Очевидно: - 1 -, откуда следует x b x2 x I lim 1- 1.

b b b b dx dx 2. I lim lim 2 x lim 2 b - 2 ; этот предел не b b b x x 4 существует, следовательно, не существует или расходится интеграл I.

dx 3. I lim ln b -1 ; здесь предел также не существует, и интеграл b x e расходится.

Упражнения 1. Найти производные от следующих функций:

1) 2) y arctgx arcctgx;

y x6 - 3x5 2x2 1;

3) 3) 2 y x2 - 2x 2 2x ;

3 y 5x - 3x 2x ;

5) 6) y 5tgx - 3ctgx ; y xarcsin x ;

7) 8) y log7 x arcctgx ;

y 2tsint - t - 2 cost ;

9) 10) x3 1 xy ; y ;

x x2 - x - 5 11) 12) arccosx y ;

y 1 x3 5 где x = 1;

x x13) 14) cost 1 lnx y где t = F / 6; y 2lnx 1- sint x x 15) 16) x x e sinx y 7 arccosx.

y ;

x xe Глава 3. Функция нескольких переменных §1. Основные понятия Пусть имеется n+1 переменная x1, x2,..., xn, y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x1, x2,..., xn соответствует единственное значение переменной y. Тогда говорят, что задана функция f от n переменных. Число y, поставленное в соответствие набору x1, x2,..., xn называется значением функции f в точке (x1, x2,..., xn), что записывается в виде формулы y = f(x1,x2,..., xn) или y =y(x1,x2,..., xn).

Переменные x1, x2,..., xn являются аргументами этой функции, а переменная y - функцией от n переменных.

Далее будем говорить лишь о функции двух переменных. Для функций большего числа переменных все факты, о которых будет идти речь, или аналогичны или сохраняются без всякого изменения. Аргументы функции двух переменных будем обозначать как правило x и y, а значение функции - z.

Будем говорить, что задана функция двух переменных, если любой паре чисел (x,y) из некоторого множества D упорядоченных пар чисел поставлено в соответствие единственное число, которое обозначается f(x,y) и называется значением функции f в точке (x,y).

Множество D называется областью определения функции.

Поскольку любую пару чисел x,y можно рассматривать как пару координат точки M на плоскости, вместо z=f(x,y) можно писать z=f(M).При этом аргументами функции будут координаты x,y точки M.

Числа x,y можно рассматривать как координаты вектора r, исходящего из начала координат и с концом в точке M(x,y). Тогда функция двух переменных будет функцией вектора, что записывается в виде формулы z = f(r ), причем аргументами функции являются координаты вектора r.

График функции двух переменных есть множество точек (x,y,f(x,y)), где (x,y)D. График представляет собой некоторую поверхность. Пример такой поверхности приводится на рисунке 1.

Очевидно, что нельзя ввести понятия возрастания или убывания (монотонности) функции двух переменных. Рассмотрим график некоторой функции z=f(x,y), изображенный на рисун-ке 2. Из точки M(x,y) в плоскости X,Y проведем два луча l1 и l, определяющих некоторые направления. Можно говорить, что в точке M функция f в направлении lвозрастает, а в направлении l2 убывает. Это означает, что для любой точки M1, лежащей на луче lдостаточно близко к точке M, выполняется неравенство f(M1) f(M). Для любой точки M2, лежащей на луче l2 достаточно близко к точке M, выполняется неравенство f(M2) f(M).

Одним из подходов к исследованию функций двух переменных является изучение поведения функции в точке, то есть определение направлений, в которых функция убывает или возрастает, и определение скорости возрастания или убывания.

Можно использовать другой подход. Пусть имеется функция z = f(x,y) c графиком, представляющим собой некоторую поверхность.

Рассмотрим сечение графика функции плоскостью z=C (эта плоскость параллельна плоскости XOY и пересекает ось Z в точке z=C ).

Спроектируем линию пересечения этой плоскости с поверхностью z = f(x,y) на плоскость XOY и получим так называемую линию уровня C функции z = f(x,y). Линия уровня представляет собой множество всех точек в плоскости XOY, для которых выполняется равенство f(x,y) = C.

Придавая различные значения параметру C, можно получить множество линий уровня функции f(x,y).

Если для каждой линии уровня указать соответствующее ей значение C, то получится топографическая карта поверхности, представляющей собой график функции.

В микроэкономике, в предположении что потребитель приобретает лишь два вида товаров: A и B, вводится понятие общей полезности TU, как функции двух аргументов: Q1 и Q2 – количеств потребленных товаров A и B, соответственно:

TU = TU(Q1,Q2). (1) Очевидно, что все линии уровня функции TU(Q1,Q2) составляют семейство кривых безразличия (Курс экономической теории. Под общей редакцией проф.

Чепурина М.Н. 1995, стр. 125).

Пусть в плоскости XOY заданы две точки: M0(x0,y0) и M1(x1,y1). Расстояние H между этими точками рассчитывается по формуле H x1 - x0 2 y1 - y0 2.(2) Пусть @ - некоторое положительное число. @-окрестностью V@ точки @ @ @ M0(x0,y0) называется множество всех точек, координаты x,y которых удовлетворяют неравенствам 0 < x - x0 2 y - y0 2 < @.

Очевидно, что @-окрестность точки M0(x0,y0) представляет собой круг радиуса @ с выколотым центром.

Точка M0(x0,y0) называется точкой минимума функции z = f(x,y), если существует такое положительное число @, что из условия M(x,y) V@ (x0,y0) следует f(x,y) > f(x0,y0).

Точка M0(x0,y0) называется точкой максимума функции z = f(x,y), если существует такое положительное число @, что из условия M(x,y) V@ (x0,y0) следует: f(x,y) < f(x0,y0).

Точки минимума и максимума называются точками экстремума.

Число A называется пределом функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0):

A lim f x, y A lim f M, xx0 M M y yесли для произвольного числа A > 0 найдется такое число @ > 0, что для всех точек M(x,y) из @-окрестности точки M0(x0,y0) выполняется неравенство |f(x,y) - A|

Функция z = f(x,y) называется непрерывной в точке M0(x0,y0), если lim f M f M0.

M M Два последних определения фактически повторяют определения предела и непрерывности в точке для функции одной переменной.

§2. Частные производные Частной производной по x функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0) называется предел f x0 x, y0 - f x0, y0, lim xx если этот предел существует. Обозначается эта частная производная любым из следующих символов:

f x0, y0.

fx M ; fx x0, y0 ;

x Частная производная по x есть обычная производная от функции z = f(x,y), рассматриваемой как функция только от переменной x при фиксированном значении переменной y.

Совершенно аналогично можно определить частную производную по y функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0):

f x0, y0 = lim f x0, y0 y - f x0, y0.

y y y В пространстве XYZ условие y = y0 описывает плоскость P, перпендикулярную оси OY и пересекающую эту ось в точке y0. Плоскость P пересекается с графиком функции z = f(x,y), вдоль некоторой линии L, как показано на рисунке 1. Тангенс угла между плоскостью XOY и касательной к линии L в точке с координатами x0,y0 равен частной производной по x функции z = f(x,y) в этой точке. В этом состоит геометрический смысл частной производной.

Аналогичное заключение можно сделать относительно частной производной по y.

Приведем примеры вычисления частных производных. Как говорилось выше, для вычисления частной производной по x функции z = f(x,y) нужно положить переменную y равной константе, а при нахождении частной производной по y нужно считать константой переменную x.

z 1 z Примеры. 1. z x2 y x; 2xy ; x2.

x 2 x y x x x z 1 z x y y y 2. z x, y e ; e ; - e.

x y y yЕсли частные производные функции z = f(x,y) существуют на некотором множестве, а точка, в которой вычисляются частные производные несущественна, то пользуются более короткими обозначениями:

f f zx;zy; fx; fy; ;.

x y Сами частные производные могут являться функциями от нескольких переменных на некотором множестве. У этих функций тоже могут существовать частные производные по x и по y. Они называются вторыми частными производными или частными производными второго порядка и обозначаются 2 2 2 f f f z zxx, zyy, zxy или ; ;. Согласно определению zxx zx x ;

x y x2 y2 x z zxy zx. Последняя частная производная второго порядка называется y x y смешанной. Смешанная частная производная второго порядка, вообще говоря, зависит от того, в какой последовательности берутся переменные, по которым вычисляется производная. Так, производная zxy = (zx )y может не быть равной zyx = (zy )x. Однако существует теорема, утверждающая, что если смешанные частные производные второго порядка непрерывны, то они не зависят от того, в какой последовательности вычислялись частные производные по x и по y. (Рекомендуем читателю самому убедиться в справедливости этой теоремы для функций, рассмотренных в приведенных выше примерах 1 и 2.) Отметим очень важное отличие функции двух переменных от функции одной переменной. Из существования первых частных производных в точке не следует непрерывность функции в этой точке. Рассмотрим, например, функцию 0 при xy = f x, y =.

1 при xy График этой функции во всех точках, не принадлежащих осям координат OX и OY, представляет собой плоскость, параллельную плоскости XOY, поднятую на 1. Сами эти оси координат также принадлежат графику рассматриваемой функции. Очевидно, что в точке (0,0) функция имеет частные производные по обоим аргументам, обе равные нулю. Очевидно также, что в любой окрестности точки (0,0) можно найти точку M такую, что f(M) = 1, в то время как f(0, 0) = 0.

Это означает существование разрыва функции в точке (0,0). (Пример взят из книги О.С.Ивашева-Мусатова “Начала математического анализа”).

§3. Дифференциал функции двух переменных Рассмотрим функцию z = f(x,y), имеющую в точке Р0(х0,у0) частные производные f x(х0,у0) и f у(х0,у0). Перейдём от точки Р0 к точке R0(x0+x,y0+у), придавая переменным х и у в точке Р0 произвольные приращения x и у, соответственно. При этом функция в точке Рполучит приращение f(х0,у0) = f(x0+x,y0+y) – f(x0,y0) = f(R0) – f(P0).

Если приращение функции f(x,y) можно представить в виде f(х0,у0) = f x(х0,у0)x + f у(х0,у0)у + (x;у) x + (x;у)у,(1) где lim ( ) ( ) x; y = lim x; y = 0, то функция называется x0;y0 x0;yдифференцируемой в точке Р0(х0,у0). Сумма первых двух слагаемых в правой части равенства (1) называется дифференциалом функции f(x,y) в точке Р0 и обозначается df(x0,y0):

df(x0,y0) = f x(х0,у0)x + f у(х0,у0)у. (2) Если точка, в которой вычисляется дифференциал не существенна, его принято обозначать просто df. Из определения следует, что дифференциал представляет собой главную часть приращения функции, линейную относительно приращений её аргументов. Полагая поочерёдно f(x,y) = х и f(x,y) = у, получим, что дифференциалы dх и dy независимых аргументов функции х и у равны соответственно x и у. Таким образом df = f x dх + f у dу.

Раньше говорилось о том, что из существования частных производных в точке не следует непрерывности функции в этой точке.

Однако, из справедливости равенства (1) следует lim f (x0; y0) 0, x0;yа это означает непрерывность функции в точке (х0,у0). Следовательно, дифференцируемая в точке функция обязательно непрерывна в этой точке.

Из сказанного следует, что существование обеих частных производных функции в точке не означает, что функция дифференцируема в этой точке. В курсе математического анализа доказывается теорема, что функция дифференцируема в точке, если обе частные производные этой функции непрерывны в этой точке.

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.