WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 8 |

3. Если одну из строк определителя умножить на какое-либо число, то получится определитель, равный исходному, умноженному на это число.

4. Определитель транспонированной3 матрицы равен определителю исходной матрицы.

5. Если в определителе вместо любой строки записать сумму этой строки и любой другой строки, умноженной на некоторое число, то полученный новый определитель будет равен исходному.

i-я строка исходной матрицы A, имеющей m строк, является i-м столбцом транспонированной матрицы AT (i 12…m). Например,, 1 2 1,A.

T A 3 4 2 Операцию транспонирования матрицы можно назвать поворотом на 180 вокруг главной диагонали.

До сих пор было показано, как вычислять определитель второго и третьего порядков. Чтобы вычислить определитель более высоких порядков, пользуются формулой Лапласа разложения определителя по строке или столбцу:

detA = ai1(–1)i+1M i1 + ai2(–1)i+2M i2 + + ain(–1)i+nM in = a1j (–1) 1+jM 1j + a2j(–1)2+jM 2j + + anj(–1) n+jM nj = Здесь i и j — любые числа от 1 до n. Последняя формула представляет собой разложение определителя по i-й строке или j-му столбцу. Mij называется минором и равняется определителю порядка n – 1, который получается из определителя detA, если вычеркнуть i-ю строку и j-й столбец. Произведение (–1)i+jMij обозначается Aij и называется алгебраическим дополнением элемента aij.

1 2 1 2 -1 1 Пусть – определитель четвертого порядка:.

- 3 1 - 2 6 7 8 Представим его разложение по второй строке:

2 1 3 1 1 3 1 2 2 -1 2+1 1 - 2 5 -1 -1 2+2 - 3 - 2 5 1 -1 2+3 - 3 1 5 0, 7 8 9 6 8 9 6 7 и по второму столбцу:

2 - 1 0 1 2 1 1 - 3 1 5 1 1 - 3 1 (- )1+3 (- )2+6 7 9 6 7 1 2 3 1 2 2 1 2 - 1 0 8 1 2 - 1 0.

(- )(- )3+3 (- )4+6 7 9 - 3 1 Аналогичным образом можно вычислить, разлагая его по первой, третьей, четвертой строке или по первому, второму или четвертому столбцу.

Вычисление определителя четвертого порядка сводится в худшем случае (если среди элементов нет нулей) к вычислению четырех определителей третьего порядка.

Аналогичным образом вычисление определителя 5-го порядка сводится к вычислению 5-ти определителей 4-го порядка и т.д.

Для того, чтобы получить представление о том, что такое определитель n-го порядка, не прибегая к определению на предыдущей странице, можно поступить так: выучить, как вычисляются определители 2-го и 3-го порядков и как по методу Лапласа сводить вычисление определителя n-го порядка к вычислению определителя n – 1-го порядка. Тогда становится понятным, как вычислять определитель 4-го порядка, затем 5-го порядка и т. д.

Из сказанного следует, что вычисление определителя 5-го порядка можно в общем случае свести к вычислению 20-ти(!) определителей 3-го порядка, что очень затрудняет задачу.

Вычисление определителя упрощается, если воспользоваться свойством 5.

Пусть – определитель четвертого порядка:

2 3 - 4 3 2 1.

- 2 - 1 3 4 3 2 Этот определитель разложим по третьей строке, так как там есть нуль и, что особенно важно, –1. Задача заключается в таком преобразовании определителя, чтобы получить нули на месте a31 и a33. К первому столбцу прибавим второй столбец, умноженный на –2, а к третьему столбцу прибавим второй столбец, умноженный на –3. Второй столбец, с помощью которого проводились преобразования, остается без изменений.

Таким образом вычисление определителя 4-го порядка сведено к вычислению только одного определителя 3-го порядка:

- 4 3 5 - 4 5 - 1 2 7 3+ 1 - 1 - 1 7 6.

0 - 1 0 - 2 11 - 2 3 11 Пусть теперь — определитель 5-го порядка:

3 5 7 9 - 2 3 5 8 - 3 7 - 5 9 3.

4 - 6 - 9 11 5 8 7 6 - Предположим, что мы решили разложить его по первому столбцу. Можно поступить следующим образом. Оставим первую строку без изменений. Вторую строку умножим на 3 и прибавим к ней первую, умноженную на –2. При этом обязательно за знак определителя выносится множитель (см. свойство 3).

Вместо третьей строки пишем сумму третьей и умноженной на 1 первой.

Четвертую строку умножаем на 3 и прибавляем первую, умноженную на –4, опять вынося множитель за знак определителя. Пятую строку умножаем на 3, прибавляем к ней первую, умноженную на –5 и опять выносим за знак определителя. Теперь получим 3 5...

0....

1 1 0.....

3 3 0....

0....

Теперь вычисление определителя 5-го порядка сведено к вычислению только одного определителя 4-го порядка.

Таким образом, пользуясь свойствами определителя и методом Лапласа, можно вычисление определителя n-го порядка свести к вычислению лишь одного определителя порядка n – 1.

§5. Вычисление обратной матрицы Пусть A = (aij) – квадратная матрица с определителем, не равным нулю.

Тогда существует обратная матрица A–1, которая вычисляется по формуле Aji A 1 cij.

det A Последняя формула означает, что в i-й строке и j-м столбце обратной матрицы располагается алгебраическое дополнение элемента, стоящего в j-й строке и в i-м столбце исходной матрицы, деленное на определитель исходной матрицы.

Напомним здесь, что Apq = (–1)p+qMpq, где Mpq называется минором и представляет собой определитель, получающийся из определителя detA вычеркиванием p-й строки и q-го столбца.

Рассмотрим пример:

1 2 A 5 1 detA = 20 + 6 – 24 = 2;

3 0 10 - 4 A11 20, A12 -9, A13 -15, 9 A21 -8, A22 4, A23 6, A 1 - 2 -.

2 A31 2, A32 -1, A33 -1;

15 3 - 2 Еще раз подчеркнем, что обратная матрица существует только для квадратной матрицы с определителем, отличным от нуля! §6. Правило Крамера решения квадратных систем линейных уравнений.

Пусть мы имеем квадратную систему линейных уравнений:

a11x1 a12x2 … a1n xn b a x1 a22x2 … a2nxn b.

................

an1x1 an2x2 … annxn bn Ее можно записать в матричной форме:

AX = B, где x1 b x ;B b A aij i, j 1,2,…,n;X.

b xn n Если определитель матрицы A не равен нулю, то система имеет единственное решение, определяемое формулами:

x = x2 =.

x = n n Здесь,i – определитель n-го порядка, получающийся из определителя, матрицы A коэффициентов системы заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Например, 3x1 2x2 - x3 2x - x2 2x3 3;

4x x2 3x3 3 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 -17; 1 3 - 1 2 -16;

4 1 3 5 1 3 2 - 1 3 2 2 2 3 2 3; 3 2 - 1 3 -8;

4 5 3 4 1 16 3 x1 ; x2 - ; x3.

17 17 Отметим, что если определитель матрицы А коэффициентов квадратной системы линейных уравнений равен нулю, то возможен один из двух случаев:

либо система несовместна, либо она совместна и неопределенна.

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной §1. Основные понятия Пусть D — некоторое множество чисел. Если задан закон, по которому каждому числу x из множества D ставится в соответствие единственное определенное число y, то будем говорить, что на множестве D задана функция, которую назовём f. Число y — это значение функции f в точке x, что обозначается формулой y = f(x).

Число x называется аргументом функции, множество D — областью определения функции, а все значения y образуют множество E, которое называется множеством значений или областью изменения функции.

Функция f называется возрастающей (убывающей) на множестве G, если для любых чисел х1 и х2 из множества G, таких что x1 < x2, выполняется условие f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2)).

Так как между множеством действительных чисел и множеством точек числовой оси можно установить взаимно-однозначное соответствие, в дальнейшем изложении понятиям “число х” и “точка х числовой оси” в некоторых случаях будет придаваться один и тот же смысл. Например, вместо “значение функции при значении аргумента, равном х1” будет говориться “значение функции в точке х1”. В нижеследующем определении можно везде заменить выражение “точка х” на выражение “число х”.

Пусть — некоторое положительное число. -окрестностью точки xназывается множество всех точек x, принадлежащих промежутку (x0 -, x0 + ), кроме самой точки x0. Принадлежность точки x -окрестности точки x0 можно выразить с помощью двойного неравенства 0 < x – x0 <.

Число называется радиусом окрестности.

§2. Предел и непрерывность функции Рассмотрим функцию y = x2 в точке x0 = 2. Значение функции в этой точке равно 4.

Отметим одну особенность поведения функции в этой точке. Можно выбрать какое-либо положительное число и построить Y -окрестность точки y0 = 4. Очевидно, что найдется такая окрестность точки x0 = 2 (на рисунке 1 эта окрестность 4+A имеет радиус ), что если x будет лежать в этой окрестности, то соответствующее значение y, равное x2, попадет в -окрестность точки y0 = 4. Это заключение справедливо для любого, сколь угодно малого числа.

4-A Здесь точка x0 = 2 выбрана произвольно. Можно было бы 2+@ для данной функции выбрать любую другую точку и X сделать подобное заключение.

Рис. 2x2 - 5x-Рассмотрим функцию y. Эта функция x - не определена в точке x0 = 2. При x0 2 её можно преобразовать:

2(x - 2)(x - 0,5) y 2x - 1.

x - График функции представлен на рисунке 2. Хотя исходная функция не определена в точке x0 = 2 и естественно не равна 3 в этой точке, точка y0 = 3 имеет характерную особенность. Выбрав положительное число, можно утверждать, что если рассматривать значения x, расположенные Y достаточно близко к точке x0 = 2 (или лежащие в 3+A некоторой окрестности точки x0 = 2, причем радиус этой 3 окрестности зависит от ), то соответствующие значения y попадут в -окрестность точки y0 = 3. Всё сказанное 3-A остаётся справедливым независимо от того, насколько малым выбрано положительное число.

Введем понятие предела функции. Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x X (иногда говорят, при x, стремящемся к x0), если для Рис. любого положительного числа можно найти такое положительное число, что для всех x из -окрестности точки xсоответствующие значения y попадают в -окрестность точки y = A.

Можно сформулировать определение предела функции по-другому. Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x0, если для любого положительного числа можно найти такое положительное число, что для всех x, удовлетворяющих условию 0 < x – x0 <, выполняется условие y – A <.

Тот факт, что A есть предел функции y = f(x) в точке x = x0, записывается формулой lim f (x) A.

xx Y Как видно из второго из рассмотренных выше примеров, для того, чтобы функция имела предел в точке x = x0, не требуется, чтобы она была определена в этой точке.

x Рассмотрим функцию y 2x. Очевидно, что если x -1 X x > 0, то y = 2x; если x < 0, то y = –2x; при x = Рис. функция не определена.

График функции изображен на рисунке 3. Легко убедиться в том, что, согласно приведенному выше определению предела, эта функция в точке x = 0 предела не имеет.

Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x = x0, если она определена в этой точке и ее значение f(x0) равно пределу функции в этой точке:

lim f (x) f (x0 ).

x xФункция y = x2 непрерывна в точке x = 2, как и во всех точках числовой оси.

2x2 - 5x Функция y не является непрерывной в точке x = 2. Функция x - x y 2x не является непрерывной в точке x = 0.

x Функция, непрерывная в каждой точке открытого промежутка, называется непрерывной на этом промежутке.

Приведем свойства предела функции.

1. Функция не может иметь в одной точке два разных предела.

2. lim C C, если C — постоянная функция.

xx3. Если существует lim f (x) и C — постоянная функция, то xxlim (Cf (x)) C lim f (x).

xx0 xx4. Если существуют lim f (x) и lim g(x), то существует lim ( f (x) g(x)), xx0 xx0 xxравный lim f(x) lim g(x), а также существует lim ( f (x)g(x)), равный xx0 xx0 xxlim f(x) lim g(x). Если при этом lim g(x) 0, то существует lim (f(x)/g(x)), x x0 x x0 x x0 x xравный lim f(x)/ lim g(x).

x x0 x xВведем определения так называемых “односторонних пределов”.

Число B называется пределом функции f(x) в точке a справа (это записывается в виде формулы B lim f x ), если для любого положительного xa+ числа найдется положительное число, такое что из из условия 0 < x – a < будет следовать B –f(x) <.

Согласно приведенному определению lim x 0. Отметим, что x0+ обыкновенного предела функция y x в точке x = 0 не имеет.

Число С называется пределом функции f(x) в точке b слева (это записывается в виде формулы C lim f x ), если для любого положительного xb числа найдется положительное число такое, что из условия 0 < b – x < будет следовать C – f(x) <.

x Очевидно, что функция y x 2x (её график, изображен на рисунке 3) x имеет два односторонних предела в точке x = 0:

lim y x 1; lim y x -1.

x0+ xФункция f(x) называется непрерывной в точке a справа (непрерывной в точке b слева), если lim f x f a ( lim f x f b ).

xa+ xb Функция y x непрерывна справа в точке x=0.

Функция называется непрерывной на замкнутом промежутке [a, b], если она непрерывна на открытом промежутке (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.

Достаточно просто можно доказать теорему, связывающую понятия предела функции в точке и односторонних пределов. Мы ограничимся только формулировкой теоремы.

Для того, чтобы выполнялось равенство lim f x A, необходимо и xxдостаточно, чтобы одновременно выполнялись два равенства:

lim f x A; lim f x A x x0 + xxВ дальнейшем нам понадобятся понятия предела функции в бесконечно удалённых точках. Рассмотрим сначала функцию f(x), определенную на полубесконечном промежутке (х0; ). Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к бесконечности:

A f x, lim x если для любого положительного числа можно найти такое положительное число M (зависящее от ), что для всех чисел х, превосходящих М, выполняется условие:

f(x) – A <.

Пусть теперь функция f(x) определена на полубесконечном промежутке (–; х0). Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к минус бесконечности:

A f x, lim x если для любого положительного числа можно найти такое положительное число M (зависящее от ), что для всех чисел х, меньших, чем – М, выполняется условие:

f(x) – A <.

Отметим два, так называемых, "замечательных предела".

sin x 1. lim 1. Геометрический смысл этой формулы заключается в том, xx что прямая y x является касательной к графику функции y sin x в точке x 0.

2. lim(1 x)1/ x e. Здесь e — иррациональное число, приблизительно xравное 2,72.

Приведем пример применения понятия предела функции в экономических расчетах. Рассмотрим обыкновенную финансовую сделку: предоставление в долг суммы S0 с условием, что через период времени T будет возвращена сумма ST.

Определим величину r относительного роста формулой ST - Sr.(1) SОтносительный рост можно выразить в процентах, умножив полученное значение r на 100.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 8 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.