WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 9 |

Так как испытания независимы, то вероятность P каждого такого результата определяется путем перемножения вероятностей событий A и A в соответствующих испытаниях. Так, например, для написанного выше результата найдем P = p p q p q p q q... q p p q Лекция Если в написанной нами последовательности единица встречается х раз (это значит, что нуль встречается n-x раз), то вероятность соответствующего результата будет pnqn-x независимо от того, в каком порядке чередуются эти x единиц и n-x нулей.

Все события, заключающиеся в том, что в n испытаниях событие A произошло x раз, а событие A произошло n-x раз, являются несовместными. Поэтому для вычисления вероятности объединения этих событий (или суммы этих событий), нужно сложить вероятности всех этих событий, каждая из которых равна pnqn-x. Всего таких событий можно насчитать столько, сколько можно образовать различных последовательностей длины n, содержащих x цифр "1" и n-x цифр "0". Таких последовательностей получается столько, сколькими способами можно разместить x цифр "1" (или n-x цифр "0") на n местах, то есть число этих последовательностей равно x n Cn Cn x Отсюда получается формула Бернулли:

x Pn(x) = Cn pxqn– x По формуле Бернулли рассчитывается вероятность появления события A "x"раз в n повторных независимых испытаниях, где p - вероятность появления события A в одном испытании, q - вероятность появления события A в одном испытании.

Сформулированные условия проведения испытаний иногда называются "схемой повторных независимых испытаний" или "схемой Бернулли" Число x появления события A в n повторных независимых испытаниях называется частотой.

Пример. Из урны, содержащей 2 белых и 6 черных шаров наудачу выбирается с возвращением 5 раз подряд один шар. Подсчитать вероятность того, что 4 раза появится белый шар.

В приведенных выше обозначениях n=8; p=1/4; q=3/4; x=5. Искомую вероятность вычисляем по формуле Бернулли:

143 P8(5) = C5 4 По формуле Бернулли можно подсчитать вероятности всех возможных частот:

x=0,1,2,3,4,5.

Заметим, что если в этой задаче считать, что белых шаров было 20000, а черных 60000, то очевидно p и q останутся неизменными. Однако в этой ситуации можно пренебречь возвращением извлеченного шара после каждой выборки (при не слишком больших значениях x) и считать вероятности всех частот: x=0,1,2,... по формуле Бернулли.

Формула Бернулли при заданных числах p и n позволяет рассчитывать вероятность любой частоты x (0 x n). Возникает естественный вопрос: какой частоте будет соответствовать наибольшая вероятность Предположим, что такая частота существует, и попытаемся ее определить из условия, что вероятность этой частоты не меньше вероятности "предыдущей" и "последующей" частот:

Pn(x) Pn (x-1); Pn(x) Pn (x+1)(1) Первое неравенство (*) представляется в виде:

Лекция x x Cn pxqn x Cn px 1qn x+1, p q что эквивалентно или qx pn px + p. Отсюда следует:

x n x + x np + p Решая второе неравенство (1), получим x np q Таким образом, частота, имеющая наибольшую вероятность (чем вероятнейшая частота), определяется двойным неравенством np q x np + p Если np + p – целое число (тогда и np – q – целое число), то две частоты: x=np – q и x=np + p обладают наибольшей вероятностью. Например, при n 7; p, наивероятнейшие частоты: x = 3; x = 4.

Случайная величина, распределенная по закону Бернулли.

При двух заданных числах:

1) n - количестве повторных независимых испытаний, 2) p - вероятности события A в одном испытании можно по формуле Бернулли подсчитать значение вероятности каждого целого числа x 0 x n, где x – число появлений события A в n испытаниях (частота появления события A).

Таким образом, каждому исходу случайного эксперимента, заключающегося в серии из n испытаний по схеме Бернулли, соответствует определенное число x, рассматриваемое как случайная величина, принимающая значения 0, 1, 2,...n.

Соответствие между значениями x и их вероятностями (рассчитанными по формуле Бернулли) называется законом распределения Бернулли. Строгое определение случайной величины и закона распределения будет дано позже.

Можно построить график закона распределения Бернулли (зависимости Pn x ) для конкретных значений n и p. Так как аргумент x принимает лишь целые значения, график представляется в виде точек на плоскости x, Pn x.

Для наглядности точки соединяются ломаной линией, и такой график называется полигоном распределения.

Лекция При p 0,5, как показано на рисунке 9, полигон симметричен относительно прямой x=np (если p близко к 0,5, то полигон близок к симметричному) При малых p полигон существенно асимметричен, и наивероятнейшими являются частоты, бизкие к нулю. На рисунке 10 изображен полигон распределения для p=0,2 при числе испытаний n,равном 6-ти.

При больших p, близких к 1, наиболее вероятны максимальные значения. На рисунке показан полигон распределения, для p=0,8 и n=6.

О других свойствах бернуллиевского распределения будет говориться позже.

Лекция Асимптотические формулы для формулы Бернулли.

В практических задачах часто приходится вычислять вероятности различных событий, связанных с числом успехов в n испытаниях при больших значениях n. В этих случаях вычисления по формуле по формуле Бернулли становятся затруднительными. Трудности возрастают, когда приходится суммировать вероятности Pn x. К суммированию сводится ( ) вычисление вероятностей событий вида k x l, как, например, в такой задаче:

Проводится 70 испытаний по схеме Бернулли с вероятностью появления события А в одном испытании, равной 0,4. Найти вероятность того, что событие А произойдет от 25 до 35 раз, то есть найти Pn(25 x 35).

В отдельных случаях при больших n удается заменить формулу Бернулли приближенными формулами. Такие формулы, которые получаются при условии n называются асимптотическими.

Если n достаточно велико, а p - величина очень малая, для формулы Бернулли имеет место приближенная (асимптотическая) формула x x Pn x cn pxqn x e x! Здесь np ( - греческая буква "лямбда"). Эта формула называется формулой Пуассона. По формуле Пуассона вычисляются вероятности числа появлений очень редких событий в массовых испытаниях.

Задача. Телефонная станция обслуживает 1000 абонентов. В течение часа любой абонент независимо от остальных может сделать вызов с вероятностью 0,05. Требуется найти вероятность того, что в течение часа было не более 7 вызовов.

Здесь np 5. Пусть x - число вызовов. Нас интересуют значения x, равные0, 1,…,7.

50 5 P 0 e 5;P 1 e 1;…P 7 e 0! 1! 7! 52 53 54 55 56 P 0 x 7 e 5 1 5 0, 2 6 24 120 720 Лекция Если n достаточно велико, p не сильно отличается от 0,5, имеет место формула Муавра-Лапласа, иногда называемая локальной формулой Лапласа.

t1 x - np x Pn x cn pxqn x e, где t 2Fnpq npq Из формулы видно, что одинаковые отклонения от величины np вправо и влево здесь имеют одинаковые вероятности. В формуле Бернулли это имеет место лишь при p=0.5.

Чтобы определить вероятность того, что в 50 испытаниях по схеме Бернулли при p=0.45 событие А наступило 30 раз, нужно воспользоваться таблицей значений функции y ex. Часто встречаются таблицы значений так называемой "локальной" функции Лапласа.

t y e 2F Если n достаточно велико, а p не сильно отличается от 0,5, имеет место интегральная формула Лапласа:

mx x Pn m1 x m2 pxqn > - = cn x m- ut x2 - pn x1 - np Здесь > ; = ;. t e 2 du — функция npq npq 2F Лапласа, значения которой определяются из таблиц.

Для вычислений используются свойства функции Лапласа 1). 0 2). 0, 3). -. t.

-t При t=3,5. t 0,499767, и так как. t - монотонно ( ) ( ) возрастающая функция, в практических расчетах при t 3,5 можно принимать. t 05.

, Задача. Игральную кость бросают 800 раз. Какова вероятность того, что число очков, кратное 3, выпадает не менее 280 и не более 294 раз Лекция 1 Здесь n 800; p ;q 3 1 294 - 800 280 - 3 P300 280 x 294 - 1 2 1 800 800 3 3 3 2,05 - 1 0,479818 - 0,341343 0, Дискретные случайные величины.

Часто результатом случайного эксперимента является число. Например, можно подбросить игральную кость и получить одно из чисел: 1,2,3,4,5,6.

Можно подъехать к бензоколонке и обнаружить определённое число автомашин в очереди. Можно выстрелить из пушки и измерить расстояние от места выстрела до места падения снаряда. В таких случаях будем говорить, что имеем дело со случайной величиной.

Каждому исходу случайного эксперимента поставим в соответствие единственное число xk — значение случайной величины. Тогда естественно рассматривать случайную величину как функцию, заданную на множестве исходов случайного эксперимента.

Случайная величина, которая может принимать лишь конечное или счётное число значений, называется дискретной.

Случайные величины будем обозначать буквами греческого алфавита:

(кси), (эта), Значения случайной величины будем записывать в виде конечной или бесконечной последовательности x1, x2,, xn, Если говорится, что задана случайная величина, это значит, что каждому исходу k случайного эксперимента поставлено в соответствие единственное число xk, что записывается в виде равенства xk = ( k).

Некоторые из значений xk могут совпадать, то есть различным исходам может соответствовать одно и то же число x. Если все значения случайной величины совпадают, то будем говорить, что случайная величина постоянна.

Пусть Аk — множество всех элементарных исходов, каждому из которых соответствует значение xk (k = 1,2,,n) случайной величины. Этот факт можно записать в виде формулы Ak i i: i = xk Таким образом, Аk – это событие (строго говоря, это верно лишь в случае конечного или счётного числа исходов). Для каждого события Аk определим число рk 0, равное вероятности этого события: рk = P(Ak). Очевидно, что n n Ak, AiAj = (i,j = 1,2,,n, ij), pk 1.

k=1 i =Теперь каждому значению xk случайной величины можно поставить в соответствие вероятность рk = P(Ak) события Аk. Если такое соответствие определено то будем говорить, что задан закон распределения дискретной случайной величины. Обычно закон распределения дискретной случайной величины представляется в виде таблицы х1 х2 х3 хn (1) P p1 p2 p3 pn В дальнейшем для краткости будем называть величину pi вероятностью значения хi случайной величины. Отметим, что закон распределения содержит всю информацию о случайной величине, и задать случайную величину можно, просто представив её закон распределения.

Пусть две случайные величины = {x1,x2,,xn}; = {у1, у2,,уm}(2) определены на одном и том же пространстве элементарных исходов. Если Аi (i = 1,2,,n) – событие, объединяющее все исходы, приводящие к значению хi случайной величины, а Вj (j = 1,2,,m) – событие, объединяющее все исходы, приводящие к значению уi случайной величины, то можно определить случайную величину = +, которая принимает все возможные значения zij = xi + yj. Каждому такому значению zij случайной величины ставится в соответствие вероятность pij, равная вероятности пересечения событий Аi и Вj:

pij = P(AiBj).

Таким образом определяется закон распределения суммы двух случайных величин. Также можно определить законы распределения разности –, N произведения и частного случайных величин (последний лишь в случае, D если не принимает нулевого значения).

Две случайные величины = {x1,x2,,xn}; = {у1, у2,,уm}, определённые на одном и том же пространстве элементарных исходов, имеющие законы распределения х1 xi y1 yj 1 Р Р p1 p1 p1 pi j называются независимыми, если при любых i и j выполняется равенство Р(( = хi) ( = yj)) = p1 pi j Пример1. Брошены две игральных кости. Число очков, выпавшее на первой кости, – случайная величина. Число очков, выпавшее на второй кости – случайная величина. Считаем, что все исходы (( = i)( = j)) (i = 1,2,,6;

j = 1,2,,6) равновероятны, всего их 36, поэтому P(( = i)( = j)) = 1 Так как P( = i) = и P( = j)) =, очевидно, что по определению и – 6 независимые случайные величины.

Пример 2. Даны две независимые случайные величины и с заданными законами распределения 0 1 1 1 2 1 Р Р 3 3 4 Определим случайные величины и следующим образом: = +, =. Выясним, являются ли независимыми случайные величины и.

Составим закон распределения. Наименьшее значение равняется 1.

Вероятность события = 1 равна вероятности события ( = 0)( = 1), которая 1 1 в силу независимости и равна. Событие = 2 совпадает с 3 4 событием (( = 0)( = 2))7 (( = 1)( = 1)). Его вероятность равна 1 3 2 1.

3 4 3 4 Максимальное значение, равное 3, имеет вероятность. Таким образом, закон распределения случайной величины можно представить таблицей 1 2 1 5 Р 12 12 Закон распределения представляется таблицей 0 1 1 5 Р 3 12 Рассмотрим события = 3 и = 0. Очевидно, что 1 1 Р( = 3) Р( = 0) = 2 3 С другой стороны, событие ( = 3)( = 0) – невозможное, так как = только при = 1, а = 0 лишь при = 0. Отсюда следует, что Р(( = 3)( = 0)) = 0, и теперь ясно, что, по крайней мере, в одном случае условие определения независимости для случайных величин и не выполняется. Отсюда следует, что эти случайные величины зависимы.

Математическое ожидание случайной величины.

Пусть задан закон распределения случайной величины.

х1 х2 х3 хn P p1 p2 p3 pn Математическое ожидание М (или М( )) случайной величины определяется формулой n M xi pi i=Рассмотрим пример. Пусть в некотором магазине, торгующем электробытовой техникой, получены статистические данные о числе проданных холодильников в каждый день месяца (условно считаем, что месяц состоит из 30 рабочих дней).

Эти данные собраны в таблицу Количество проданных 0 1 2 3 4 холодильников Число дней, в которые было 3 7 8 9 2 продано столько холодильников По этой таблице легко подсчитать число холодильников, проданных в магазине за месяц: 0*1+1*7+2*8+3*9+4*2+5*1 = 63. Чтобы подсчитать среднее число холодильников, продававшихся в один день месяца, нужно эту сумму разделить на 30, в результате получим 2,1. Если в приведенной таблице каждое число второй строки поделить на 30, то получится последовательность дробей 1 7 4 3 1 ; ; ; ; ;, 10 30 15 10 15 каждая из которых представляет собой так называемую относительную частоту, с которой в данный месяц появлялся приведенный в верхней строке объём продаж. Очевидно, что если просуммировать все произведения чисел, стоящих в первой строке таблицы, на их относительные частоты, то получится то же среднее число продававшихся в один день холодильников:

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 9 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.