WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |   ...   | 26 |

Целью же осуществления торговых операций является получение коммерческой прибыли, которая образуется как разность между закупочной, включающей издержки обращения, и продажной ценами.

В силу ограниченности финансового ресурса не все виды товаров из набора товаров, реализуемых фирмой, и не все товары в нужном, с точки зрения возможности сбыта, объеме могут быть закуплены по мере возникновения необходимости пополнения запасов на складе фирмы. Очевидно также, что различные товары приносят фирме различную прибыль на единицу инвестированных в них финансовых ресурсов, т.е.

товары обладают различной рентабельностью.

Принятию решений об объемах закупок товаров на склад в условиях ограниченности финансового ресурса и различной рентабельности товаров и посвящена модель, формулируемая и исследуемая в настоящем разделе.

Рассмотрим следующую исходную постановку.

Допустим, что рассматриваемая коммерческая фирма производит закупку и реализует товары единственного поставщика (производителя или торгового посредника).

В момент времени t0 производится заказ товаров на склад для периода [t1, t2] так, чтобы за время = t1– t0 они успели на него поступить. Предполагается, что в момент времени t1–t, где t = 0(), предшествующий поступлению заказываемой партии товара на склад, на нем будет иметься остаток товаров (всего номенклатура товаров содержит n позиций):

0 0 u1,u2, …, un. Потребность в товарах (оценка), т.е. оценка количества товаров, которое можно продать в периоде [t1, t2], составит, соответственно: s1, s2, …, sn. Таким образом, дефицит товаров (недостаток товаров для покрытия спроса предстоящего периода) в момент t1–t составит:

0 0 s1 = s1–u1, s2 = s2–u2, …,sn = sn–un.

Необходимо определить объем закупок (заказа) товаров в момент t0 для периода [t1, t2]: u1, u2, …, un с тем, чтобы прибыль от закупки товаров была максимальной.

Финансовый ресурс на закупку товаров ограничен и составляет B единиц, т.е. это та сумма денежных средств, которая может быть инвестирована в товары в момент времени t0.

Продажная цена товара i-го вида составляет Pi, а прибыль на каждую единицу товара i-го вида в абсолютном выражении – Di. Себестоимость товара составляет Pi – Di единиц. Обозначим через di долю прибыли в отпускной цене товара i-го вида:

di = Di / Pi, Di < Pi, 0 < di < 1.

Тогда доля себестоимости в продажной цене товара составит 1– di = (Pi – Di)/Pi. Необходимо определить оптимальный набор товаров (в количественном выражении по каждой позиции), который максимизирует прибыль фирмы в периоде [t1,t2].

На основании вышеизложенного может быть сформулирована следующая задача линейного программирования (ЗЛП):

n diPiui max (4.3.1) U i=при ограничениях n (1- di )Piui B, (4.3.2) i=i =1,n ui si, ;

или, что то же самое, i =1,n Piui Pisi,.

Очевидно, также имеет место условие, вытекающее из смысла задачи и не являющееся ограничением:

n 1- di Pi si > B.

( ) е i= В противном случае задача имеет очевидное решение:

u1=s1, u2=s2, …,un=sn.

Для решения задачи введем обозначения:

(4.3.3) Piui = u(i), Pisi = s(i), UT=(u(1), u(2),…,u(n)), где UТ – вектор-строка, соответствующий вектору-столбцу U.

С учетом обозначений (4.3.3) сформулируем ЗЛП (4.3.1) – (4.3.2) в векторно-матричной форме:

(4.3.4) CTU max U (4.3.5) AU A0, где CT = (d(1),d(2),…d(n)), где d(i) = di;

1 - d (1) 1 - d ( 2 )... 1 - d ( n )...

A =,............

...

T A= B, s(1), s(2), …,s(n)), где s(i) = Pisi.

Двойственная задача к данной ЗЛП имеет вид:

ATX ® min O X ATX C, где AT – транспонированная матрица A, а X – вектор-столбец, соответствующий вектору-строке XT = (x(1), x(2), …, x(n+1)).

Решение этих задач (прямой и двойственной) основывается на следующих двух теоремах [115, с. 46 и 63], [169], [305, с. 162 – 164].

Теорема 4.3.1. Если целевая функция принимает максимальное значение в некоторой точке допустимого множества U1, то она принимает это значение в крайней точке U1.

Теорема 4.3.2. Если U0 и X0 – допустимые решения пряT мой и двойственной задачи, и если СTU0 = X A0, то U0 и X0 – оптимальные решения этих задач.

Крайними точками допустимого множества U1 являются точки вида U(i) = (0, …, u(i) = s(i), 0, …,0), а также их линейные комбинации вида k (4.3.6) ( j)U(i), где ( j ) = 1, k < n, U(l ) U(r), j=не нарушающие условие допустимости (4.3.5) множества U(если при k = n линейная комбинация является допустимой, то нет дефицита финансового ресурса B и, соответственно, нет задачи). Но в этом случае ( ( j ) = 1, k < n) условие допустимости (4.3.5) всегда выполняется как строгое неравенство (за исключением случаев, когда все u(i) = s(i) кратны В).

Это означает, что практически всегда происходит недоиспользование финансового ресурса В.

Для достижения полного использования финансового ресурса В можно применить следующее построение.

Допустим, что в сумме (4.3.6) присутствует единственное слагаемое, для которого имеет место ( j ) < 1, такое что если в этом слагаемом заменить ( j ) < 1 на ( j ) = 1, то нарушится условие допустимости (4.3.5).

Предположим, что j=k и покажем, что в качестве (k) может быть выбрано k-B(1-d(i))s(i) i= (k) = (4.3.7).

(1-d(k))s(k) Возможность выбора (k), удовлетворяющего условию i = 1, n (4.3.7) базируется на допущении, что любая цена Pi,, входящая в выражение (4.3.3) для s(i), пренебрежимо мала по сравнению с B, т.е. Pi = 0(B). С практической точки зрения это допущение может означать нежесткость финансового ограничения (4.3.5), т.е. всегда есть дополнительный финансовый ресурс, чтобы закупить 1 единицу товара по цене Pi, какой бы эта цена не была.

Покажем, что решением вышеприведенной ЗЛП является вектор U*:

UT* = (u(1)*=s(1), u(2)*=s(2), …, u(k)*= (k)s(k), u(k+1)*=0, …, u(n)*=0), где UT* – вектор-строка, соответствующий вектору-столбцу U*, а (k) задается соотношением (4.3.7). Решением ДЗЛП является вектор X* размерности n + 1:

XT* = (x(1)*=0, x(2)*=d(1), x(3)*=d(2), …, x(k+1)*= (k)d(k), x(k+2)*=0, …, x(n+1)*=0).

Можно легко проверить, что для заданных векторов U* и X* выполняется соотношение СTU* = XT*A0, откуда по теореме 4.3.2: U* и X* – оптимальные решения прямой и двойственной ЗЛП, соответственно.

Поскольку коэффициент (k) имеет специальный вид (4.3.7) то, нетрудно видеть, что условие допустимости (4.3.5) выполняется как равенство в виде:

n (1- d (i ))u(i)* = B е i= u(1)* = s(1) u(2)* = s(2) (4.3.8) u(k)* = (k) s(k) < s(k) u(k+1)* = u(n)* = 0, (B B).

Полученное нами решение представлено в параметрической форме, т.е. существует некоторое множество решений, соответствующее различным перестановкам элементов внутри вектора U*, сохраняющим справедливость условий (4.3.8) через выполнение соотношения (4.3.7) для, вообще говоря, различных k. Также следует отметить, что вектор U* может содержать не только k первых, но, вообще говоря, k любых ненулевых элементов, удовлетворяющих условиям (4.3.7) и (4.3.8).

Для того, чтобы получить решение задачи для конкретных значений u(i)*, u(j)*, т.е. определить: какие u(i)* 0, а какие u(j)* = 0, нам необходимо воспользоваться дополнительной информацией, содержащейся в ее условиях. Попытаемся использовать знание соотношений между коэффициентами d(i) для нахождения вектора U** из множества U всех допустимых векторов U*, который и будет решением задачи (4.3.4) при соблюдении условий (4.3.8) в виде:

n (4.3.9) F (D,U )= d (i)u(i)* max i =при условиях n (4.3.10) (1- d(i))u(i) = B, i= u(1)* = s(1) u(2)* = s(2) (4.3.11) u(k)* = (k) s(k) < s(k) u(k+1)* = u(n)* =0, где вектор U* может иметь не только k первых, но, вообще говоря, k любых ненулевых элементов, и удовлетворяет условиям (4.3.8).

Вектор U** будем искать непосредственно в виде (4.3.11), т.е. в виде u(i)** 0, i = 1, k; u(j)** = 0, j = k + 1, n.

Решение.

Упорядочим путем соответствующих перестановок множество D = {d(1), d(2), …, d(n)} так, что d(1) > d(2) > … > d(n) (случай более сложный, и его мы рассматривать не будем). Полученное таким образом множество обозначим буквой D. Множество D является упорядоченным множеством. Для элементов D, очевидно, справедливо: 1 – d(1) < 1 – d(2) < …< 1 – d(n). Выделим из D подмножество D1, k1, состоящее из первых k1 элементов этого множества:

D1, k1 = {d(1), d(2), …, d(k1)} D так, что k(1-d(i)) u(i) = B, (4.3.12) i=где u(i) – i-компонента вектора U*1, k1, который получается из вектора U*, теми же перестановками, что и множество D из множества D и содержит только k1 первых его элементов.

Т.е. если i-элемент множества D переходит в l-элемент подмножества D1, k1, то и i-компонента вектора U* переходит в l-компоненту вектора U*1, k1 (при l k1).

Кроме подмножества D1, k1 и вектора U*1, k1 без потери общности будем рассматривать только упорядоченные подмножества и вектора вида Dj, k(j,r) и U*j, k(j,r). Подмножество Dj, k(j,r) получается из множества D путем выборки из этого множества k(j,r) элементов, начиная с j-го элемента (при выборке допускаются пропуски), с выполнением условия аналогичного условию (4.3.12) в виде:

k j,r ( ) (4.3.13) (1- d(i)) u(i)= B, е i=r – номер выборки, где r {1,…,R( j )}, а R( j ) – общее количество выборок такого вида, начинающихся с j-го элемента множества D. Вектор U*j, k(j,r) получается аналогичным образом.

Теорема 4.3.3.

F(D1, k1; U*1,k) = max F(Dj, k(j,r); U*j, k(j,r)), где r {1,…,R( j )}.

Для доказательства теоремы нам необходимо показать, что kdi(D1,k1)ui (U*1,k1) > е i= (4.3.14) k ( j,r) > di (Dj,k( j,r))ui(U* j,k( j,r)) е i= j r {1,…,R(j)}, где di(, ) = d(i,, ), ui(, ) = u(i,, ), и либо j 1, либо k(j,r) k1.

Рассмотрим два подмножества: D1, k1 D и любое подмножество вида Dj, k ( j,r) D. Допустим, что l элементов этих подмножеств совпадают (для полностью несовпадающих элементов доказательство является более простым).

Произведем перестановку элементов подмножеств D1, k1 и Dj, k ( j,r) следующим образом:

1. В качестве первых l элементов каждого из подмножеств возьмем их совпадающие элементы, расположенные в порядке убывания.

2. На оставшихся, соответственно k1–l для подмножества D1, k1 и k ( j,r)–l для подмножества Dj, k ( j,r), позициях расположим оставшиеся (несовпадающие) элементы этих подмножеств, беря их также в порядке убывания. Вновь образованные подмножества будем обозначать D1, k1 и Dj, k(j,r).

Правило определения номера r задавать не будем.

Для первых l элементов подмножеств Dj, k ( j,r) и D1, kимеет место:

d1 (D1, k1) = d1 (D1, k(1,r)), d2 (D1, k1) = d2 (D1, k(1,r)), …, dl (D1, k1) = dl (D1, k(1,r)).

В качестве примера подмножеств D1, k1 и Dj, k(j,r) рассмотрим следующие подмножества (совпадающие элементы подмножеств подчеркнуты):

D1, k1 (k1=15): 0.59.58.57.56.55.54.53.52.51.50..48.47.46.45, Dj, k( j,r) ( j=5, k(5,r)=13): 0.55.54.53.50.49.48.33..31.30.29.25.Множества D1, k1 и Dj, k( j,r) = D5, k(5,r) соответственно будут иметь вид:

D1, k1: 0.55.54.53.50.49.48.59.58.57.56.52.51..46.45, Dj, k(j,r): 0.55.54.53.50.49.48.33.32.31.30.29..21.

Согласно правилам (1) – (2) произведем также перестановку элементов векторов U*j, k(j,r) и U*1, k1, в результате получим вектора U*j, k(j,r) и U*1, k1, для первых l элементов которых будут иметь место соотношения:

u1(U*1, k1) = u1(U*j, k(j,r)), u2(U*1, k1) = = u2(U*j, k(j,r)), …, ul(U*1, k1) = ul(U*j, k(j,r)).

Далее введем обозначение:

ll di(D1,k1)u(U* 1,k1)= di(D1,k(1,r))u(U* 1,k(1,r))=F1.

ее i i i=1i=Таким образом, для доказательства теоремы нам необходимо показать, что k* F1+ d(D1,k1)u(U1,k1)> е ii i=l +(4.3.15).

k(1,r) * F1+ d(D1,k(1,r))u(U1,k(1, r)) е ii i=l +Или, что то же самое, kd(D1, k1) u(U*1, k1)> е ii (4.3.16) i=l +1.

k 1,r ( ) d(D1, k(1,r)) u(U*1, k(1,r)) е ii i=l +Введем обозначение:

l * (1- d (D1, k1))u(U1, k1)= е ii i =.

l * (1- di(D1, k(1, r)))u(U1, k(1,r)) = Bе i i =Тогда в силу (4.3.12) и (4.3.13):

k* (1-d(D1,k1))u(U1,k1)= е ii (4.3.17) i=l+1.

k(1,r) * (1-d(D1,k(1, r)))u(U1,k(1,r)) =B-Bе ii i=l+После вводных замечаний перейдем непосредственно к доказательству теоремы 4.3.3.

Доказательство.

Разделим левую и правую части неравенства (4.3.16) на (4.3.17), получим:

k* di (D1,k1)ui (U 1,k1) е i=l+> B- B.

k 1,r ( ) * di (D1,k(1,r))ui (U 1,k(1,r)) е i=l+B- BИли, что то же самое, kdi(D1,k1)u(U*1,k1) е i i=l+> k(1- di(D1,k1))u(U*1,k1) е i i=l+(4.3.18).

k(1,r) di(D1,k(1,r))u(U*1,k(1,r)) е i i= l+k(1, r) (1- di(D1,k(1,r)))u(U*1,k(1,r)) е i i=l+Обозначим (4.3.19) d = min{d (l+1), d (l+2),…, d (k)} D1, k1;

(4.3.20) d = max{d (l+1), d (l+2),…, d (k (1,r))} D1, k(1,r).

Очевидно в силу упорядоченности D1, k1 и D1, k (1,r):

d = d (k) D1, k1, а d = d (l+1) D1, k (1,r).

Также очевидно, в силу того, что только l элементов D1, k1 и D1, k (1,r)совпадают, имеет место (4.3.21) d > d, и поскольку в силу условий задачи 0 < di(•) < 1, i: n i 1, и, очевидно, (4.3.22) 1– d = max{1– d (l+1), 1– d (l+2),…, 1–d (k)} = 1– d (k), {d (l+1), d (l+2),…, d (k)} D1, k1, и (4.3.23) 1–d= min{1–d (l+1), 1–d (l+2),…, 1–d (k (1,r))}=1–d (l+1), {d (l+1), d (l+2),…, d (k)} D1, k (1,r), то и (4.3.24) 1–d > 1– d.

Из (4.3.19) и (4.3.22) следует k (D1, k1)ui (U 1,k1) di i= +> k ( 1 - di (D1, k1) )ui (U 1,k1) i= +k d ui (U 1,k1) (4.3.25), i= +> k (1 - d)ui (U 1,k1) i= +а из (4.3.20) и (4.3.23) – k 1,r ( ) du(U*1,k(1,r)) е i i=l+> k 1,r ( ) (1-d ) u(U*1,k(1,r)) е i (4.3.26).

i=l+k(1,r) di(D1,k(1,r)) u(U*1,k(1,r)) е i i=l+k 1,r ( ) (1-di(D1,k(1,r)))u(U*1,k(1,r)) е i i=l+Преобразуем правую часть неравенства (4.3.25):

kdu(U*1,k1) е i i=l+= k(1-d)u(U*1,k1) е i (4.3.27).

i=l+kd u(U*1,k1) е i d i=l+= k(1-d) (1-d) u(U*1,k1) е i i=l+Преобразуем левую часть неравенства (4.3.26):

k(1,r) * du(U 1,k(1,r)) е i i=l+= k(1,r) * (1- d )u(U 1,k(1,r)) е i (4.3.28) 1=l+1.

k(1,r) * d u(U 1,k(1,r)) е i d i=l+= k(1,r) (n-d ) * (1- d ) u(U 1,k(1,r)) е i i=l+Из (4.3.21) и очевидного ограничения 0 < d, d < 1 следует dd (4.3.29) >.

(1- d ) (1- d ) Откуда с учетом (4.3.25) и (4.3.26):

kdi(D1,k1)u(U*1,k1) е i d i=l+>> k(1- d ) (1- di(D1,k1))u(U*1,k1) е i i=l+(4.3.30).

k(1,r) di(D1,k(1,r))u(U*1,k(1,r)) е i d i=l+>> k(1,r) (1- d) (1-di(D1,k(1,r))) u(U*1,k(1,r)) е i i=l+Откуда k* d(D1,k1)u(U1,k1) е ii i=l+k* (1-d(D1,k1))u(U1,k1) е ii i=l+(4.3.31).

k(1,r) * d(D1,k(1,r))u(U1,k(1,r)) е ii i=l+> k(1,r) * (1-d(D1,k(1,r)))u(U1,k(1,r)) е ii i=l+Но поскольку согласно (4.3.17):

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |   ...   | 26 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.