WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |

Пусть для объектов генеральной совокупности определен некоторый признак или числовая характеристика, которую можно замерить (размер детали, удельное количество нитратов в дыне, шум работы двигателя).

Эта характеристика – случайная величина N, принимающая на каждом Лекция 11.

объекте определенное числовое значение. Из выборки объема n получаем значения этой случайной величины в виде ряда из n чисел:

x1, x2,..., xn.(*) Эти числа называются значениями признака.

Среди чисел ряда (*) могут быть одинаковые числа. Если значения признака упорядочить, то есть расположить в порядке возрастания или убывания, написав каждое значение лишь один раз, а затем под каждым значением xi признака написать число mi, показывающее сколько раз данное значение встречается в ряду (*):

x1 x2 x3... xk m1 m2 m3... mk то получится таблица, называемая дискретным вариационным рядом.

Число mi называется частотой i-го значения признака.

Очевидно, что xi в ряду (*) может не совпадать с xi в вариационном ряду. Очевидна также справедливость равенства k n.

mi i Если промежуток между наименьшим и наибольшим значениями признака в выборке разбить на несколько интервалов одинаковой длины, каждому интервалу поставить в соответствие число выборочных значений признака, попавших в этот интервал, то получим интервальный вариационный ряд. Если признак может принимать любые значения из некоторого промежутка, то есть является непрерывной случайной величиной, приходится выборку представлять именно таким рядом. Если в вариационном интервальном ряду каждый интервал [=i; =i+1) заменить лежащим в его середине числом (=i+=i+1)/2, то получим дискретный вариационный ряд. Такая замена вполне естественна, так как, например, при измерении размера детали с точностью до одного миллиметра всем размерам из промежутка [49,5; 50,5), будет соответствовать одно число, равное 50.

Лекция 11.

Точечные оценки параметров генеральной совокупности.

Во многих случаях мы располагаем информацией о виде закона распределения случайной величины (нормальный, бернуллиевский, равномерный и т. п.), но не знаем параметров этого распределения, таких как MN, DN. Для определения этих параметров применяется выборочный метод.

Пусть выборка объема n представлена в виде вариационного ряда.

Назовем выборочной средней величину x1m1 x2m2... xkmk m1 m2 mk x x1 x2...

n n n n mi Величина M называется относительной частотой значения признака i n xi. Если значения признака, полученные из выборки не группировать и не представлять в виде вариационного ряда, то для вычисления выборочной средней нужно пользоваться формулой n x xi.

n i Естественно считать величину x выборочной оценкой параметра MN. Выборочная оценка параметра, представляющая собой число, называется точечной оценкой.

Выборочную дисперсию k n I - x 2Mi - x xi xi n i 1 i можно считать точечной оценкой дисперсии DN генеральной совокупности.

Приведем еще один пример точечной оценки. Пусть каждый объект генеральной совокупности характеризуется двумя количественными признаками x и y. Например деталь может иметь два размера – длину и ширину. Можно в различных районах измерять концентрацию вредных веществ в воздухе и фиксировать количество легочных заболеваний населения в месяц. Можно через равные промежутки времени Лекция 11.

сопоставлять доходность акций данной корпорации с каким-либо индексом, характеризующим среднюю доходность всего рынка акций. В этом случае генеральная совокупность представляет собой двумерную случайную величину N, D. Эта случайная величина принимает значения x, y на множестве объектов генеральной совокупности. Не зная закона совместного распределения случайных величин N и D, мы не можем говорить о наличии или глубине корреляционной связи между ними, однако некоторые выводы можно сделать, используя выборочный метод.

Выборку объема n в этом случае представим в виде таблицы, где i-тый отобранный объект (i= 1,2,...n) представлен парой чисел xi, yi :

x1 x2... xn y1 y2... yn Выборочный коэффициент корреляции рассчитывается по формуле xy - xy rxy I I x y Здесь n n 1 xy xi yi, I I - x, x x xi n n i 1 i n I I - y.

y y yi n i Выборочный коэффициент корреляции можно рассматривать как точечную оценку коэффициента корреляции HND, характеризующего генеральную совокупность.

Выборочные параметры x, sx,rxy или любые другие зависят от того, какие объекты генеральной совокупности попали в выборку и различаются от выборки к выборке. Поэтому они сами являются случайными величинами.

Лекция 11.

Пусть выборочный параметр @ рассматривается как выборочная оценка параметра, генеральной совокупности и при этом выполняется равенство M@ =,.

Такая выборочная оценка называется несмещенной.

Для доказательства несмещённости некоторых точечных оценок будем рассматривать выборку объема n как систему n независимых случайных величин N1, N2,... Nn, каждая из которых имеет тот же закон распределения с теми же параметрами, что и случайная величина N, представляющая генеральную совокупность. При таком подходе становятся очевидными равенства: Mxi = MNi =MN;

Dxi = DNi =DN для всех k = 1,2,...n.

Теперь можно показать, что выборочная средняя x есть несмещенная оценка средней генеральной совокупности или, что то же самое, математического ожидания интересующей нас случайной величины N :

x1 x2... xn 1 Mx M MN1 MN2... MNn nMN MN.

n n n Выведем формулу для дисперсии выборочной средней:

x1 x2... xn 1 DN Dx D (DN1 DN2... DNn1) nDN.

n n2 n2 n Найдем теперь, чему равно математическое ожидание выборочной дисперсии I 2. Сначала преобразуем I 2 следующим образом:

n n 1 I - x 2 - MN MN - x xi xi n n i 1 i n xi - MN 2 - 2 xi - MN x - MN x - MN n i Лекция 11.

n - MN 2 - x - MN xi n i Здесь использовано преобразование:

n n - MN x - MN 2 x - MN - MN 2 xi xi i 1 i n n = 2 x MN x MN = 2 x MN nx nMN = 2n x MN i i 1 i Теперь, используя полученное выше выражение для величины I 2, найдем ее математическое ожидание.

n MI M - MN - x - MN xi n i n 1 - MN 2 - M x - MN 2 nDN - Dx M xi n n i DN n - DN - DN.

n n Так как M 2 D, выборочная дисперсия не является несмещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности.

Чтобы получить несмещенную оценку дисперсии генеральной n совокупности, нужно умножить выборочную дисперсию на. Тогда n -n получится величина s2 I, называемая исправленной выборочной n -дисперсией.

n s2 - x xi n -i Лекция 11.

Пусть имеется ряд несмещенных точечных оценок одного и того же параметра генеральной совокупности. Та оценка, которая имеет наименьшую дисперсию называется эффективной.

Полученная из выборки объема n точечная оценка n параметра, генеральной совокупности называется состоятельной, если она сходится по вероятности к. Это означает, что для любых положительных чисел A и C найдется такое число nAC, что для всех чисел n, удовлетворяющих неравенству n > nAC выполняется условие P(@n - < A) 1- C.

x и s2 являются несмещёнными, состоятельными и эффективными оценками величин MN и DN.

Лекция 12.

Интервальные оценки.

Точечные оценки параметров генеральной совокупности могут быть приняты в качестве ориентировочных, первоначальных результатов обработки выборочных данных. Их недостаток заключается в том, что неизвестно, с какой точностью оценивается параметр. Если для выборок большого объема точность обычно бывает достаточной (при условии несмещенности, эффективности и состоятельности оценок), то для выборок небольшого объема вопрос точности оценок становится очень важным.

Введем понятие интервальной оценки неизвестного параметра генеральной совокупности (или случайной величины N, определенной на множестве объектов этой генеральной совокупности). Обозначим этот параметр через,. По сделанной выборке по определенным правилам найдем числа,1 и,2, так чтобы выполнялось условие:

P(,1<,<,2) =P (,(,1;,2)) = Числа,1 и,2 называются доверительными границами, интервал (,1,,2) — доверительным интервалом для параметра,. Число называется доверительной вероятностью или надежностью сделанной оценки.

Сначала задается надежность. Обычно ее выбирают равной 0.95, 0.99 или 0.999. Тогда вероятность того, что интересующий нас параметр попал в интервал (,1,,2) достаточно высока. Число (,1 +,2) / 2 – середина доверительного интервала – будет давать значение параметра, с точностью (,2 –,1) / 2, которая представляет собой половину длины доверительного интервала.

Границы,1 и,2 определяются из выборочных данных и являются функциями от случайных величин x1, x2,..., xn, а следовательно – сами случайные величины. Отсюда – доверительный интервал (,1,,2) тоже случаен. Он может покрывать параметр, или нет. Именно в таком смысле нужно понимать случайное событие, заключающееся в том, что доверительный интервал покрывает число,.

Лекция 12.

Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии.

Пусть случайная величина N (можно говорить о генеральной совокупности) распределена по нормальному закону, для которого известна дисперсия DN = I (I > 0). Из генеральной совокупности (на множестве объектов которой определена случайная величина) делается выборка объема n. Выборка x1, x2,..., xn рассматривается как совокупность n независимых случайных величин, распределенных так же как N (подход, которому дано объяснение выше по тексту).

Ранее также обсуждались и доказаны следующие равенства:

Mx1 = Mx2 =... = Mxn = MN;

Dx1 = Dx2 =... = Dxn = DN;

M x MN;

Dx DN /n;

Достаточно просто доказать (мы доказательство опускаем), что случайная величина x в данном случае также распределена по нормальному закону.

Обозначим неизвестную величину MN через a и подберем по заданной надежности C число d > 0 так, чтобы выполнялось условие:

P(| x – a| < d) = C (1) Так как случайная величина x распределена по нормальному закону с математическим ожиданием M x = MN = a и дисперсией D x = DN /n = I /n, получаем:

P(| x – a| < d) =P(a – d < x < a + d) = a d - a a - d - a d n = - 2 I I n n Лекция 12.

Осталось подобрать d таким, чтобы выполнялось равенство d n d n C 2 C или.

I I Для любого C [0;1] можно по таблице найти такое число t, что.( t )= C / 2. Это число t иногда называют квантилем.

Теперь из равенства d n t I I t определим значение d: d.

n Окончательный результат получим, представив формулу (1) в виде:

I t I t P x - < a < x C.

n n Смысл последней формулы состоит в следующем: с надежностью C доверительный интервал I t I t x - ; x n n покрывает неизвестный параметр a = MN генеральной совокупности.

Можно сказать иначе: точечная оценка x определяет значение параметра MN с точностью d=I t / n и надежностью.

Задача. Пусть имеется генеральная совокупность с некоторой характеристикой, распределенной по нормальному закону с дисперсией, равной 6,25. Произведена выборка объема n = 27 и получено средневыборочное значение характеристики x = 12. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестное математическое ожидание исследуемой характеристики генеральной совокупности с надежностью C =0,99.

Решение. Сначала по таблице для функции Лапласа найдем значение t из равенства. (t) = C / 2 = 0,495. По полученному значению t = 2,58 определим точность оценки (или половину длины доверительного Лекция 12.

интервала) d: d = 2,5 2,58 / 27 1,24. Отсюда получаем искомый доверительный интервал: (10,76; 13,24).

Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии.

Пусть N – случайная величина, распределенная по нормальному закону с неизвестным математическим ожиданием MN, которое обозначим буквой a. Произведем выборку объема n. Определим среднюю выборочную x и исправленную выборочную дисперсию s2 по известным формулам.

Случайная величина x - a n t s распределена по закону Стьюдента с n – 1 степенями свободы.

Задача заключается в том, чтобы по заданной надежности C и по C C C числу степеней свободы n – 1 найти такое число tC, чтобы C C C выполнялось равенство x - a n P < tC C (2) s или эквивалентное равенство s s P x - tC < a < x tC C. (3) n n Здесь в скобках написано условие того, что значение неизвестного параметра a принадлежит некоторому промежутку, который и является доверительным интервалом. Его границы зависят от надежности C, а также от параметров выборки x и s.

Чтобы определить значение tC по величине C, равенство (2) преобразуем к виду:

Лекция 12.

x - a n P tC 1- C s Теперь по таблице для случайной величины t, распределенной по закону Стьюдента, по вероятности 1 – C и числу степеней свободы n – 1 находим tC. Формула (3) дает ответ поставленной задачи.

Задача. На контрольных испытаниях 20-ти электроламп средняя продолжительность их работы оказалась равной 2000 часов при среднем квадратическом отклонении (рассчитанном как корень квадратный из исправленной выборочной дисперсии), равном 11-ти часам. Известно, что продолжительность работы лампы является нормально распределенной случайной величиной. Определить с надежностью 0,95 доверительный интервал для математического ожидания этой случайной величины.

Решение. Величина 1 – C в данном случае равна 0,05. По таблице распределения Стьюдента, при числе степеней свободы, равном 19, находим: tC = 2,093. Вычислим теперь точность оценки: 2,093 121/ 20 = 56,6. Отсюда получаем искомый доверительный интервал:

(1943,4; 2056,6).

Доверительный интервал для дисперсии нормального распределения.

Пусть случайная величина N распределена по нормальному закону, для которого дисперсия DN неизвестна. Делается выборка объема n. Из нее определяется исправленная выборочная дисперсия s2. Случайная величина n -1 s DN распределена по закону 2 c n –1 степенями свободы. По заданной надежности C можно найти сколько угодно границ 12 и 22 интервалов, таких, что P 12 < < 22 C (*) Лекция 12.

Найдем 12 и 22 из следующих условий:

P(2 12) = (1 – C )/ 2 (**) P(2 22) = (1 – C )/ 2 (***) Очевидно, что при выполнении двух последних условий справедливо равенство (*).

В таблицах для случайной величины 2 обычно дается решение уравнения P(2 q2) = q. Из такой таблицы по заданной величине q и по числу степеней свободы n – 1 можно определить значение q2. Таким образом, сразу находится значение 22 в формуле (***).

Для определения 12 преобразуем (**):

P(2 12) = 1 – (1 – C )/ 2 = (1 + C )/ Полученное равенство позволяет определить по таблице значение 12.

Теперь, когда найдены значения 12 и 22, представим равенство (*) в виде n -1 s P 12 < < 22 C.

DN Последнее равенство перепишем в такой форме, чтобы были определены границы доверительного интервала для неизвестной величины DN:

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.