WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 8 |

Как было показано выше, с помощью необходимого условия нельзя определить, является ли данная точка точкой экстремума, тем более указать, какой экстремум реализуется – максимум или минимум. Для того, чтобы ответить на эти вопросы, сформулируем и докажем теорему, которая называется достаточным условием экстремума.

Пусть функция f(x) непрерывна в точке x0. Тогда:

1) если f (x) < 0 на (a;x0) и f (x) > 0 на (x0;b), то точка x0 – точка минимума функции f(x);

2) если f (x) > 0 на (a;x0) и f (x) < 0 на (x0;b), то точка x0 – точка максимума функции f(x);

Докажем первое утверждение теоремы.

Так как f (x) < 0 на (a;x0) и f(x) непрерывна в точке x0, то f(x) убывает на (a;x0], и для любого x(a;x0) выполняется условие f(x)>f(x0).

Так как f (x) > 0 на (x0;b) и f(x) непрерывна в точке x0, то f(x) возрастает на (x0;b], и для любого x(x0;b) выполняется условие f(x)>f(x0).

В результате получается, что при любом xx0 из (a;b) выполняется неравенство f(x)>f(x0), то есть точка x0 – точка минимума f(x).

Второе утверждение теоремы доказывается аналогично.

§8. Выпуклость и вогнутость функции Пусть функция f(x) имеет производную в каждой точке промежутка (a;b).

Если на промежутке (a;b) график функции f(x) расположен выше любой своей касательной, проведенной в точке этого промежутка, то функция называется вогнутой на этом промежутке (иногда говорят "выпуклой вниз").

Если на промежутке (a;b) график функции f(x) расположен ниже любой своей касательной, проведенной в точке этого промежутка, то функция называется выпуклой на этом промежутке (иногда говорят "выпуклой вверх").

Точка x0 называется точкой перегиба функции f(x), если в этой точке функция имеет производную и существуют два промежутка: (a;x0) и (x0;b), на одном из которых функция выпукла, а на другом вогнута.

Будем называть функцию возрастающей в точке x0, если она непрерывна в этой точке и возрастает в некоторой ее окрестности. Подобным образом можно определить функцию, убывающую в точке.

Приведем без доказательства важную для исследования функций теорему.

Если f (x) > 0 на промежутке (a;b), то на этом промежутке функция f(x) вогнута. Если f (x) < 0 на промежутке (a;b), то на этом промежутке функция f(x) выпукла.

Из положительности второй производной функции на промежутке следует возрастание первой производной на этом промежутке, а это, как показано на рисунке 5, – признак вогнутой функции. Аналогичным образом иллюстрируется второе утверждение теоремы.

Если x0 – точка перегиба функции f(x), то f (x0) = 0.

Приведем другую формулировку достаточных условий экстремума функции.

Если в точке x0 выполняются условия:

1) f (x0) = 0; f (x0) < 0, тогда x0 – точка максимума;

2) f (x0) = 0; f (x0) > 0, тогда x0 – точка минимума;

3) f (x0) = 0; f (x0) = 0, тогда вопрос о поведении функции в точке остается открытым. Здесь может быть экстремум, например в точке x0 = 0 у функции y = x4, но может его не быть, например в точке x0 = 0 у функции y = x5. В этом случае для решения вопроса о наличии экстремума в стационарной точке можно использовать достаточные условия экстремума, приведенные выше.

Рассмотрим пример из микроэкономики.

В количественной теории полезности предполагается, что потребитель может дать количественную оценку (в некоторых единицах измерения) полезности любого количества потребляемого им товара.

Это означает существование функции полезности TU аргумента Q – количества купленного товара. Введём понятие предельной полезности, как добавочной полезности, прибавляемой каждой последней порцией товара. Далее построим двумерную систему координат, откладывая по горизонтальной оси количество потребляемого товара Q, а по вертикальной оси – общую полезность TU, как это сделано на рисунке 7. В этой системе координат проведем график функции TU = TU(Q). Точка Qна горизонтальной оси означает количество приобретенного товара, величина Q –добавочный приобретенный товар. Разность TU = TU(Q0 + Q) – TU(Q0) - добавочная полезность, полученная от покупки “довеска” Q. Тогда добавочная полезность от последней приобретенной порции (или единицы количества) товара вычисляется по формуле TU / Q (Курс экономической теории. Под общей редакцией проф. Чепурина М.Н. 1995, стр. 122). Эта дробь, как можно видеть, зависит от величины Q. Если здесь перейти к пределу при Q 0, то получится формула для определения предельной полезности MU:

dTU MU.

dQ Это означает, что предельная полезность равна производной функции полезности TU(Q). Закон убывающей предельной полезности сводится к уменьшению этой производной с ростом величины Q. Отсюда следует выпуклость графика функции TU(Q). Понятие функции полезности и представление предельной полезности в виде производной этой функции широко используется в математической экономике.

§9. Неопределенный интеграл.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a;b), если для всех x(a;b) выполняется равенство F (x) = f(x).

Например, для функции x2 первообразной будет функция x3/3.

Если для F(x) установлено равенство dF(x) = f(x)dx, то F(x) первообразная dF x для f(x), так как f x F x.

dx Рассмотрим две теоремы, которые называются теоремами об общем виде всех первообразных данной функции.

Теорема 1. Если F(x) – первообразная для f(x) на (a;b), то F(x) + C, где C – число, тоже первообразная для f(x) на (a;b).

Доказательство.

(F + C) = F + C = f + 0 = f По определению F + C первообразная для f.

Прежде чем рассмотреть теорему 2, докажем две вспомогательные теоремы.

Если функция g(x) постоянна на (a;b), то g (x) = 0.

Доказательство.

Так как g(x) = C, справедливы равенства: g (x) = C = 0 (здесь, как и ниже, через C обозначено произвольно выбранное число).

Если g (x) = 0 при всех x(a;b), то g(x) = C на (a;b).

Доказательство.

Пусть g (x) = 0 во всех точках (a;b). Зафиксируем точку x1(a;b). Тогда для любой точки x(a;b) по формуле Лагранжа имеем g(x) – g(x1) = g ( )(x – x1) Так как (x; x1), а точки x и x1 принадлежат промежутку (a;b), то g ( ) = 0, откуда следует, что g(x) – g(x1)=0, то есть g(x) = g(x1)=const.

Теорема 2. Если F(x) есть первообразная для f(x) на промежутке (a;b), а G(x) – другая первообразная для f(x) на (a;b), то G = F + C, где C – число.

Доказательство.

Возьмем производную от разности G – F: (G – F) = G – F = = f – f = 0. Отсюда следует: G – F = C, где C число, то есть G = F + C.

Множество всех первообразных для функции f(x) на промежутке (a;b) называется неопределенным интегралом и обозначается f(x)dx. Если F(x) – первообразная для f(x), то f(x)dx = F(x) + C, где C – произвольное число.

Вычисление неопределенного интеграла от заданной функции называется интегрированием.

Из определения неопределенного интеграла следует, что каждой формуле дифференциального исчисления F (x) = f(x) соответствует формула f(x) dx = F(x) + C интегрального исчисления. Отсюда получается таблица неопределенных интегралов:

1) 7) dx = x + C; cosx dx = sinx + C;

dx x+ 8) tgx C ;

2) x=dx= 1 ( 1);

cos2 x dx dx 3) ln x C ; 9) -ctgx C ;

x sin2 x dx arctgx C 10) 4) exdx =ex+C;

x2 -arcctgx C;

dx arcsin x C 11) 5) 1 - xa axdx =axlog e+C ( 1) ;

-arccos x C;

dx 1 x 12) ln C.

6) sinx dx=-cosx + C;

x a - x a a - x Неопределенный интеграл обладает следующими свойствами:

4) 1) ( f(x) dx ) =f(x); d f(x)=f(x)+C ;

2) f (x) dx= f(x)+C ; 5) kf(x)dx=k f(x) dx;

3) d f(x) dx= f(x)dx;6) (f(x)+g(x))dx= f(x) dx+ g(x) dx ;

7) Если f(x) dx = F(x) + C, то f(ax+b) dx = a F ax b C (a 0).

Все эти свойства непосредственно следуют из определения.

§10. Замена переменной в неопределенном интеграле Если функция f(x) непрерывна, а функция (t) имеет непрерывную производную (t), то имеет место формула f( (t)) (t) dt = f(x) dx, где x = (t).

Можно привести примеры вычисления интеграла с помощью перехода от левой части к правой в этой формуле, а можно привести примеры обратного перехода.

Примеры. 1. I = cos(t3) t2 dt. Пусть t3 = x, тогда dx = 3t2dt или t2dt = dx/3.

dx 1 1 I x cos 3 3 cos xdx sin x C sin t3 C.

3 ln2 t ln t 2. I dt. Пусть ln t = x, тогда dx = dt/t.

t x3 I x2 x dx x2dx xdx x C 3 ln3 t 2 ln t C.

3 sin t 3. I tgtdt dt. Пусть x = cos t, тогда dx = - sint dt, и cost - dx dx I - - ln x C - ln cost C.

x x dx 4. I. Пусть x = sin t, тогда dx = cos dt, и 1- xcostdt I dt t C arcsin x C.

1- sin2 t §11. Формула интегрирования по частям Пусть u(x) и v(x) — дифференцируемые на некотором промежутке функции.

Тогда (uv) = u v + v u Отсюда следует (uv) dx = (u v + v u )dx = u v dx + v u dx или uv dx = uv – u v dx.

Отсюда следует формула, которая называется формулой интегрирования по частям:

u(x)dv(x) = u(x) v(x) – v(x)du(x) Приведем примеры применения формулы интегрирования по частям.

Примеры. 1. I = x cosx dx. Пусть u = x; dv = cosx dx, тогда du = dx; v = sinx.

Отсюда по формуле интегрирования по частям получается:

I = x sinx – sinx dx = x sinx + cosx + C.

2. I = (x2 – 3x + 2) e5xdx. Пусть x2 – 3x + 2 = u; e5xdx = dv. Тогда du = (2x – 3) dx; v e5x.

1 I e5x x2 - 5x 2 2x - 3 e5xdx.

5 К последнему интегралу применим метод интегрирования по частям, полагая 2x 3 = u; e5xdx = dv. Отсюда следует: du = 2dx; v e5x, и окончательно получаем:

1 1 1 I e5x x2 - 3x 2 - e5x 2x - 3 - e5x 2dx 5 5 5 1 1 e5x x2 - 3x 2 - e5x 2x - 3 - e5x C.

5 25 3. I x5 x ln xdx ;

dx x6 ln x u; x5 x dx dv; du; x2 v ;

x 6 3 x6 2 x6 2 dx I ln x x2 - x2 6 3 6 3 x 3 x6 2 x5 ln x x2 - dx - x2dx 6 3 6 3 x6 ln x6 2 x x - - x C.

6 3 36 В заключение покажем метод вычисления неопределенного интеграла, стоящего в приведенной выше таблице под номером 12:

dx I x a - x.

1 A B Представим дробь в виде суммы двух дробей: и, и попытаемся x a - x x a - x найти неизвестные величины параметров A и B. Из равенства 1 B - A x aA получим систему уравнений x a - x x a - x B - A = aA = 1 с решением A ;B. Отсюда следует:

a a 1 dx 1 dx 1 1 x I (ln x - ln a x ) C ln C.

a x a a - x a a a - x Полученный интеграл в обиходе обычно называют “высоким логарифмом”.

Метод, которым он был найден, называется методом “неопределенных коэффициентов”. Этот метод применяется при вычислении интегралов от дробей с числителем и знаменателем в виде многочленов.

§12. Определенный интеграл Пусть на промежутке [a;b] задана функция f(x). Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно. Выберем на промежутке [a;b] произвольные числа x1, x2, x3,, xn-1, удовлетворяющие условию:

a< x1,< x2< < xn-1,

Введем обозначения: x1 = x1 – a; x2 = x2 – x1; xn = b – xn-1.

Составим сумму:

n f ci xi.

i=Она называется интегральной суммой функции f(x) по промежутку [a;b].

Очевидно, что интегральная сумма зависит от способа разбиения промежутка и от выбора точек ci.

Каждое слагаемое интегральной суммы представляет собой площадь прямоугольника, покрытого штриховкой на рисунке 1.

Введем обозначение: = max(xi), i = 1, 2, n.. Величину иногда называют параметром разбиения.

Рассмотрим процесс, при котором число точек разбиения неограниченно возрастает таким образом, что величина стремится к нулю. Определенным интегралом b I f x dx a от функции f x по промежутку [a;b] называется предел, к которому стремится интегральная сумма при этом процессе, если предел существует:

I.

lim n ;Если такой предел существует, то он не зависит от первоначального разбиения промежутка [a;b] и выбора точек ci.

Число a называется нижним пределом интегрирования, а число b верхним пределом интегрирования.

Рассмотрим фигуру, ограниченную графиком непрерывной, неотрицательной на промежутке [a;b] функции f(x), отрезком [a;b] оси X, и прямыми x = a; x = b. Такую фигуру называют криволинейной трапецией. На рисунке 2 криволинейная трапеция выделена штриховкой. Площадь S этой трапеции определяется формулой b S I f x dx.

a Если f(x) < 0 во всех точках промежутка [a;b] и непрерывна на этом промежутке (например, как изображено на рисунке 3), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной отрезком [a;b] горизонтальной оси координат, прямыми x = a; x = b и графиком функции y = f(x), определяется формулой b S - f x dx.

a Перечислим свойства определенного интеграла:

b b 1) kf x dx k f x dx (здесь k - произвольное число);

a a b b b 2) f x g x dx f x dx g x dx ;

a a a b a 3) f x dx - f x dx ;

a b b c b 4) Если c [a;b], то f x dx f x dx f x dx.

a a c Из этих свойств следует, например, что x dx 0.

sin Все приведенные выше свойства непосредственно следуют из определения определенного интеграла.

Оказывается, что формула из пункта 4 справедлива и тогда, когда c [a;b]. Пусть, например, c>b, как изображено на рисунке 4. В этом случае верны равенства b c c c b -.

a a b a c §13. Определенный интеграл как функция верхнего предела Пусть функция f(t) определена и непрерывна на некотором промежутке, содержащем точку a. Тогда каждому числу x из этого промежутка можно поставить в соответствие число x I x f t dt, a определив тем самым на промежутке функцию I(x), которая называется определенным интегралом с переменным верхним пределом. Отметим, что в точке x = a эта функция равна нулю. Вычислим производную этой функции в точке x. Для этого сначала рассмотрим приращение функции в точке x при приращении аргумента x:

I(x) = I(x + x) – I(x) = x+x x f t dt - f t dt a a x x+x x x +x f t dt f t dt - f t dt f t dt.

a x a x Как показано на рисунке 1, величина последнего интеграла в формуле для приращения I(x) равна площади криволинейной трапеции, отмеченной штриховкой. При малых величинах x (здесь, так же как и везде в этом курсе, говоря о малых величинах приращений аргумента или функции, имеем в виду абсолютные величины приращений, так как сами приращения могут быть и положительными и отрицательными) эта площадь оказывается приблизительно равной площади прямоугольника, отмеченного на рисунке двойной штриховкой.

Площадь прямоугольника определяется формулой f(x)x. Отсюда получаем соотношение x+x I x f t dt f x x.

x В последнем приближенном равенстве точность приближения тем выше, чем меньше величина x.

Из сказанного следует формула для производной функции I(x):

I x f x x I x lim lim f x.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 8 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.