WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |

3. ABC – равнобедренный треугольник с вершиной А. А=27. Точка D симметрична точке В относительно А. Чему равен угол BCD 4. Мальчик стоит на автобусной остановке и мрзнет, а автобуса нет. Ему хочется пройтись до следующей остановки. Мальчик бегает вчетверо медленнее автобуса и может увидеть автобус на расстоянии 2 км. До следующей остановки ровно километр. Имеет ли смысл идти, или есть риск упустить автобус 5. Про числа a и b известно, что a = b + 1. Может ли оказаться так, что a4 = b4 6. Какое наименьшее количество клеток квадрата 5 5 нужно закрасить, чтобы в любом квадрате 3 3, являющемся его частью, было ровно 4 закрашенных клетки 9 класс 1. Докажите, что число 20082 + 20082 20092 + 20092 является ли квадратом целого числа.

2. Рассматриваются функции вида y = x2 + ax + b, где а + b = 2008.

Докажите, что графики всех таких функций имеют общую точку.

3. На острове рыцарей и лжецов (лжецы всегда лгут, рыцари всегда говорят правду) каждый болеет ровно за одну футбольную команду. В опросе приняли участие все жители острова. На вопрос «Болеете ли Вы за «Спартак»» ответили «Да» 40% жителей. На аналогичный вопрос про «Зенит» утвердительно ответили 30%, про «Локомотив» - 50%, а про ЦСКА – 0%. Какой процент жителей острова действительно болеет за «Спартак» 4. В выпуклом пятиугольнике ABCDE А = B = D = 90. Найдите ADB, если известно, что в данный пятиугольник можно вписать окружность.

5. Кольцевая дорога поделена столбами на километровые участки, и известно, что количество столбов четно. Один из столбов покрашен в желтый цвет, другой - в синий, а остальные – в белый. Назовем расстояние между столбами длину кратчайшей из двух соединяющих их дуг. Найдите расстояние от синего столба до желтого, если сумма расстояний от синего столба до белых равна 2008 км.

10 класс 1. Графики функций у = х2 + ах + b и у = х2 + сх + d пересекаются в точке с координатами (1; 1). Сравните a5 + d6 и c6- b5.

2. Какое наибольшее число ребер шестиугольной призмы может пересечь плоскость, не проходящая через вершины призмы 3. Решите уравнение:

1 1... 1.

x 1 x 3 x 3 x 5 x 2007 x 4. Докажите, что если стороны треугольника образуют геометрическую прогрессию, то их высоты тоже образуют геометрическую прогрессию.

5. В клетки квадрата 33 требуется вписать девять различных натуральных чисел так, чтобы все они не превосходили n, и чтобы произведения чисел в каждой строке и каждом столбце были равны. При каком наименьшем n это возможно 11 класс 1. Найдите такое натуральное число k, что 2008! делится на 2007k, но не делится на 2008k. (Напомним, что n! = 1·2·3·4·… · n).

2. Может ли вершина параболы y = 4x2 – 4(a + 1)x + a лежать во второй координатной четверти при каком-нибудь значении а 3. (an) – арифметическая прогрессия с разностью 1. Известно, что S2008 - наименьшая среди всех Sn (меньше суммы первых n членов для любого другого значения n). Какие значения может принимать первый член прогрессии 4. Внутри равностороннего треугольника со стороной 8 находится равнобедренный треугольник АВС, в котором АС = ВС = 1, С=120.

Две вершины А и В могут лежать либо на одной стороне большого треугольника, либо на двух. Где при этом может оказаться вершина тупого угла – точка С Нарисуйте это геометрическое место точек и найдите длину соответствующей линии.

5. Клетчатая прямоугольная сетка m n связана из веревочек единичной длины. Двое делают ходы по очереди. За один ход можно разрезать (посередине) не разрезанную ранее единичную веревочку. Если не останется ни одного замкнутого веревочного контура, то игрок, сделавший последний ход, считается проигравшим. Кто из игроков победит при правильной игре и как он должен для этого играть 2009 год 7 класс 1. В данном примере различные цифры зашифрованы различными буквами.

Определите, какое равенство зашифровано: ОТВЕТ + ОЧЕНЬ = ПРОСТ.

2. В спортивной секции девочки составляют 60% числа мальчиков. Сколько процентов числа всех участников секции составляют девочки 3. Найти наименьшее шестизначное число, делящееся на 9, все цифры которого различны.

4. Можно ли квадрат со стороной 1 м разрезать на 7 прямоугольников, не обязательно одинаковых, каждый из которых имел бы периметр 2 м 5. Можно ли покрасить клетчатый квадрат 2009 2009 в два цвета – черный и белый (каждая единичная клетка красится одним из этих цветов) – таким образом, чтобы каждая черная клетка имела двух белых соседей, а каждая белая клетка – двух черных соседей (соседями считаем клеточки, которые имеют общую сторону) Ответ обоснуйте.

8 класс 1. Докажите, что 13 + 132 + 133 + 134 +…+ 132009 + 132010 делится нацело на 7.

2. Постройте график функции y = x - 2 - 2.

3. На сторонах АВ, ВС и АС равностороннего треугольника АВС взяты соответственно точки D, E, F, так что AD = BE = CF. Каков вид треугольника DEF Докажите.

4. Известно, что a + b + c = 5, ab + ac + bc = 5. Чему может равняться a2 + b2 + c2 5. На 44 деревьях, расположенных по кругу, сидели по веселому чижу.

Время от времени какие-то два чижа перелетают на соседнее дерево – один по часовой стрелке, а другой – против. Могут ли все чижи собраться на одном дереве 9 класс 1. На доске написаны восемь простых чисел, каждое из которых больше двух. Может ли их сумма равняться 59 2. В хоре число девочек относилось к числу мальчиков как 4:3. После того как в хор пришли двое новеньких, это соотношение стало 3:2. Сколько мальчиков было в хоре вначале 3. В четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке M. Известно, что AM = 1, BM = 2, CM = 4. При каких значениях DM четырехугольник ABCD является трапецией 4. Сравните числа 2011 2009 и 2 2010.

5. Докажите, что среди любых шести человек найдутся трое знакомых или трое незнакомых между собой людей.

10 класс 1. Пусть a + b + c < 0 и уравнение ax2 + bx + c = 0 не имеет корней. Какой знак имеет число c 2. Докажите, что уравнение xy = 2009 (x + y) имеет решения в целых числах.

3. Окружность, построенная на катете прямоугольного треугольника, как на диаметре, делит гипотенузу в отношении 1:3. Определить углы треугольника.

4. (an) – арифметическая прогрессия с разностью 1. Известно, что S2009 - наименьшая среди всех Sn (меньше суммы первых n членов для любого другого значения n). Какие значения может принимать первый член прогрессии 5. Имеется три кучи камней: в первой – 10, во второй – 15, в третьей – камней. За ход разрешается разбить любую кучу на две меньшие.

Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто победит – начинающий или его партнер 11 класс 1. Постройте график функции y 4sin4 x 2cos2x 3 4cos4 x 2cos2x 2. Определите a так, чтобы сумма квадратов корней уравнения x2 + (2 - a)x – a - 3 = 0 была наименьшей.

3. Докажите, что если число 111121111 делится на 11, то оно также......

n единиц n единиц делится и на 121.

4. Длины четырех отрезков (числа a, b, c, d) удовлетворяют условию a2 + b2 + c2 + d2 = ab + bc + cd + da. Верно ли, что объем куба, ребро которого равно одному из этих отрезков, равен объему прямоугольного параллелепипеда, тремя ребрами которого являются три другие отрезка 5. Даны n точек, никакие четыре из которых не принадлежат одной плоскости. Сколько плоскостей можно провести через различные тройки этих точек Ответы и решения задач 2 тура предметных Олимпиад школьников по математике 2005 год 9 класс 1. Так как трехзначное число не может начинаться с нуля, то двойка, после которой идет нуль, не может стоять в разряде единиц одного из трехзначных чисел ряда. Пусть двойка стоит в разряде десятков трехзначного числа. Тогда идущий за ней нуль стоит в разряде единиц того же числа, т.е. это число оканчивается на 20. Таких чисел 9: 120, 220, …, 920. Наконец, если двойка, после которой идет нуль, стоит в разряде сотен, то соответствующее трехзначное число начинается на 20. Таких чисел 10: 200, 201, …, 209. Таким образом, всего после двойки нуль будет встречаться 19 раз.

2. Заметим, что 1! 2! 3! 4! … 20! = (1! 2!) (3! 4!) … (19! 20!) = = (1! 1! 2) (3! 3! 4) (5! 5! 6) … (17! 17! 18) (19! 19! 20) = = (1!)2 (3!)2 (5!)2 … (19!)2 (2 4 6 8 … 18 20) = = (1!)2 (3!)2 (5!)2 … (19!)2 (2 (2 2) (3 2) … (10 2)) = = (1! 3! … 19!)2 210 (1 2 3 … 2 10) = (1! 3! … 19!)2 (25)2 10! Мы видим, сто первые два множителя – квадраты, поэтому, если вычеркнуть 10!, то останется квадрат. Легко видеть, что вычеркивание других множителей, указанных в ответах, не дает желаемого результата.

Ответ: 10! 3. Задача имеет множество решений. Рассмотрим один из них. Выберем на сторонах угла произвольно по 2 точки: A, N, B, M и рассмотрим треугольники АВС и NМС. Проведем в каждом из этих треугольников биссектрисы углов. Точка пересечения биссектрис углов треугольника АВС принадлежит и биссектрисе угла С. Аналогично, точка пересечения 2 биссектрис углов треугольника NМС также лежит на биссектрисе угла С.

Проводим через эти 2 точки прямую, которая будет и биссектрисой С.

4. Есть только один треугольник, в котором угол 20 лежит между сторонами 5 см и 6 см. Попробуем построить треугольник, в котором сторона 6 см прилегает к углу 20, а сторона 5 см лежит против него. Для этого от вершины угла отложим отрезок длиной 6 см, и проведем окружность радиуса 5 см с центром этого отрезка, несовпадающем с вершиной. Расстояние от центра этой окружность до второй стороны угла меньше 5 см (это расстояние равно катету угла в 20 ). Отсюда следует, что окружность пересечет прямую, содержащую вторую сторону угла, в двух точках, причем из-за того что радиус меньше 6 см, обе эти точки будут лежать на стороне угла, и мы получим два разных треугольника.

Если же попробовать поменять ролями отрезки в 5 см и 6 см, то вершина угла окажется внутри построенной окружности, и мы получим только одну точку пересечения, а следовательно, и один треугольник.

Итак, мы получили всего 4 треугольника.

5. Опишем стратегию первого игрока. Первым ходом он должен взять со стола 85 монет. Каждым следующим, если второй игрок берет х монет, то первый игрок должен взять 101 – х монет (он всегда может это сделать, потому что если х – четное число от 2 до 100, то (101 – х) – нечетное число от 1 до 99). Так как 2005=101· 19 + 85 + 1, то через 19 таких «ответов» после хода первого на столе останется 1 монета, и второй не сможет сделать ход, т.е. проиграет.

10 класс 1. Уравнение x4 – 4x3 + 12x2 – 24x + 24 = 0 преобразовать к виду (x2 – 2x)2 + 8(x – 1,5)2 + 6 = 0, которое не имеет решений.

2. Пусть первая из команд забила за весь матч т голов, вторая п голов.

Сумма числа голов в ходе матча изменяется с шагом 1 от 0 до т + п, значит, в какой-то момент она будет равна т. Данный момент и будет искомым в задаче, потому что при этом число голов, уже забитых второй командой, равно разности т и числа голов, уже забитой первой командой, т.е. числу голов, которое еще предстоит забить первой команде.

Аналогично можно рассуждать и с первой командой.

3. Обозначим длины сторон большого и малого квадратов через 2х и 2у соответственно, радиус окружности – через R. Тогда расстояния от центра окружности до вершин вписанных квадратов, лежащих на окружности дают выражения (2x – h)2 + x2 = R2, (2y + h)2 + y2 = R2. Отсюда получим 4 x y h. Тогда, разность длин сторон квадратов будет равна h.

5 4. Обозначим 2 3 = а. Тогда a2 = 5 2 6, а (a2 – 5)2 = (2 6)2 или a4 – 10a2 + 25 = 24, которое равносильно a4 – 10a2 + 1 = 0. А это и означает, что а является корнем многочлена x4 – 10x2 + 1.

5. 2005-й член последовательности равен наименьшему натуральному числу n(n 1) п, для которого 1 2... n 2005. Последнее неравенство будет равносильно неравенству n2 + n – 4010 0. Решением данного квадратного неравенства (с учетом того, что п – натуральное) будет 1 n 62,83. Значит, последний член последовательности будет 63.

11 класс 1. Пусть это 4 последовательных числа: n, n + 1, n + 2, n + 3.

Тогда n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1 = = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1 = (n2 + 3n + 1)2.

2. Перенесем в левую часть 2sin4x cos4x и прибавим и вычтем по cos8x.

В результате полученное уравнение можно преобразовать к виду (sin4x – cos4x)2 + cos2x(1 – cos6x) = 0, которое равносильно следующей системе:

sin 4x cos4 x 0, cos2 x(1 cos6 x) 0.

Решая второе уравнение и подставляя его решения в первое уравнение, в результате получим решение исходного уравнения x k.

3. Пусть такой многогранник существует. Обозначим за k1, k2, …, kn число ребер на гранях, тогда k1 + k2 + … + kn = 2l – удвоенная сумма всех ребер многогранника, она – четная. А в левой части стоит нечетная сумма слагаемых, каждое из которых – нечетно. Получили противоречие. Значит, такого многогранника не существует.

4. Составим уравнение касательных к гиперболе в точке x0,.

x1 1 1 Т.к., то эти уравнения будут иметь вид y x x0. (*) x xx2 xКасательная с уравнением (*) пересекает ось абсцисс в точке (x1;0);

1 x1 можно определить из уравнения x x0 0. Решая данное xxуравнение, получим x1 = 2x0. Точка (0; y1) пересечения с осью ординат определяется подстановкой в уравнение (*) значения х = 0. В итоге получим y2. Отрезки осей координат и касательной составляют xпрямоугольный треугольник, катеты которого имеют длины а = 2 х0 и b. Площадь данного треугольника равна 2.

x5. Найдем произведение всех 25 чисел, записанных под каждым столбцом и всех 25 чисел, записанных справа от строчек. Так как в этом произведении каждое из чисел квадратной таблицы входит по два раза, то произведение этих 50 произведений, в каждом из которых стоит по 25 множителей, будет положительным, т.е. равно 1. А так как произведение 50 чисел положительно, то отрицательных сомножителей будет четное число (2, 4, …, 50). Сумма же 50 произведений может быть нулем лишь в случае, когда 25 слагаемых равно 1, а 25 слагаемых равно -1, т.е. слагаемых с -1 должно быть нечетное число. А это значит, что сумма 50 написанных произведений не может равняться нулю.

2006 год 6 класс 1. Ответ: 43 – 17.

2. Ответ: будет.

Представим данную сумму в виде следующих слагаемых: (1 + 2006) + + (2 + 2005) + …..+ (1003 + 1004) + 2007. Так как каждое слагаемое делится на 2007, то и вся сумма будет делиться на 2007.

3. Ответ: 5 клеток.

4. Ответ: 7 больших породистых собак.

5. Ответ: 64 см 7 класс 1. Ответ: 739 937 = 692443.

2. Ответ: Обломов похудел.

3. Ответ: число оканчивается цифрой 9.

4. Ответ: 25,5 см5. Среди ответов Поли, Вали и Кати может быть только один ложный ответ, иначе при двух ложных ответах получается, что стекло разбили двое.

Тогда вторым ложным ответом будет ответ Маши. Значит, Маша знала, кто разбил стекло.

8 класс 1. Ответ: 7.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.