WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 9 |

Рассмотрим случайный эксперимент, заключающийся в том, что подбрасывается игральная кость, сделанная из неоднородного материала. Ее центр тяжести не находится в геометрическом центре. В этом случае мы не можем считать исходы (выпадение единицы, двойки и т.д.) равновероятными. Из физики известно, что кость более часто будет падать на ту грань, которая ближе к центру тяжести. Как определить вероятность выпадения, например, трех очков Единственное, что можно сделать, это подбросить эту кость n раз (где n-достаточно большое число, скажем n=1000 или n=5000), подсчитать число выпадений трех очков n3 и считать вероятность исхода, заключающегося в выпадении трех очков, равной n3/n - относительной частоте выпадения трех очков. Аналогичным образом можно определить вероятности остальных элементарных исходов — единицы, двойки, четверки и т.д. Теоретически такой образ действий можно оправдать, если ввести статистическое определение вероятности.

Вероятность P(Mi) определяется как предел относительной частоты появления исхода Mi в процессе неограниченного увеличения числа случайных экспериментов n, то есть mn(M ) i Pi P(M ), lim i n n где mn(Mi) – число случайных экспериментов (из общего числа n произведенных случайных экспериментов), в которых зарегистрировано появление элементарного исхода Mi.

Так как здесь не приводится никаких доказательств, мы можем только надеяться, что предел в последней формуле существует, обосновывая надежду жизненным опытом и интуицией.

Геометрическая вероятность В одном специальном случае дадим определение вероятности события для случайного эксперимента с несчетным множеством исходов.

Если между множеством элементарных исходов случайного эксперимента и множеством точек некоторой плоской фигуры (сигма большая) можно установить взаимно-однозначное соответствие, а также можо установить взаимно-однозначное соответствие между множеством элементарных исходов, благоприятствующих событию А, и множеством точек плоской фигуры I (сигма малая), являющейся частью I I I фигуры, то s P(A), S где s — площадь фигуры, S — площадь фигуры.

Пример. Два человека обедают в столовой, которая открыта с 12 до 13 часов.

Каждый из них приходит в произвольный момент времени и обедает в течение минут. Какова вероятность их встречи Пусть x — время прихода первого в столовую, а y — время прихода второго 12 x 13; 12 y 13.

Можно установить взаимно-однозначное соответствие между всеми парами чисел (x;y) (или множеством исходов) и множеством точек квадрата со стороной, равной 1, на координатной плоскости, где начало координат соответствует числу 12 по оси X и по оси Y, как изображено на рисунке 6. Здесь, например, точка А соответствует исходу, заключающемуся в том, что первый пришел в 12.30, а второй - в 13.00. В этом случае, очевидно, встреча не состоялась.

Рис.Если первый пришел не позже второго (y x), то встреча произойдет при условии 0 y - x 1/6 (10 мин.- это 1/6 часа).

Если второй пришел не позже первого (x y), то встреча произойдет при условии 0 x - y 1/6..

Между множеством исходов, благоприятствующих встрече, и множеством точек области, изображенной на рисунке 7 в заштрихованном виде, можно установить взаимно-однозначное cоответствие.

Искомая вероятность p равна отношению площади области к площади всего квадрата.. Площадь квадрата Рис. равна единице, а площадь области можно определить как разность единицы и суммарной площади двух треугольников, изображенных на рисунке 7. Отсюда следует:

25 p 1 36 Непрерывное вероятностное пространство.

Как уже говорилось ранее, множество элементарных исходов может быть более, чем счетным (то есть несчетным). В этом случае нельзя считать любое подмножество множества событием.

Чтобы ввести определение случайного события, рассмотрим систему (конечную или счетную) подмножеств A1,A2,... An пространства элементарных исходов.

В случае выполнения трех условий:

1) принадлежит этой системе;

2) из принадлежности А этой системе следует принадлежность A этой системе;

3) из принадлежности Ai и Aj этой системе следует принадлежность Ai U Aj этой системе такая система подмножеств называется алгеброй.

Пусть — некоторое пространство элементарных исходов. Убедитесь в том, что две системы подмножеств:

1), ; 2), А, A, (здесь А— подмножество ) являются алгебрами.

Пусть A1 и A2 принадлежат некоторой алгебре. Докажите, что A1 \ A2 и A1 Aпринадлежат этой алгебре.

Подмножество А несчетного множества элементарных исходов 9 является событием, если оно принадлежит некоторой алгебре.

Сформулируем аксиому, называемую аксиомой А.Н. Колмогорова.

Каждому событию соответствует неотрицательное и не превосходящее единицы число P(А), называемое вероятностью события А, причем функция P(А) обладает следующими свойствами:

1) Р(9)=2) если события A1, A2,..., An несовместны, то P(A1UA2U...UAn) = P (A1) + P (A2) +...+ P(An) Если задано пространство элементарных исходов, алгебра событий и определенная на ней функция Р, удовлетворяющая условиям приведенной аксиомы, то говорят, что задано вероятностное пространство.

Это определение вероятностного пространства можно перенести на случай конечного пространства элементарных исходов. Тогда в качестве алгебры можно взять систему всех подмножеств множества.

Формулы сложения вероятностей.

Из пункта 2 приведенной аксиомы следует, что если A1 и A2 несовместные события, то P(A1UA2) = P(A1) + P(A2) Если A1 и A2 — совместные события, то A1UA2 =(A1\ A2)UA2, причем очевидно, что A1\A2 и A2 — несовместные события. Отсюда следует:

P(A1UA2) = P(A1\ A2) + P(A2) (*) Далее очевидно: A1 = (A1\ A2)U(A1A2), причем A1\ A2 и A1A2 - несовместные события, откуда следует: P(A1) = P(A1\ A2) + P(A1A2) Найдем из этой формулы выражение для P(A1\ A2) и подставим его в правую часть формулы (*). В результате получим формулу сложения вероятностей:

P(A1UA2) = P(A1) + P(A2) – P(A1A2) Из последней формулы легко получить формулу сложения вероятностей для несовместных событий, положив A1A2 =.

Пример. Найти вероятность вытащить туза или червовую масть при случайном отборе одной карты из колоды в 32 листа.

Р( ТУЗ ) = 4/32 = 1/8; Р( ЧЕРВОВАЯ МАСТЬ ) = 8/32 = 1/4;

Р( ТУЗ ЧЕРВЕЙ ) = 1/32;

Р(( ТУЗ ) U (ЧЕРВОВАЯ МАСТЬ )) = 1/8 + 1/4 - 1/32 =11/Того же результата можно было достичь с помощью классического определения вероятности, пересчитав число благоприятных исходов.

Условные вероятности.

Рассмотрим задачу. Студент перед экзаменом выучил из 30 билетов билеты с номерами с 1 по 5 и с 26 по 30. Известно, что студент на экзамене вытащил билет с номером, не превышающим 20. Какова вероятность, что студент вытащил выученный билет Определим пространство элементарных исходов: =(1,2,3,...,28,29,30). Пусть событие А заключается в том, что студент вытащил выученный билет:

А = (1,...,5,25,...,30,), а событие В — в том, что студент вытащил билет из первых двадцати: В = (1,2,3,...,20) Событие АВ состоит из пяти исходов: (1,2,3,4,5), и его вероятность равна 5/30.

Это число можно представить как произведение дробей 5/20 и 20/30. Число 20/30 - это вероятность события B. Число 5/20 можно рассматривать как вероятность события А при условии, что событие В произошло (обозначим её Р(А/В)). Таким образом решение задачи определяется формулой P(АВ) = Р(А/В) Р(B) Эта формула называется формулой умножения вероятностей, а вероятность Р(А/В) — условной вероятностью события A.

Пример..Из урны, содержащей 7 белых и 3 черных шаров, наудачу один за другим извлекают (без возвращения) два шара. Какова вероятность того, что первый шар будет белым, а второй черным Пусть X — событие, состоящее в извлечении первым белого шара, а Y — событие, состоящее в извлечении вторым черного шара. Тогда XY - событие, заключающееся в том, что первый шар будет белым, а второй — черным. P(Y/X) =3/=1/3 — условная вероятность извлечения вторым черного шара, если первым был извлечен белый. Учитывая, что P(X) = 7/10, по формуле умножения вероятностей получаем: P(XY) = 7/Событие А называется независимым от события В (иначе: события А и В называются независимыми), если Р(А/В)=Р(А). За определение независимых событий можно принять следствие последней формулы и формулы умножения P(АВ) = Р(А) Р(B) Докажите самостоятельно, что если А и В — независимые события, то A и B тоже являются независимыми события.

Пример.Рассмотрим задачу, аналогичную предыдущей, но с одним дополнительным условием: вытащив первый шар, запоминаем его цвет и возвращаем шар в урну, после чего все шары перемешиваем. В данном случае результат второго извлечения никак не зависит от того, какой шар - черный или белый появился при первом извлечении. Вероятность появления первым белого шара (событие А) равна 7/10. Вероятность события В - появления вторым черного шара - равна 3/10. Теперь формула умножения вероятностей дает: P(АВ) = 21/100.

Извлечение шаров способом, описанным в этом примере, называется выборкой с возвращением или возвратной выборкой.

Следует отметить, что если в двух последних примерах положить изначальные количества белых и черных шаров равными соответственно 7000 и 3000, то результаты расчетов тех же вероятностей будут отличаться пренебрежимо мало для возвратной и безвозвратной выборок.

Лекция Формула полной вероятности.

Пусть имеется группа событий H1, H2,..., Hn, обладающая следующими свойствами:

1) Все события попарно несовместны: Hi Hj = ; i, j=1,2,...,n; i j 2) Их объединение образует пространство элементарных исходов :

=H1U H2U... U Hn.

В этом случае будем говорить, что H1, H2,...,Hn образуют полную группу событий. Такие события иногда называют гипотезами.

Пусть А - некоторое событие: А (диаграмма Венна представлена на рисунке 8).

Тогда имеет место формула полной Рис.вероятности:

n P(A) = P(A/ H1)P(H1) + P(A/ H2)P(H2) +...+ P(A/ Hn)P(Hn) = P(A / Hi )P(Hi ) i Доказательство. Очевидно: A = (AH1) U (AH2) U...U (AHn), причем все события AHi (i = 1,2,...,n) попарно несовместны. Отсюда по теореме сложения вероятностей получаем P(A) = P(AH1) + P(AH1) +...+P(AHn ) Если учесть, что по теореме умножения P(AHi) = P(A/Hi) P(Hi) (i = 1,2,...,n), то из последней формулы легко получить приведенную выше формулу полной вероятности.

Пример. В магазине продаются электролампы производства трех заводов, причем доля первого завода - 30, второго - 50, третьего - 20. Брак в их продукции составляет соответственно 5, 3 и 2. Какова вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампа оказалась бракованной.

Пусть событие H1 состоит в том, что выбранная лампа произведена на первом заводе, H2 на втором, H3 - на третьем заводе. Очевидно:

P(H1) = 3/10, P(H2) = 5/10, P(H3) = 2/10.

Пусть событие А состоит в том, что выбранная лампа оказалась бракованной;

A/Hi означает событие, состоящее в том, что выбранна бракованная лампа из ламп, произведенных на i-ом заводе. Из условия задачи следует:

P (A/H1) = 5/10; P(A/H2) = 3/10; P(A/H3) = 2/По формуле полной вероятности получаем 3 5 5 3 2 2 P(A) + + 10 100 10 100 10 100 Лекция Формула Байеса Пусть H1,H2,...,Hn - полная группа событий и А - некоторое событие. Тогда по формуле для условной вероятности P(Hk 1 A) P(Hk / A) (*) P(A) Здесь P(Hk /A) - условная вероятность события (гипотезы) Hk или вероятность того, что Hk реализуется при условии, что событие А произошло.

По теореме умножения вероятностей числитель формулы (*) можно представить в виде P(HkA) = P(AHk) = P(A /Hk) P(Hk) Для представления знаменателя формулы (*) можно использовать формулу полной вероятности n P(A) P(A / Hi )P(Hi ) i Теперь из (*) можно получить формулу, называемую формулой Байеса:

P(A / Hk )P(Hk ) P(Hk / A) n P(A / Hi )P(Hi ) i =По формуле Байеса исчисляется вероятность реализации гипотезы Hk при условии, что событие А произошло. Формулу Байеса еще называют формулой вероятности гипотез.

Пример.Рассмотрим приведенную выше задачу об электролампах, только изменим вопрос задачи. Пусть покупатель купил электролампу в этом магазине, и она оказалась бракованной. Найти вероятность того, что эта лампа изготовлена на втором заводе.

Выпишем формулу Байеса для этого случая P(A / H2)P(H2 ) P(H2 / A) P(A) Из этой формулы получаем: P(H2 / A) = 15/Предлагаем читателю решить самостотельно две задачи.

.№1.В первой урне 7 белых и 3 черных шара, во второй - 8 белых и 2 черных. Из первой урны случайным образом извлекается шар и перекладывается во вторую урну. После перемешивания шаров во второй урне из нее извлекается один шар. Найти вероятность того, что извлеченный из второй урны шар — белый.

№2.В условие задачи №1 внесем изменение. Пусть после перекладывания шара из первой урны во вторую из второй урны извлечен белый шар. Найти вероятность того, что из первой урны во вторую был переложен черный шар.

Лекция Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.

Рассмотрим случай многократного повторения одного и того же испытания или случайного эксперимента. Результат каждого испытания будем считать не зависящим от того, какой результат наступил в предыдущих испытаниях. В качестве результатов или элементарных исходов каждого отдельного испытания будем различать лишь две возможности:

1) появление некоторого события А;

2) появление события A, (события, являющегося дополнением А) Пусть вероятность P(A) появления события А постоянна и равна p (0.p 1).

Вероятность P(A) события A обозначим через q: P(A) = 1- p=q.

Примерами таких испытаний могут быть:

1) подбрасывание монеты: А - выпадение герба; A - выпадение цифры.

P(A) = P(A) = 0,5.

2) бросание игральной кости: А - выпадение количества очков, равного пяти, A выпадение любого количества очков кроме пяти.

P(A) =1/6, P(A) =5/6.

3) извлечение наудачу из урны, содержащей 7 белых и 3 черных шара, одного шара (с возвращением): А - извлечение белого шара, A - извлечение черного шара P(A) = 0,7; P(A) = 0,Пусть произведено n испытаний, которые мы будем рассматривать как один сложный случайный эксперимент. Составим таблицу из n клеток, расположенных в ряд, пронумеруем клетки, и результат каждого испытания будем отмечать так: если в iм испытании событие А произошло, то в i-ю клетку ставим цифру 1, если событие А не произошло (произошло событиеA), в i-ю клетку ставим 0.

Если, например, проведено 5 испытаний, и событие А произошло лишь во 2 -м и 5-м испытаниях, то результат можно записать такой последовательностью нулей и единиц: 0; 1; 0; 0; 1.

Каждому возможному результату n испытаний будет соответствовать последовательность n цифр 1 или 0, чередующихся в том порядке, в котором появляются события A и A в n испытаниях, например:

1; 1; 0; 1; 0; 1; 0; 0;... 0; 1; 1; """""" """""! n цифр Всего таких последовательностей можно составить 2n (это читатель может доказать сам).

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 9 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.