WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 9 |

Можно дать определение корреляционной зависимости двух случайных величин и как связи между тенденциями роста и. Например, между и существует прямая корреляционная зависимость, если с ростом случайная Лекция величина имеет тенденцию возрастать. (Это означает, что при больших значениях с большей вероятностью встречаются большие значения ). Если большим значениям большей вероятностью соответствуют меньшие значения, то есть с ростом случайная величина имеет тенденцию убывать, говорят, что между и существует обратная корреляционная зависимость.

Глубина (или теснота) корреляционной зависимости (или связи) характеризуется коэффициентом ND. Чем ближе ND к единице, тем теснее глубина корреляционной зависимости.

Чем ближе зависимость между условным математическим ожиданием и случайной величиной к линейной, и чем теснее значения группируются около условных математических ожиданий, тем глубже (теснее) корреляционная связь.

Можно говорить о совместном распределении двух непрерывных случайных величин. В большинстве случаев возможен переход от непрерывных случайных величин к совместному распределению двух дискретных случайных величин следующим образом.

Нужно разбить отрезок [a; b] изменения случайной величины на равные отрезки [c0=a; c1]; [c1; c2]; [c2; c3],,[cn-1; cn=b]. За значение случайной величины принять середину каждого отрезка.

Также надо поступить со случайной величиной, разбив ее область значений [e; f] на равные отрезки [g0 = e; g1]; [g1; ge]…[gk-1; gk=f], и приняв за возможные значения середины отрезков [gk-1; gk]. Таким образом мы получили дискретные случайные величины *= x1; x2; …xn и *= y1; y2; …yk, причем каждой паре (xi; yj) ставится в соответствие вероятность Pij = P(( [ci–1; ci])( [gi–1; gi])) Таким образом мы придем к уже изученному материалу.

Лекция 10.

Распределение 2.

Пусть имеется n независимых случайных величин 1, 2,..., n, распределенных по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице. Тогда случайная величина n 2 i 2 распределена по закону, который называется “распределение i = 2” или “распределение Пирсона”. Очевидно, что она может принимать лишь неотрицательные значения. Число n называется числом степеней свободы.

При n > 1 график плотности распределения случайной величины 2 представляет собой кривую, изображенную на рисунке 1.

Для того, чтобы определить вероятность попадания случайной величины 2 в какой-либо промежуток из множества положительных чисел, пользуются таблицей распределения 2. Обычно такая таблица позволяет q 0,99 0,975 0,95... 0,1 0,05 0, n 1 0,0315 0,0398 0,0239... 2,71 3,84 6,........................

10 2,56 3,25 3,94... 16,0 18,3 23,........................

Таблица 1.

по вероятности q и по числу степеней свободы n определить так называемый квантиль q2, если q и q2 связаны соотношением P( 2 > q2) = q.

Эта формула означает: вероятность того, что случайная величина примет значение, большее чем определенное значение q2, равна q.

Таблица 1 представляет собой фрагмент таблицы распределения 2.

Из него видно, что случайная величина 2 с 10-ю степенями свободы с Лекция 10.

вероятностью q = 0,95 принимает значение, большее 3,94, а та же величина с одной степенью свободы с вероятностью q = 0,975 превышает 0,00098.

Задача. Найти интервал ( 12, 22), в который случайная величина 2 с 10-ю степенями свободы попадает с вероятностью, равной 0,9.

Решение. График плотности распределения 2 с 10-ю степенями свободы схематично изображен на рисунке 2. Будем считать, что площади заштрихованных областей (правая область не ограничена справа) равны между собой. Примем условия:

P( 2 < 12) = P( 2 > 22) = (1 - 0,9)/2 = 0,05, (1) тогда P( 12 < 2 < 22) = 0,9.

Равенства (1) сразу позволяют по таблице определить: 22 = 18,3. Для определения левой границы интересующего нас интервала придется воспользоваться очевидным равенством P( 2 > 12) = 0,95. Из таблицы 1.

определяем: 12 = 3,94, и теперь можно сформулировать ответ задачи:

значение случайной величины 2 с вероятностью 0,9 принадлежит интервалу (3,94; 18,3).

Распределение Стьюдента.

Многие задачи статистики приводят к случайной величине вида N k t, D где и – независимые случайные величины, причем – нормально распределенная случайная величина с параметрами M = 0 и D = 1, а распределена по закону 2 c k степенями свободы.

Закон распределения случайной величины t называется законом распределения Стьюдента с k степенями свободы.

Лекция 10.

График плотности распределения для закона Стьюдента схематически изображен на рисунке 3. Кривая плотности распределения схожа с аналогичной кривой для нормального распределения.

Таблицы распределения Стьюдента позволяют при данном числе степеней свободы k по вероятности q определить значение tq, для которого выполняется соотношение P(|t| > tq) = q. Фрагмент такой таблицы представляет собой таблица 2.

q 0,1 0,05... 0,01 0,005...

k 1 6,314 12,71... 63,57 318...

.....................

12 1,782 2,179... 3,055 3,428...

.....................

Таблица Задача. Найти симметричный интервал, в который случайная величина, распределенная по закону Стьюдента с 12-ю степенями свободы, попадает вероятностью 0,9.

Решение. Очевидны соотношения:

P(–x < t < x) = P(|t| < x) = 1 – P(|t| x) = 0,9.

Из последнего равенства следует:

P(|t| x) = 0,1, (n = 12).

Определяем из таблицы: x = 1,782. Нестрогое неравенство в скобках в левой части последней формулы нас не должно смущать, так как мы имеем дело с непрерывной случайной величиной, и вероятность того, что она примет конкретное значение, равна нулю.

Лекция 10.

Задача. Найти значение x из условия P(t > x) = 0,995, где t – случайная величина, распределенная по закону Стьюдента с 12-ю степенями свободы.

Решение. На рисунке 4 изображен график плотности распределения Стьюдента с 12-ю степенями свободы. Вероятность того, что случайная величина примет значение из области справа от точки x1 равна 0,995, следовательно в область левее этой точки случайная величина попадает с вероятностью 0,005. Чтобы найти x1, рассмотрим две симметричные области, изображенные на рисунке 5.

Допустим, что в каждой из этих областей значение случайной величины оказывается с вероятностью 0,005. Тогда получаем: x1= – x, x2 = x, причем x определяется из условия P(|t| > x) = 0,01. Из таблицы 2 находим: x = 3,055. Теперь можно выписать ответ задачи:

P(t > –3,055) = 0,995.

Распределение Фишера.

Важные приложения имеет в статистике случайная величина N k1 k2N F, D k1D kгде – случайная величина, распределенная по закону 2 с k1 степенями свободы, а – случайная величина, распределенная по закону 2 с kстепенями свободы.

Случайная величина F распределена по закону, называемому законом распределения Фишера с k1 и k2 степенями свободы. При Лекция 10.

заданных числах k1 и k2 и по вероятности q по таблице определяется значение Fq такое, что P(F > Fq) = q.

Обычно таблицы составляются для значений q, равных 0,05 или 0,01, а иногда для обоих этих значений. Фрагмент такой таблицы представляет собой таблица 3.

k1 1... 10... 20...

k1 161,4... 241,9... 248...

647,8 6056.....................

10 4,96... 2,97... 2,77...

10,04 4,85 4,.....................

Таблица 3.

В этой таблице в верхней части каждой клетки дается значение Fq при q = 0,05, а в нижней части — при q = 0,01.

Лекция 11.

Математическая статистика.

Основной задачей математической статистики является разработка методов получения научно обоснованных выводов о массовых явлениях и процессах из данных наблюдений и экспериментов. Эти выводы и заключения относятся не к отдельным испытаниям, из повторения которых складывается данное массовое явление, а представляют собой утверждения об общих вероятностных характеристиках данного процесса, то есть о вероятностях, законах распределения, математических ожиданиях, дисперсиях и т. д. Такое использование фактических данных как раз и является отличительной чертой статистического метода.

Пусть мы располагаем сведениями (обычно довольно ограниченными), например, о числе дефектных изделий в изготовленной в определенных условиях продукции или о результатах испытаний материалов на разрушение и т. п. Собранные нами данные могут представлять непосредственный интерес в смысле информации о качестве той или иной партии продукции. Статистические же проблемы возникают тогда, когда мы на основе той же информации начинаем делать выводы относительно более широкого круга явлений. Так например нас может интересовать качество технологического процесса, для чего мы оцениваем вероятность получения в нем дефектного изделия или среднюю долговечность изделия. В этом случае мы рассматриваем собранный материал не ради его самого, а лишь как некую пробную группу или выборку, представляющую только серии из возможных результатов, которые мы могли бы встретить при продолжении наблюдений массового процесса в данной обстановке. Выводы и оценки, основанные на материале наблюдений, отражают случайный состав пробной группы и поэтому считаются приблизительными оценками вероятностного характера. Во многих случаях теория указывает, как наилучшим способом использовать имеющуюся информацию для получения по возможности более точных и надежных характеристик, указывая при этом степень надежности выводов, объясняющуюся ограниченностью запаса сведений.

Лекция 11.

В математической статистике рассматриваются две основные категории задач: оценивание и статистическая проверка гипотез. Первая задача разделяется на точечное оценивание и интервальное оценивание параметров распределения. Например может возникнуть необходимость по наблюдениям получить точечные оценки параметров MN и DN. Если мы хотим получить некоторый интервал, с той или иной степенью достоверности содержащий истинное значение параметра, то это задача интервального оценивания.

Вторая задача – проверка гипотез – заключается в том, что мы делаем предположение о распределении вероятностей случайной величины (например, о значении одного или нескольких параметров функции распределения) и решаем, согласуются ли в некотором смысле эти значения параметров с полученными результатами наблюдений.

Выборочный метод.

Пусть нам нужно обследовать количественный признак в партии экземпляров некоторого товара. Проверку партии можно проводить двумя способами:

1) провести сплошной контроль всей партии;

2) провести контроль только части партии.

Первый способ не всегда осуществим, например, из–за большого числа экземпляров в партии, из–за дороговизны проведения операции контроля, из–за того, что контроль связан с разрушением экземпляра (проверка электролампы на долговечность ее работы).

При втором способе множество случайным образом отобранных объектов называется выборочной совокупностью или выборкой. Все множество объектов, из которого производится выборка, называется генеральной совокупностью. Число объектов в выборке называется объемом выборки. Обычно будем считать, что объем генеральной совокупности бесконечен.

Выборки разделяются на повторные (с возвращением) и бесповторные (без возвращения).

Лекция 11.

Обычно осуществляются бесповторные выборки, но благодаря большому (бесконечному) объему генеральной совокупности ведутся расчеты и делаются выводы, справедливые лишь для повторных выборок.

Выборка должна достаточно полно отражать особенности всех объектов генеральной совокупности, иначе говоря, выборка должна быть репрезентативной (представительной).

Выборки различаются по способу отбора.

1. Простой случайный отбор.

Все элементы генеральной совокупности нумеруются и из таблицы случайных чисел берут, например, последовательность любых 30-ти идущих подряд чисел. Элементы с выпавшими номерами и входят в выборку.

2. Типический отбор.

Такой отбор производится в том случае, если генеральную совокупность можно представить в виде объединения подмножеств, объекты которых однородны по какому–то признаку, хотя вся совокупность такой однородности не имеет (партия товара состоит из нескольких групп, произведенных на разных предприятиях). Тогда по каждому подмножеству проводят простой случайный отбор, и в выборку объединяются все полученные объекты.

3. Механический отбор.

Отбирают каждый двадцатый (сотый) экземпляр.

4. Серийный отбор.

В выборку подбираются экземпляры, произведенные на каком–то производстве в определенный промежуток времени.

В дальнейшем под генеральной совокупностью мы будем подразумевать не само множество объектов, а множество значений случайной величины, принимающей числовое значение на каждом из объектов. В действительности генеральной совокупности как множества объектов может и не существовать. Например имеет смысл говорить о множестве деталей, которые можно произвести, используя данный технологический процесс. Используя какие–то известные нам характеристики данного процесса, мы можем оценивать параметры этого Лекция 11.

несуществующего множества деталей. Размер детали – это случайная величина, значение которой определяется воздействием множества факторов, составляющих технологический процесс. Нас, например, может интересовать вероятность, с которой эта случайная величина принимает значение, принадлежащее некоторому интервалу. На этот вопрос можно ответить, зная закон распределения этой случайной величины, а также ее параметры, такие как MN и DN.

Итак, отвлекаясь от понятия генеральной совокупности как множества объектов, обладающих некоторым признаком, будем рассматривать генеральную совокупность как случайную величину N, закон распределения и параметры которой определяются с помощью выборочного метода.

Рассмотрим выборку объема n, представляющую данную генеральную совокупность. Первое выборочное значение x1 будем рассматривать как реализацию, как одно из возможных значений случайной величины N1, имеющей тот же закон распределения с теми же параметрами, что и случайная величина N. Второе выборочное значение x– одно из возможных значений случайной величины N2 с тем же законом распределения, что и случайна величина N. То же самое можно сказать о значениях x3, x4,..., xn.

Таким образом на выборку будем смотреть как на совокупность независимых случайных величин N1, N2,..., Nn, распределенных так же, N N N как и случайная величина N, представляющая генеральную N N N совокупность. Выборочные значения x1, x2,..., xn – это значения, которые приняли эти случайные величины в результате 1-го, 2-го,..., n-го эксперимента.

Вариационный ряд.

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 9 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.