WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 |

i n Соответственно, = Ф - kxi.(30) i n В основе этой процедуры лежит следующее рассуждение. Показатель ri характеризует квалификацию i-го элемента. Чем выше квалификация элемента, тем больший объем работ он выполняет, или выполняет работу за более короткое время или на более высоком уровне качества. Однако в силу того, что такой способ формирования КТУ не учитывает реальный вклад каждого элемента в результаты деятельности всего коллектива, из (30) сразу следует, что рассматриваемая процедура формирования КТУ не побуждает элементы системы повышать эффективность работы.

Естественный и простейший способ определения КТУ и соответственно, вклада i-го элемента в результаты деятельности всего коллектива - пропорционально показателю эффективности xi. В этом случае xi = (31) i n xj j=и xi = Ф - kxi.(32) n i xj j=Отсюда следует, что целевая функция каждого элемента зависит как от показателя эффективности, которого он смог достичь, так и от показателей эффективности, которые были достигнуты остальными элементами системы. Таким образом, исследуемую ситуацию можно рассматривать как игру n лиц с функциями выигрыша вида (32). Эффективность функционирования системы оценивается по суммарному показателю эффективности в ситуации равновесия по Нэшу [13]. Для нахождения значений показателей эффективности xi* в ситуации равновесия по Нэшу необходимо решить систему уравнений n xj - xi j=i = Ф - k = 0. i=1,...,n.

xi n xj j= Отсюда Ф( n - 1) x* =, (33) i knчто означает, что в ситуации равновесия все элементы достигают одинаковых показателей эффективности, и соответственно, n Ф( n - 1) x* = nx* = (34) j kn j=Значение целевой функции i-го элемента определяется выражением Ф =.

i nИз (33) видно, что чем больше премиальный фонд, тем больше показатель эффективности i-го элемента.

Но вполне естественно считать, что начиная с некоторого значения Ф, рост показателя эффективности i-го элемента прекратится, так как вполне естественно предположить, что каждый элемент ограничен своими физическими возможностями. В дальнейшем будем считать, что максимальный показатель эффективности, которого может достигнуть элемент, для всей системы одинаков и обозначается через xmax, то есть xi* xmax.

В работе рассматривается случай Ф - kxmax 0.

n Нетрудно определить минимальный размер премиального фонда Фmin, который будет стимулировать все элементы максимально повышать показатели эффективности работ.

Для однородного коллектива Фmin находится из условия xi*=xmax, откуда n2kxmax Фmin =. (35) (n - 1) Дальнейшее увеличение размера премиального фонда не дает никакого эффекта, поскольку элементы не могут работать выше своих возможностей.

При проведении игрового эксперимента была рассмотрена деятельность подразделений фирмы, состоящей из пяти человек, т.е. n=5.

Пусть Ф=2000; k1=k2=k3=k4=k5=4. Роль участников игрового эксперимента здесь выполняют автоматы. Их параметры:

Из (32) нетрудно определить положение цели i-го автомата. В k-й партии оно определяется выражением n n Ф ~ xik = xk - xk j j k ji ji Теоретико–игровой анализ модели показал, что в ситуации равновесия показатели эффективности игроков равны x1*=x2*=x3*=x4*=x5*=80.

На рис. 19 приведены графики изменения стратегий участников игрового эксперимента. А на рис. 20 график, изменения суммарного значения показателя эффективности.

Из графика на рис. 19 следует, что, аналитические результаты, практически, полностью соответствуют результатам игрового эксперимента.

1-й игрок 2-й игрок 3-й игрок 4-й игрок 5-й игрок 1 4 7 10 13 16 19 22 25 Номер партии Рис. 19.

А график на рис. 20 показывает, что уже к десятой партии суммарное значение показателя эффективности соответствует его значению в ситуации равновесия по Нэшу.

1 4 7 10 13 16 19 22 25 Номер партии Рис. 20.

Показатель эффективности эффективности Сумма значений показателя Теперь ставится вопрос. Возможно ли достигнуть более высоких результатов деятельности в однородном коллективе, не увеличивая фонд премирования Ф Один из подходов к решению этой задачи заключается в следующем. Предположим, что коллектив, состоящий из n элементов, разбит на m подколлективов по nj элементов в каждом, j=1,...,m.

Соответственно, фонд Ф разбит на m подфондов Фj, j=1,...,m. Из (32) следует, что в ситуации равновесия по Нэшу показатель эффективности элемента, входящего в j-й подколлектив, можно записать как ~*j = Фj( nj - 1).

x knj Соответственно, суммарный показатель эффективности работы всего j-го подколлектива равен Фj( nj - 1) nj~j* =.

x knj Наконец, суммарный показатель эффективности всего коллектива определяется выражением m m m Ф 1 xj n ~* =k Ф 1-nj =Ф-1nj.(36) j j k k j=1 j=1 j=j Теперь необходимо рассчитать, какое количество элементов должно находиться в каждой подгруппе, чтобы суммарный показатель эффективности достигал максимального значения. Формально запись этой задачи можно представить в виде m Фj min nj j=. (37) m = n n j j= Решая эту задачу, получаем Фj nj = n.(38) m Фj j=Будем считать, что Фj таковы, что nj -целые числа. Подставляя в (36), выражения для nj из (38), получим значение суммарного показателя эффективности коллектива m m Ф x* Фj.(39).

n ~ = k - nk j j j=1 j= Сравним теперь суммарный показатель эффективности до разбиения однородного коллектива (34) с суммарным показателем эффективности, который получается после разбиения коллектива на m подколлективов (39).

Предположим, что m Ф( n - 1) Ф - Фj, kn k kn j= тогда m 1 Ф n - 1 Ф 1- Фj = kn k n nk j= или m Фj Ф.

j= Равенство имеет место только в случае, когда m=1. Во всех остальных случаях m Фj > Ф.

j= Следовательно, разбиение однородного коллектива не приводит к увеличению суммарного показателя эффективности работ.

Пусть количество элементов изменилось и стало равным (n-1), то есть из коллектива ушел элемент под номером n, а размер премиального фонда остался прежним (не уменьшился). Покажем, каким образом уход из коллектива одного элемента влияет на суммарный показатель эффективности работы коллектива.

Используя выражение (34), определим суммарный показатель эффективности, который выполняет коллектив с количеством элементов (n-1) в ситуации равновесия n-Ф( n - 2 ) x* =.

j k( n - 1) j=Легко показать, что Ф( n - 2 ) Ф( n - 1).

k( n -1) kn Следовательно, сокращение однородного коллектива приводит к уменьшению суммарного показателя эффективности работы.

При этом нетрудно видеть, что показатель эффективности отдельного элемента возрастает.

Наконец, ставится следующая задача. Возможно ли повысить суммарный показатель эффективности однородного коллектива, не увеличивая фонд премирования Ф, но по-другому формируя КТУ элементов Пусть КТУ определяется выражением xi =, где 1.(40) i n x j j=Тогда для нахождения равновесной ситуации по Нэшу имеем n xi -1( x j - xi2 -1 ) j=i = Ф - k = 0, i = 1,...n n xi ( x j ) j=или xi -1 xi2 -1 k - =, i = 1,...n (41).

n n x j ( x j )2 Ф j=1 j=Предположим, что в силу однородности коллектива, в ситуации равновесия по Нэшу показатели эффективности xi* будут у элементов одинаковы. Следовательно, из (41) имеем 1 1 k - = nx* n2x* Ф или n Ф( n - 1) x* = (42) j kn j=соответственно, Ф( n - 1) * xi =.

knСравнивая (34) и (42) можем утверждать, что при 1 в ситуации равновесия по Нэшу x* > x*.

Здесь следует отметить, что все приведенные выше рассуждения справедливы для случая, когда возможности элемента по повышению показателя эффективности не ограничены. Однако вполне естественно предположить, что на физические, умственные, эмоциональные и временные затраты существуют ограничения, обусловленные индивидуальными возможностями каждого элемента. В связи с этим можем считать, что максимальное значение показателя эффективности i-го элемента равно ximаx. И соответственно, выводы, полученные выше, справедливы для случая * xi ximax.

Если для заданного окажется, что x* > ximax, то в этом слуi чае i-й элемент может обеспечить достижение лишь показателя max эффективности xiмax. Отсюда можно найти значение, при котором x* = xmax.

Действительно, из (42) следует, что kxmaxnmax =.

Ф( n - 1) Другое ограничение на значение можно вывести из следующих соображений.

В ситуации равновесия значение целевой функции i-го элемента определяется выражением Ф n - = (1- ) > 0.

i n n Поэтому n.

n - Таким образом, использование процедуры (40) для формирования КТУ i-го элемента позволяет увеличить суммарный показатель эффективности коллектива на величину Ф( n - 1) Ф( n - 1) Ф( n - 1) - = ( - 1).

kn kn kn Соответственно, процент увеличения определяется величиной = - 1 =, n - то есть, если коллектив состоит из 11 человек, максимально суммарный показатель эффективности можно увеличить на 10%.

При решении системы (41) было сделано предположение, что для однородного коллектива в ситуации равновесия показатель эффективности у всех элементов одинаков. Проверим это предположение путем проведения игрового эксперимента.

Условия эксперимента те же, что были в примере, рассмотренном ранее, но КТУ определяется в соответствии с выражением (40) и =1,2. Положение цели автомат находит из решения уравнения -n n Ф ~ ~ xi 2 x j = x j + xi.

k ji ji На рис. 21 представлены графики изменения стратегии автоматов, когда КТУ элементов формировался в соответствии с (40).

1-й игрок 2-й игрок 3-й игрок 4-й игрок 5-й игрок 1 4 7 10 13 16 19 22 25 Номер партии Рис. 21.

Показатель эффективности А на рис. 22 график изменения суммарного значения показателей эффективности автоматов.

1 4 7 10 13 16 19 22 25 Номер партии Рис. 22.

Формальный анализ модели показал, что в ситуации равновесия показатели эффективности автоматов равны:

x1*=x2*=x3*=x4*=x5*=96.

Из графика, изображенного на рис. 21, видно, что автоматы сошлись в ситуацию x1*=94,4; x2*=96,45; x3*=96,28; x4*=96,38; x5*=96,31.

Следует отметить, что значения показателей эффективности в имитационном эксперименте, полученные за двадцать восемь итераций отличаются от показателей эффективности, рассчитанных теоретически, всего на 1,5%.

эффективности Суммарное значение показателя 10.РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕМИИ В НЕОДНОРОДНОМ КОЛЛЕКТИВЕ Для неоднородного коллектива целевая функция i-го элемента записывается в виде = Ф-kixi.

i i Пусть i-го элемента формируется в соответствии с (31). При i этом целевая функция i-го элемента имеет вид xi = Ф - kixi,(43) n i x j j=В каждом периоде функционирования элементы стремятся достичь таких показателей эффективности работы, чтобы увеличить значение своей целевой функции. Нетрудно показать, что для функции вида (43) существует ситуация равновесия по Нэшу.

Решая систему уравнений n xj - xi j=i = Ф - ki = 0, i = 1,...n, xi n x j j= получаем n Ф( n - 1) x* =. (44) j n j=k j j=Отсюда показатель эффективности i-го элемента определяется выражением n k - ki( n - 1) j j=x* = Ф( n - 1), i = 1,...,n (45) i n ( )k j j=При проведении игрового эксперимента также рассматривалась деятельность подразделений фирмы, состоящей из пяти человек, т.е. n=5. Фонд так же не изменился Ф=2000. Роль участников игрового эксперимента выполняли автоматы с те ми же параметрами, что и выше рассмотренном эксперименте. А вот значения коэффициентов затрат поменялись следующим образом: k1=3;

k2=k3=k4=4; k5=5 Положение цели i-го автомата в k-й партии определялось выражением n n Ф ~ xik = xk - xk ki ji j ji j Теоретико–игровой анализ модели показал, что в ситуации равновесия показатели эффективности игроков равны x1*=160; x2*=x3*=x4*=80; x5*=0.

На рис. 23 приведены графики изменения стратегий участников игрового эксперимента. А на рис. 24 график, изменения суммарного значения показателя эффективности.

Из графика на рис. 23 следует, что, аналитические результаты, практически, полностью соответствуют результатам игрового эксперимента.

1-й игрок 2-й игрок 3-й игрок 4-й игрок 5-й игрок 1 4 7 10 13 16 19 22 25 Номер партии Рис. 23.

Из (44) следует, что суммарное значения показателя эффективности коллектива определяется фондом премирования Ф и n суммой коэффициентов затрат. В двух последних экспериk j j=Показатель эффективности ментах и фонд и сумма коэффициентов оставались неизменными, но сами значения ki изменились. Как следствие, суммарное значение показателей эффективности элементов в ситуации равновесия по Нэшу не поменялось, но поменялись равновесные значения показателей эффективности элементов. Это хорошо показал график изменения стратегий на рис. 23.

1 4 7 10 13 16 19 22 25 Номер партии Рис. 24.

А график на рис. 24 показывает, что уже к десятой партии суммарное значение показателя эффективности соответствует его значению в ситуации равновесия по Нэшу. Сравнивая графики на рис. 22 и на рис. 24 можно утверждать, что суммарное значение показателей эффективности изменялось в обоих экспериментах практически одинаково.

Предположим, что коллектив состоит из p-лидеров и (n-p) рядовых элементов.

Пусть kл - коэффициент затрат лидера, kp - коэффициент затрат рядового элемента, соответственно, причем kл kp.

Полагаем, что k1=k2=...=kp=kл и kp+1=kp+2=...=kn=kp. Тогда n p n k = k + k = pk л + ( n - p )k p.

j i j j=1 i=1 j= p+Используя выражение (44), найдем показатель эффективности рядового элемента xp в равновесной ситуации эффективности Сумма значений показателя Ф( n - 1) n - p л x = (46) 1- k pk p + ( n - p )k л p л pk + ( n - p )k Соответственно, показатель эффективности лидера xл определяется выражением Ф( n - 1) n - p xл = (47) 1- k pk p + ( n - p )k л p л pk + ( n - p )k Используя выражение (44), найдем суммарный показатель эффективности коллектива Ф( n - 1) p pxл + ( n - p )x = (48) л p pk + ( n - p )k Если в (31) положить k=kр, то сравнив (46) и (33) нетрудно поp казать, что x < x*, то есть появление в коллективе лидеров (более i квалифицированных) вынуждает рядовых (менее квалифицированных) элементов снижать показатель эффективности работ.

Понятно, что снижение показателя эффективности рядовыми элементами влечет за собой и уменьшение значения их целевой функции. Но, кроме того, если бы показатель эффективности рядовых элементов остался таким же, каким он был до разбиения коллектива на p-лидеров и (n-p) рядовых (то есть не снизился), то значение целевой функции рядовых элементов уменьшилось бы еще больше.

А из (46) получаем, что если количество лидеров в коллективе таково, что p л k k p или p 1+, p л p л k - k k - k то рядовым элементам вообще не выгодно увеличивать показатель эффективности работы.

При этом (47) принимает вид Ф( p - 1) xл =.

p2k Однако при p=1, то есть если в коллективе есть только один лидер, рядовым элементам всегда выгодно увеличивать показатели эффективности работы.

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.