WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 8 |

3) если получается система с трапецеидальной матрицей коэффициентов (и при этом не выполняется условие пункта 1), то система совместна и неопределенна.

§3. Элементы теории матриц В предыдущем разделе было введено определение матрицы A размерности p q как прямоугольной таблицы:

a11 a12 a13... a1q a21 a22 a23... a2q A.

...............

ap1 ap2 ap3... apq Можно пользоваться сокращенной формой записи:

A = (aij); i = 1, 2, 3,, p; j = 1, 2, 3,, q.

Две матрицы одинаковой размерности p q называются равными, если в них одинаковые места заняты равными числами (на пересечении i-й строки и j-го столбца в одной и в другой матрице стоит одно и то же число; i=1, 2,..., p; j=1, 2,..., q).

Пусть A = (aij) – некоторая матрица и = – произвольное число, тогда =A = (=aij), то есть при умножении матрицы A на число = все числа, составляющие матрицу A, умножаются на число =.

Пусть A и B – матрицы одинаковой размерности A = (aij), B = (bij), тогда их сумма A + B – матрица C = (cij) той же размерности, определяемая из формулы cij = aij + bij, то есть при сложении двух матриц попарно складываются одинаково расположенные в них числа.

Матрицу A можно умножить на матрицу B, то есть найти матрицу C = AB, если число столбцов n матрицы A равно числу строк матрицы B, при этом матрица C будет иметь столько строк, сколько строк у матрицы A и столько столбцов, сколько столбцов у матрицы B. Каждый элемент матрицы C определяется формулой n cij aikbkj.

k=Элемент cij матрицы-произведения C равен сумме произведений элементов iстроки первой матрицы- сомножителя на соответствующие элементы j-го столбца второй матрицы-сомножителя.

Из сказанного следует, что если можно найти произведение матриц AB, то произведение BA, вообще говоря, не определено.

Приведем примеры перемножения матриц:

3 1 2 3 1 - 1) 2 1 -1 - 3 = 6 4 - 2 3 - 3 - 1 2 2 1 33 6 4 - 3 1 5 2 - 4 3 2 4 - = 2 3 1 1 -1 6 - 3 - 3 2 5 1 - 4 -1 2 - 3 -1 = 4 5 2 - 4 3 2 1 -1 4 5 2 - 4 3 2 1 - - - = 10 7 ;

25 4 2) 3 2 1 - 3 2 = (8, 4).

- Если AB и BA одновременно определены, то, вообще говоря, эти произведения не равны. Это означает, что умножение матриц не коммутативно.

Продемонстрируем это на примере.

1 2 5 6 19 22 5 6 1 2 23 ;.

3 4 7 8 43 50 7 8 3 4 31 Для алгебраических действий над матрицами справедливы следующие законы:

1) A + B = B + A;

2) = (A + B) = =A + =B;

3) (A + B) + C = A + (B + C);

4) (AB)C = A(BC);

5) A(B + C) = AB + AC.

Матрица, состоящая из одной строки, называется вектором (векторомстрокой). Матрица, состоящая из одного столбца, также называется вектором (вектором-столбцом).

Пусть имеется матрица A = (aij) размерности m n, n-мерный векторстолбец X и m-мерный вектор-столбец B:

x1 b x2 bX ; B.

......

b xn m Тогда матричное равенство AX = B,(1) если расписать его поэлементно, примет вид:

a11x1 a12x2... a1nxn b a x1 a22x2... a2nxn b.

……………… am1x1 am2x2... amnxn bm Таким образом, формула (1) является записью системы m линейных уравнений с n неизвестными в матричной форме. Ниже будет показано, что, записывая систему в сжатом виде, кроме краткости написания мы получаем и другие очень важные преимущества.

Пусть имеются две квадратные матрицы одинаковой размерности:

1 2 1 2 1 A -1 3 2;D 3 - 5 9.

2 3 -1 4 Требуется найти матрицу X, удовлетворяющую матричному уравнению AX = D.

Из правила умножения матриц следует, что матрица X должна быть квадратной матрицей той же размерности, что и матрицы A и D:

x11 x12 x X x21 x22 x23.

x31 x32 x Из правила умножения матриц и из определения равенства матриц следует, что последнее матричное уравнение распадается на три системы линейных уравнений:

x11 2x21 x31 ;

- x11 3x21 2x31 2x11 3x21 x31 - x12 2x22 x32 ;(2) - x12 3x22 2x32 - 2x12 3x22 x32 x13 2x23 x33.

- x13 3x23 2x33 2x13 3x23 x33 Все три системы (2) имеют одинаковые матрицы коэффициентов, что дает возможность решать их одновременно, введя матрицу 1 2 1 2 1.

-1 3 2 3 - 5 2 3 1 -1 4 Здесь первые четыре столбца образуют расширенную матрицу первой системы, первые три столбца вместе с пятым столбцом образуют расширенную матрицу второй системы, а первые три столбца вместе с шестым – расширенную матрицу третьей системы.

Применим для решения метод Жордана-Гаусса который является модификацией метода Гаусса.

Первый шаг преобразования матрицы по методу Жордана-Гаусса совпадает с первым шагом преобразований по методу Гаусса. Оставляем без изменений первую строку матрицы, а во второй и третьей “организуем” нули в первом столбце:

1 2 1 2 1.

0 5 3 5 - 4 0 1 1 5 - 2 Теперь, следуя методу Жордана-Гаусса, оставляем без изменения лишь вторую строку (так как a22 0) и получаем с помощью второй строки в первой и третьей строках во втором столбце нули. Для этого вместо первой строки пишем сумму первой строки, умноженной на 5, и второй строки, умноженной на –2. Вместо третьей строки пишем сумму третьей строки, умноженной на 5, и второй строки, умноженной на –1 После деления полученной третьей строки на 2 получаем матрицу 5 0 - 1 0 13.

0 5 3 5 - 4 0 0 1 10 - 3 Чтобы в первой и второй строках в третьем столбце получить нули, проведем следующие преобразования последней матрицы. Оставив третью строку без изменений, заменим вторую строку разностью второй строки и утроенной третьей, а первую – суммой первой и третьей строк. После деления первой и второй строк преобразованной матрицы на 5 получится матрица 1 0 0 2 2.(3) 0 1 0 - 5 1 - 0 0 1 10 - 3 При преобразовании системы по методу Жордана-Гаусса матрица коэффициентов приводится (если это возможно) к такому виду, что на главной диагонали стоят единицы, а над главной диагональю и под главной диагональю – нули.

Если взять первые четыре столбца матрицы (3), то получится матрица, в которую преобразовалась расширенная матрица первой из систем уравнений (2).

Из нее следует: x11=2; x21=–5; x31=10. Матрица, образованная первыми тремя столбцами вместе с пятым столбцом матрицы (3), дает решение второй системы уравнений (2): x12=2; x22=1; x32=–3. И, наконец, матрица, образованная первыми тремя столбцами вместе шестым столбцом матрицы (3), дает решение третьей системы уравнений (2): x13=3; x23=–4; x33=12.

Из сказанного можно сделать очень интересный и важный вывод:

последние три столбца матрицы (3) образуют искомую матрицу X.

2 2 X 5 1 - 4.

10 - 3 Введем ряд новых определений.

Нулевой матрицей называется матрица, у которой все элементы – нули.

Очевидно равенство A + (–1)A = 0. Здесь в правой части через 0 обозначена нулевая матрица той же размерности, что и матрица A.

Квадратная матрица размера n называется единичной, если все её элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, а все остальные – нули.

Единичную матрицу можно определить формулами:

aij = 1 при i = j;

aij = 0 при i j.

Очевидно, что первые три столбца матрицы (3) образуют единичную матрицу.

Единичная матрица, как правило, обозначается буквой E:

1 0 0 … 0 1 0 … E 0 0 1 … 0.

… … … … … 0 0 0 … Легко проверить справедливость равенств: EA = AE = A. Здесь A – квадратная матрица, и размеры A и E одинаковы.

Пусть A – квадратная матрица. Обратной матрицей к матрице A называется такая матрица A–1, для которой справедливы равенства:

AA–1 = A–1A = E.

Очевидно, что A–1 – квадратная матрица того же размера, что и матрица A.

Сразу заметим, что не всякая квадратная матрица имеет обратную матрицу.

Поставим задачу: найти обратную матрицу к матрице 1 2 A 1 1 4.

2 -1 Условие 1 2 3 x11 x12 x13 1 0 1 1 4 x21 x22 x23 0 1 0, 2 -1 3 x31 x32 x33 0 0 где x11 x12 x x21 x22 x23 A 1, x31 x32 x сводится к трём системам уравнений, которые будем решать одновременно, используя метод Жордана-Гаусса. Матрица, представляющая расширенные матрицы всех трёх систем, примет вид 1 2 3 1 0 1 1 4 0 1 0.

2 -1 3 0 0 Подвергая её преобразованиям по методу Жордана-Гаусса, последовательно будем получать:

1 2 3 1 0 0 1 0 5 - 1 2 0 1 - 1 1 - 1 0 1 - 1 1 - 1 0 5 3 2 0 - 1 0 0 8 - 3 5 7 9 1 0 0 8 8 8 0 0 7 - 9 5 3 0 8 0 5 - 3 1 0 1 0 - - (4) 8 8 0 0 8 - 3 5 - 0 0 1 - 3 5 8 8 Как и в предыдущем примере, можно сказать, что три последних столбца образуют искомую матрицу, то есть 7 9 8 8 5 3 A 1 - -.

8 8 3 5 - 8 8 Теперь сформулируем правило, по которому находится матрица, обратная к квадратной матрице А размера n.

Нужно выписать матрицу размерности n 2n, первые n столбцов которой образованы матрицей А, а последние n столбцов образуют единичную матрицу Е.

Построенная таким образом матрица преобразуется по методу Жордана-Гаусса так, чтобы на месте матрицы А получилась единичная матрица, если это возможно. Тогда на месте матрицы Е получается матрица А–1.

Если матрицу А нельзя методом Жордана-Гаусса преобразовать к единичной матрице, то А–1 не существует. Так матрица 1 2 2 1 4 5 не имеет обратной. Читатель может в этом убедиться самостоятельно.

§4. Определители Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными в общем виде:

a11x1 a12x2 b.

x1 a22x2 baНайдем x1 следующим образом: чтобы исключить x2, умножим первое уравнение на a22 и из полученного уравнения вычтем второе, умноженное на a12:

a11a22 - a12a21 x1 b1a22 - b2a12.(1) Обозначим = a11a22 – a12a21, 1 = b1a22 – b2a12.

Для определения x2 поступим так: умножим второе уравнение на a11 и из полученного уравнения вычтем первое, умноженное на a21:

(a11a22 – a12a21)x2 = a11b2 – a21b1.(2) Обозначим 2 = a11b2 – a21b1.

Из (1) и (2) видно, что если 0, то система имеет единственное решение1, определяемое формулой i xi, i 1, 2.(3) Величина называется определителем матрицы второго порядка a11 a.

a21 a Вообще определителем произвольной матрицы второго порядка =11 =12 =11 = называется число, которое обозначается и равно произ = = = = 21 21 ведению двух чисел, стоящих на главной диагонали минус произведение двух чисел, стоящих на другой диагонали: =11=22 – =12=21.

Например, 3 - -15 - 8 -23.

- 2 - Из сказанного следует, что величины 1 и 2 в (3) тоже являются определителями:

b1 a12 a11 b1 ;2.

b2 a22 a21 bРассмотрим теперь систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

Если говорить строго, то из (1) и (2) следует, что если решение существует, то оно единственным образом выражается через коэффициенты системы и свободные члены. Чтобы доказать существование, надо подставить две формулы (3) в систему и убедиться в том, что оба уравнения обращаются в верные равенства.

a11x1 a12x2 a13x3 b a x1 a22x2 a23x3 b2.(4) a x1 a32x2 a33x3 b Введем определение. Определителем произвольной квадратной матрицы третьего c11 c12 c порядка называется сумма шести слагаемых, каждое из которых c c22 c c c32 c представляет собой произведение трех элементов матрицы, выбираемых по следующему правилу: три произведения элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугольников:, берутся со знаком " ", а три произведения элементов, стоящих на второй диагонали и в вершинах двух других треугольников:, берутся со знаком "-". Определитель третьего порядка обозначается так:

c11 c12 cc21 c22 c23.

c31 c32 cНапример, 2 3 1 2 3 = 2 4 = 2 - 2 9 + 3 3 2 + -1 4 5 - 2 - 2 5 - -1 3 9 - 4 3 2 = = 36 +18 20 + 20 + 27 24 = Решая систему (4), например методом Гаусса, можно получить равенства x1 = 1; x2 = 2; x3 = 3,(5) где a11 a12 a13 b1 a12 a a21 a22 a23 ;1 b2 a22 a23 ;

a31 a32 a33 b3 a32 aa11 b1 a13 a11 a12 b2 a21 b2 a23 ;3 a21 a22 b2.

a31 b3 a33 a31 a32 bИз формул (5) видно, что если 0, то единственным образом определяется решение системы:

i xi,i 1,2,3.

Решая квадратные системы линейных уравнений 4-го, 5-го или любого более высокого порядка, можно получить формулы, аналогичные формулам (1), (2) или (5).

Дадим определение определителя a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … an1 an2 … ann квадратной матрицы n-го порядка или просто определителя n-го порядка. (В дальнейшем, принимая во внимание введённое обозначение, под элементами, строками и столбцами определителя матрицы будем подразумевать элементы, строки и столбцы этой матрицы.) Сформулируем понятие n! (читается эн факториал): если n – натуральное (целое положительное) число, то n! – это произведение всех натуральных чисел от 1 до n.

n! = 1 2 3 (n – 1) n.

Например, 5! = 1 2 3 4 5 = 120.

Замечание: в некоторых книгах вместо термина "определитель" используется термин "детерминант" и определитель матрицы A обозначается detA.

Определителем n-го порядка называется сумма n! слагаемых. Каждое слагаемое представляет собой произведение n элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца определителя2. (Произведения отличаются одно от другого набором элементов.) Перед каждым произведением ставится знак " " или "-". Покажем, как определить, какой нужно ставить знак перед Попробуйте доказать сами, что таких произведений, отличающихся одно от другого набором элементов существует ровно n! произведением.

Так как в каждом произведении присутствует один элемент из 1-й строки, один элемент из 2-ой и т.д., то произведение в общем виде можно записать так:

a1i a2j a3k ans.

Здесь i, j, k,, s – номера столбцов, в которых стоят элементы, выбранные из 1-й, 2-й, 3-й,... n-й строк, соответственно. Ясно из сказанного выше, что каждое из чисел i, j, k,, s равно какому-либо из чисел 1, 2,..., n, и что все числа i, j, k,, s – различные.

Расположенные в данном порядке i, j, k,, s, эти числа образуют "перестановку" из чисел 1, 2,..., n (перестановкой называется заданный порядок в конечном множестве).

Взаимное расположение двух чисел в перестановке, когда большее стоит впереди меньшего называется инверсией. Например, в перестановке три инверсии; в перестановке – шесть инверсий.

Перестановка называется четной, если в ней четное число инверсий и нечетной, если число инверсий нечетное.

Теперь можно сформулировать правило: произведение a1i a2j a3k ans берется со знаком " ", если вторые индексы образуют четную перестановку, и со знаком "-", если нечетную.

Из определения определителя можно вывести следующие его свойства.

1. Если поменять местами две строки определителя (два столбца), то получим новый определитель, равный исходному, умноженному на 1.

2. Определитель, имеющий две равных строки (два равных столбца), равен нулю.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 8 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.