WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 9 |

Функция распределения F(x) случайной величины имеет следующие свойства.

1. F(x) — непрерывная возрастающая функция.

2. lim F(x) 0 ; lim F(x) x x Свойства 1 и 2 вытекают непосредственно из определения функции F(x).

3. Приращение F(x) на промежутке (х1; х2) равно вероятности того, что случайная величина принимает значение из этого промежутка:

F(x2) – F(x1) = P(x1 < x2) Доказательство.

F(x2) = P( x2) = P( x1) + P(x1 < x2) = F(x1) + P(x1 < x2) Отсюда P(x1 < x2) = F(x2) – F(x1) Заметим, что для непрерывной случайной величины справедливы равенства P(x1 < x2) = P(x1 < < x2) = P(x1 < x2) = P(x1 x2) Для равномерного распределения функция F(x) имеет вид:

0 при x a x dt x - a F(x) = = при a < x < b b - a b - a a при x b a b x График функции F(x) представлен на рисунке 3.

Рис. Закон распределения непрерывной случайной величины можно определить заданием либо функции р(х), либо функции F(x).

Правило 3-х I I (трех “сигм”).

I I Пусть имеется нормально распределённая случайная величина с математическим ожиданием, равным а и дисперсией 2. Определим вероятность попадания в интервал (а – 3; а + 3), то есть вероятность того, что принимает значения, отличающиеся от математического ожидания не более, чем на три среднеквадратических отклонения.

P(а – 3< < а + 3)=Ф(3) – Ф(–3)=2Ф(3) По таблице находим Ф(3)=0,49865, откуда следует, что 2Ф(3) практически равняется единице. Таким образом, можно сделать важный вывод: нормальная случайная величина принимает значения, отклоняющиеся от ее математического ожидания не более чем на 3.

(Выбор числа 3 здесь условен и никак не обосновывается: можно было выбрать 2,8, 2,9 или 3,2 и получить тот же вероятностный результат. Учитывая, что Ф(2)=0,477, можно было бы говорить и о правиле 2–х “сигм”.) Совместное распределение двух случайных величин.

Пусть пространство элементарных исходов случайного эксперимента таково, что каждому исходу ij ставиться в соответствие значение случайной величины, равное xi и значение случайной величины, равное yj.

Примеры:

1. Представим себе большую совокупность деталей, имеющих вид стержня. Случайный эксперимент заключается в случайном выборе одного стержня. Этот стержень имеет длину, которую будем обозначать и толщину— (можно указать другие параметры—объем, вес, чистота обработки, выраженная в стандартных единицах).

2. Если результат эксперимента—случайный выбор какого–либо предприятия в данной области, то за можно принимать объем производства отнесенный к количеству сотрудников, а за —объем продукции, идущей на экспорт, тоже отнесенной к числу сотрудников.

В этом случае мы можем говорить о совместном распределении случайных величин и или о “двумерной” случайной величине.

Если и дискретны и принимают конечное число значений ( – n значений, а – k значений), то закон совместного распределения случайных величин и можно задать, если каждой паре чисел xi, yj (где xi принадлежит множеству значений, а y j—множеству значений ) поставить в соответствие вероятность pij, равную вероятности события, объединяющего все исходы ij (и состоящего лишь из этих исходов), которые приводят к значениям = xi; = y j.

Такой закон распределения можно задать в виде таблицы:

y1 y2 yj yk x1 р11 р12 р1j р1k P xi рi1 рi2 рij рik Pi (*) xn рn1 рn2 рnj рnk Pn P1 P2 Pj Pk n k pij Очевидно i =1 j =Если просуммировать все рij в i–й строке, то получим k pij Pi j =вероятность того, что случайная величина примет значение xi. Аналогично, если просуммировать все рij в j–м столбце, то получим n j pij P i =вероятность того, что принимает значение y j.

Соответствие xi Pi (i = 1,2,,n) определяет закон распределения, также как соответствие yj P j (j = 1,2,,k) определяет закон распределения случайной величины.

n k M xi Pi, M yj Pj.

Очевидно i =1 j =Раньше мы говорили, что случайные величины и независимы, если pij=Pi P j (i=1,2,,n; j=1,2,,k).

Если это не выполняется, то и зависимы.

В чем проявляется зависимость случайных величин и и как ее выявить из таблицы Рассмотрим столбец y1. Каждому числу xi поставим в соответствие число pi pi/1= (1) Pкоторое будем называть условной вероятностью = xi при =y1. Обратите внимание на то, что это не вероятность Pi события = xi, и сравните формулу (1) P(A 1 B) P(A / B) с уже известной формулой условной вероятности.

PB) ( Соответствие xi рi/1, (i=1,2,,n) будем называть условным распределением случайной величины при =y1.

n pi /1 Очевидно.

i =Аналогичные условные законы распределения случайной величины можно построить при всех остальных значениях, равных y2; y3,, yn,ставя в pij n pi соответствие числу xi условную вероятность pi/j = ( ).

Pj i =1 / j В таблице приведён условный закон распределения случайной величины при =yj x1 x2 xi xn j j pn p2 pij pi/j p1j Pj Pj Pj Pj Можно ввести понятие условного математического ожидания при = yj n n pij M( / yj ) xi xi pij j i =1 Pj P i =Заметим, что и равноценны. Можно ввести условное распределение при =xi соответствием pij yj (j = 1,2,,k) Pi Также можно ввести понятие условного математического ожидания случайной величины при =xi :

k k pij M( / xi ) yj yj pij Pi Pi j =j =Из определения следует, что если и независимы, то все условные законы распределения одинаковы и совпадают с законом распределения (напоминаем, что закон распределения определяется в таблице (*) первым и последним столбцом). При этом очевидно, совпадают все условные математические ожидания М( / = yj) при j = 1,2,,k, которые равны М.

Если условные законы распределения при различных значениях различны, то говорят, что между и имеет место статистическая зависимость.

Пример I. Пусть закон совместного распределения двух случайных величин и задан следующей таблицей. Здесь, как говорилось ранее, первый и последний столбцы определяют закон распределения случайной величины, а первая и последняя строки – закон распределения случайной величины.

10 1/36 0 0 1/20 2/36 1/36 0 3/30 2/36 3/36 2/36 7/40 1/36 8/36 16/36 25/6/36 12/36 18/Полигоны условных распределений можно изобразить на трехмерном графике (рис. 1).

Здесь явно просматривается зависимость условного закона распределения от величины.

Пример II. (Уже встречавшийся).

Пусть даны две независимые случайные величины и с законами распределения 01 Р 1/3 2/3 Р 3/4 1/Найдем законы распределений случайных величин = + и = 123 Р 3/12 7/12 2/12 Р 4/12 6/12 2/Построим таблицу закона совместного распределения и.

1 3/12 0 0 3/2 1/12 6/12 0 7/3 0 0 2/12 2/4/12 6/12 2/Чтобы получить =2 и =0, нужно чтобы приняла значение 0, а приняла значение 2. Так как и независимы, то Р( =2; =0)= Р( =0; =2)=Р( =0) Р( =2)=1/12.

Очевидно также Р( =3; =0)=0.

Построим полигоны условных распределений. Здесь зависимость от довольно близка к функциональной:

значению =1 соответствует единственное =2, значению =2 соответствует единственное =3, но при =0 мы можем говорить лишь, что с вероятностью принимает значение и с вероятностью – значение 2.

Пример III.

Рассмотрим закон совместного распределения и, заданный таблицей 1 1/30 3/30 2/30 1/2 3/30 9/30 6/30 3/3 1/30 3/30 2/30 1/1/6 3/6 2/В этом случае выполняется условие P( =xi; =yj)=P( =xi) P( =yj), i=1,2,3 ; j=1,2,3, Построим законы условных распределений p 1( ) p 2( ) 1/5 3/5 1/ p 3( ) p 4( ) Законы условных распределений не отличаются друг от друга при =1,2,и совпадают с законом распределения случайной величины.

В данном случае и независимы.

Характеристикой зависимости между случайными величинами и служит математическое ожидание произведения отклонений и от их центров распределений (так иногда называют математическое ожидание случайной величины), которое называется коэффициентом ковариации или просто ковариацией.

cov( ; ) = M(( –M )( –M )) Пусть = x1, x2, x3,, xn, = y1, y2, y3,,yn. Тогда n k (xi - M )(yj - M )P(( xi ) 1( yj )) cov( ; )= (2) i =1 j =Эту формулу можно интерпретировать так. Если при больших значениях более вероятны большие значения, а при малых значениях более вероятны малые значения, то в правой части формулы (2) положительные слагаемые доминируют, и ковариация принимает положительные значения.

Если же более вероятны произведения (xi – M )(yj – M ), состоящие из сомножителей разного знака, то есть исходы случайного эксперимента, приводящие к большим значениям в основном приводят к малым значениям и наоборот, то ковариация принимает большие по модулю отрицательные значения.

В первом случае принято говорить о прямой связи: с ростом случайная величина имеет тенденцию к возрастанию.

Во втором случае говорят об обратной связи: с ростом случайная величина имеет тенденцию к уменьшению или падению.

Если примерно одинаковый вклад в сумму дают и положительные и отрицательные произведения (xi – M )(yj – M )pij, то можно сказать, что в сумме они будут “гасить” друг друга и ковариация будет близка к нулю. В этом случае не просматривается зависимость одной случайной величины от другой.

Легко показать, что если P(( = xi)( = yj)) = P( = xi)P( = yj) (i = 1,2,,n; j = 1,2,,k), cov( ; )= 0.

Действительно из (2) следует n k xi ( - M yj - M P xi P yj ) () i =1 j =n k xi - M P xi yj - M P yj () ( ) i =1 j = M - M M - M 0 0 ( ) ( ) Здесь использовано очень важное свойство математического ожидания:

математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю.

Доказательство (для дискретных случайных величин с конечным числом значений).

n n n M - M xi - M P xi xi P xi - M P xi M - M ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i =1 i =1 i =Ковариацию удобно представлять в виде cov( ; )=M( – M – M +M M )=M( )–M( M )–M( M )+M(M M )= =M( )–M M –M M +M M =M( )–M M Ковариация двух случайных величин равна математическому ожиданию их произведения минус произведение математических ожиданий.

Легко доказывается следующее свойство математического ожидания: если и —независимые случайные величины, то М( )=М М. (Доказать самим, n m xi yj P xi P yj используя формулу M( ) = ) i =1 j =Таким образом, для независимых случайных величин и cov( ; )=0.

Лекция Коэффициент корреляции.

Величина cov( ; ) зависит от единиц измерения, в которых выражаются и. (Например, пусть и —линейные размеры некоторой детали. Если за единицу измерения принять 1 см, то cov( ; ) примет одно значение, а если за единицу измерения принять 1 мм, то cov( ; ) примет другое, большее значение (при условии cov( ; )0)). Поэтому cov( ; ) неудобно принимать за показатель связи.

Чтобы иметь дело с безразмерным показателем, рассмотрим случайные величины N - MN N - MN D - MD D - MD N* D* DN IN ; DD ID Такие случайные величины называются нормированными отклонениями случайных величин и.

Каждая из случайных величин * и * имеет центром (математическое ожидание) нуль и дисперсию, равную единице. Приведём доказательство для случайной величины *.

N - MN 1 MN* = M = MN - M MN = MN - MN = IN IN IN D - MD 1 DD DN* = D = D D - MD = = IN IN IN Ковариация * и * называется коэффициентом корреляции случайных величин и (обозначается ND).

N - MN D - MD M N - MN D - MD cov N,D HND M IN ID INID cov N;D M ND - MNMD ; N D ; D D.

INID INID Для независимых и ND=0, так как в этом случае cov( ; )=Обратного заключения сделать нельзя. Случайные величины могут быть связаны даже функциональной зависимостью (каждому значению одной случайной величины соответствует единственное значение другой случайной величины), но коэффициент их корреляции будет равен нулю.

Примеры:

1. Пусть случайная величина симметрично распределена около нуля.

Тогда М =0. Пусть = 2. Тогда М( )=М( 3)=0, так 3 тоже симметрично распределена около нуля. С другой стороны М М =0, так как М =0. Таким M ND - MNMD HND образом.

INID Лекция 2. Пусть закон совместного распределения случайных величин и задан таблицей 1 11/5 0 1/20 3/5 3/3 1/5 0 1/2/5 3/Проведём вычисления:

1 3 1 2 3 MN 1 2 3 2 MD 1 2 ; ;

5 5 5 5 5 1 3 1 MND 1 1 2 2 3 1 MND - MNMD ;.

5 5 5 Отсюда следует, что ND=0. При этом очевидно, что имеет место функциональная зависимость случайной величины от случайной величины.

Коэффициент корреляции ND не меняет своей величины, если вместо случайной величины рассматривать случайную величину 1= + или 2=k ( и k—постоянные числа, k > 0), так как при перемене начала координат или при изменении масштаба величины нормированное отклонение не меняется.

Сказанное в равной мере относится и к.

Вставка! Полезно запомнить формулу D( ± )=D +D +2cov( ; ) Отсюда следует свойство дисперсии для независимых и :

D( ± )=D +D Свойства коэффициента корреляции.

1. –1 ND 2. Если ND=1, то =k +b, где k и b—константы, k>0.

3. Если ND= –1, то = k +b, где k<0.

4. Если =k +b, (k 0) или =k1 +b1, то ND=1 при k>ND= – 1 при k<0.

Коэффициент корреляции ND достигает своих предельных значений –1 и в том и только в том случае, если совместное распределение и все концентрируется на некоторой прямой в плоскости ;, то есть между и имеется такая линейная зависимость.

Если ND<1, то такой линейной зависимости нет. Все же по мере приближения ND к единице совместное распределение ; имеет тенденцию концентрироваться вблизи некоторой прямой линии и величину ND можно считать мерой близости к полной линейной зависимости между и.

Лекция Пример. Рассчитаем коэффициент корреляции ND для случайных величин при заданном законе совместного распределения 1 10 1/36 0 0 1/20 2/36 1/36 0 3/30 2/36 2/36 2/36 6/40 1/36 9/36 16/36 26/6/36 12/36 18/1 3 6 MN 10 20 30 40 35,36 36 36 6 12 MD 1 2 3 2,36 36 1 3 2 2 DN 10 - 35,83 20 - 35,83 30 - 35,83 36 36 40 - 35,83 57,N 7,6 12 DD 1- 2,3 2 2 - 2,3 2 3 - 2,3 2 0,36 36 D 0,1 2 1 2 M ND 10 1 20 1 20 2 30 1 30 2 36 36 36 36 2 1 9 30 3 40 1 40 2 40 3 86,36 36 36 86,94 - 2,3 35,HN D 0,7,6 0,Введем понятие корреляционной зависимости между и.

Пусть задан закон совместного распределения двух случайных величин и (как в вышеприведенном примере), и условное математическое ожидание меняется в зависимости от значения. Тогда принято говорить о корреляционной зависимости от. Если условное математическое ожидание есть линейная функция от, то между и имеется линейная корреляционная связь или зависимость.

Как правило, говоря о корреляционной зависимости, имеют в виду линейную корреляционную зависимость. Если имеется в виду нелинейная корреляционная зависимость, то это особо оговаривают.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 9 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.