WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |

А вот используя однозначность разложения на простые множители, ничего не стоит доказать в два слова, что если натуральное число m не является k-й степенью никакого натурального числа, то k m — иррациональное число. Попробуйте сделать это! Вы увидите, насколько расширятся ваши возможности при использовании теоремы об однозначности разложения на простые множители — теоремы, упоминание о которой может показаться занудным педантизмом. Так что, с одной стороны, я уже сказал, что за всё приходится платить, но, с другой стороны, платить есть за что.

Говоря о построении математики как систематической науки, хочу отметить, что дедуктивное и систематическое построение — это не одно и то же. В школе арифметика и алгебра излагаются, конечно, систематически, но нет и речи о том, чтобы их выводить дедуктивно из аксиом. А о геометрии по крайней мере объясняют, что её в принципе можно строить дедуктивно, и поясняют это на примерах, так сказать, каких-то фрагментов геометрии.

На самом деле дедуктивно можно построить не только геометрию, но, оставаясь в пределах школьного материала, и алгебру, и арифметику. Я приведу сейчас те аксиомы, на которых основана арифметика — так называемые аксиомы Пеано. Сформулировал их примерно век назад итальянский математик Дж. Пеано. Такая поздняя формулировка аксиом арифметики — своего рода исторический парадокс.

В этих аксиомах речь идёт только о натуральных числах. Множество натуральных чисел обычно обозначают через. Это своего рода стандарт. Обычная латинская буква N может обозначать что угодно, а вот — это обязательно множество натуральных чисел.

Среди натуральных чисел имеется одно особенное, которое выделяется с самого начала, — так называемая единица, обозначаемая через 1. На самом деле это, конечно, та самая единица, которую вы все хорошо знаете, но в данный момент это просто какое-то специальное натуральное число, о котором кое-что будет сказано в аксиомах. Далее, в множестве натуральных чисел имеются различные операции, которые вы знаете: сложение, умножение, а в известных случаях там определено также вычитание и деление. Но если бы мы захотели перечислить в виде аксиом основные свойства этих операций, формулировка получилась бы слишком длинной. Пеано заметил, что можно воспользоваться одной-единственной операцией, с которой вы познакомились ещё раньше, чем научились складывать, — с переходом к следующему числу. Когда ребёнок считает <один, два, три,...>, он как раз называет вслед за одним числом то число, которое за ним следует в ряду натуральных чисел. Освоившись со сложением, вы поняли, что число, следующее за x, —это x+1, и поэтому операция перехода к следующему числу как бы отступила на второй план, став частным случаем сложения. Теперь нам предлагается как бы вернуться в детство и временно забыть о сложении, а считать основной исходной операцией операцию перехода к следующему числу. Конечно, раз пока нет сложения, то нехорошо обозначать число, следующее за x, через x+1. Но как-то его обозначить надо, хотя в детстве мы обходились без всяких обозначений. Обозначим его через x.

Итак, у нас имеется некое множество, называемое <множеством натуральных чисел>, в нём особо выделен некоторый элемент (<единица>) и введена операция (отображение, функция), сопоставляющая каждому x некоторое число x (<число, следующее за x>). При этом выполняются следующие аксиомы:

1. Единица не следует ни за каким натуральным числом, т. е.

при всех x обязательно 1=x.

2. Если x =y, то x=y. Можно сказать, что отображение, при котором каждое x переходит в x, никогда не переводит различные числа в одно.

3. Самая сложная аксиома — аксиома индукции. Пусть M — такое подмножество, что а) 1M (M содержит единицу);

б) если xM, то и x M (вместе с каждым числом M содержит также и следующее за ним число). Тогда M=.

Вот и всё. Гораздо короче и проще, чем аксиомы геометрии. И на такой, казалось бы, скудной основе можно построить всю арифметику! Определить сложение и другие арифметические действия над числами, ввести отрицательные, рациональные, иррациональные и комплексные числа, доказать основные правила действий... Но ясно, что это не может быть сделано в два слова.

Надо пройти путь примерно такой же длины, как в геометрии, пока доберёшься, скажем, до олимпиадных задач. В общеобразовательной школе этого, конечно, нет и никогда не будет.

Тут есть ещё одно обстоятельство, о котором надо сказать.

Арифметика ведь строится не только на базе этих трёх аксиом.

При этом используется логика — как же иначе И используются кое-какие сведения о множествах — множества ведь фигурируют в наших исходных формулировках. Между прочим, и логику, и требуемые сведения о множествах тоже можно изложить аксиоматически, но это будет уже посложнее аксиом Пеано.

ВНУТРЕННИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ Я говорил о построении систематических теорий. Вы знаете две такие теории: геометрию и арифметику вместе с алгеброй (в пределах школьного курса последние две на самом деле составляют единое целое). Но в математике много различных систематически построенных теорий с различными предметами исследования и различной степени общности. Те из вас, которые учатся в спецшколах или спецклассах физико-математического направления, возможно, знают, что алгебра как бы <отсоединяется> от арифметического материала и в таком виде может применяться к совсем иным объектам.

Но если говорить о внутреннем развитии математики, не вызванном её приложениями (по крайней мере, не вызванном непосредственно), то есть и другая сторона дела — решение различных проблем. Вы представляете себе задачи, которые вам предлагают на математических олимпиадах и аналогичных соревнованиях.

На их решение даётся несколько часов, во время которых приходится работать весьма интенсивно. Много лет назад член-корреспондент Академии наук СССР Б. Н. Делоне, выступая перед школьниками на закрытии математической олимпиады, сказал, что творчество учёного-математика отличается от труда участника олимпиады только тем, что для решения олимпиадной задачи требуется примерно час времени, а для решения настоящей глубокой математической проблемы требуется 5 000 часов. Если работать по 12 часов в день, то получится примерно год. Можно работать и больше 12 часов, но долго так не выдержишь. Однако А. Н. Колмогоров, академик и один из самых крупных математиков XX века, в России, возможно, даже самый крупный, говорил, что у него этих 5 000 часов никогда не было. Сперва он говорил всего о трёх сутках, потом увеличил срок до двух недель.

Конечно, у него в эти дни интенсивность была исключительно высокой, и он думал о своей задаче всё время, когда не спал, да, вероятно, какая-то подсознательная работа продолжалась и во сне;

в итоге можно набрать примерно 400 часов (15·24=360), что примерно в 10 раз меньше чем 5 000. А вот не было ли у него продолжительной подсознательной работы в то время, когда он о соответствующей задаче вроде бы не думал, т. е. сознательно ею не занимался Но, насколько я представляю себе Колмогорова, столько часов, сколько полагается по Делоне, всё равно не получится. Между тем Колмогоров как раз выделялся числом решённых им крупных научных задач.

С другой стороны, полученное недавно доказательство знаменитой гипотезы Ферма 350-летней давности*) потребовало намного больше 5 000 часов. Окончательное решение было получено Э. Уайлсом, и у него это, действительно, заняло порядка 5 000 часов, но ведь он завершал работу ряда других людей, и с учётом затраты их времени получится едва ли менее 50 000 часов. Но это, конечно, крайний случай.

Есть и ещё одно существенное отличие научных задач от олимпиадных. Олимпиадные задачи должны решаться на основе тех знаний, той систематической теории, которые имеются у учеников соответствующего возраста. Решение научной задачи может требовать новых знаний, которых в данный момент ни у кого нет.

В ходе её решения придётся разработать какую-то новую теорию, которая затем может пригодиться и для других целей.

Таким образом, развитие математики связано с тремя факторами: её приложениями (не обязательно в смысле удовлетворения сиюминутных практических потребностей, но также и в смысле использования математики в других науках); решением научных проблем; систематической разработкой новых теорий. Вы, вероятно, знаете, что уже 100 лет регулярно проводятся Международные *) Вероятно, её формулировка вам известна, но я всё-таки напомню: гипотеза состоит в том, что при n>2 уравнение xn+yn=zn не имеет решений в натуральных числах, т. е. что ни для каких трёх натуральных чисел x, y, z последнее равенство не выполняется. Ферма сформулировал это утверждение не как гипотезу, а как известный ему факт; он это сделал в замечании на полях книги древнегреческого математика Диофанта, добавив, что на полях слишком мало места для доказательства. Поэтому данная гипотеза получила название <Великая теорема Ферма>, хотя теперь едва ли кто-нибудь верит, что у Ферма действительно было полное доказательство.

математические конгрессы. Так вот, при самом их начале, на первом и втором конгрессах, состоялись доклады крупнейших математиков того времени — А. Пуанкаре и Д. Гильберта, — посвящённые двум первым компонентам развития математики — вопросам, связанным с физикой (в то время значение других приложений для развития самой математики было значительно меньше, чем значение физики, да и сейчас она в этом отношении лидирует, хотя и не в такой степени), и проблемам, возникающим в самой математике. Докладов о третьей компоненте — развитии теорий, насколько я знаю, не было ни тогда, ни позднее. Быть может, потому, что не нашлось третьего математика такого ранга, как Пуанкаре и Гильберт, или потому, что наличие этой третьей компоненты очевидно Несколько слов в связи с докладом Гильберта. Сперва исторический нюанс: он был как бы спровоцирован докладом Пуанкаре;

Гильберт захотел показать, что важнейшие стимулы для развития математики имеются внутри её самой. Но, работая над докладом, он несколько поостыл — ведь, в конце концов, Пуанкаре вовсе не утверждал, будто новые задачи возникают только из физики, не говоря уже о том, что заподозрить Пуанкаре в таком одностороннем взгляде было бы нелепо, его творческая деятельность убедительно демонстрировала иное. Никакой полемики с Пуанкаре не произошло.

Доклад Гильберта содержит сравнительно небольшую первую часть, где Гильберт в общих чертах говорил о значении конкретных проблем для развития математики, и наиболее знаменитую вторую часть, где он привёл ряд таких проблем с небольшими комментариями. Переходя к формулировке конкретных проблем, Гильберт сказал: <Разрешите мне в дальнейшем, как бы на пробу, назвать несколько определённых проблем из различных математических дисциплин, проблем, исследование которых может значительно стимулировать дальнейшее развитие науки>. А заканчивая, он сказал, что <названные проблемы — это только образцы проблем>. Он не претендовал на составление всеобъемлющего списка проблем, которые можно было бы указать в то время. В основном он говорил о вопросах, которые были близки к его собственным научным интересам, так что он мог оценить их важность и сделать по их поводу содержательные замечания. Но благодаря свойственной Гильберту широте научных интересов его проблемы затрагивали значительную часть математики. В нескольких случаях Гильберт напоминал о проблемах, поставленных ранее другими людьми, но, например, о проблемах, сформулированных Пуанкаре в далёких от Гильберта разделах математики, он не говорил. Это понятно:

Пуанкаре был жив и здоров, он мог сам формулировать и комментировать свои проблемы, да, собственно, он это и делал, только эти его проблемы и замечания разбросаны по его работам, а вместе он их не собирал. Но гильбертовские <образцы> оказались удивительно удачными. Они оказали большое стимулирующее влияние на развитие математики в XX веке.

Надо оговориться, что некоторые из проблем Гильберта относились скорее к разработке систематических теорий, они звучали примерно так: <Исследовать такие-то вопросы с такой-то точки зрения>. Но большинство проблем — это были вполне конкретные вопросы, на которые требовалось ответить <да> или <нет>. Как правило, если бы вы от какого-нибудь оракула узнали правильный ответ, большой пользы от этого не было бы, но для того, чтобы получить ответ своими силами, без подсказки оракула, потребовалось придумать много нового и интересного. Об этом я, конечно, не могу здесь говорить, прошу поверить на слово. Я приведу толь ко один пример конкретной проблемы: является ли число рациональным или иррациональным На самом деле соответствующая проблема (7-я проблема Гильберта) была поставлена в общем виде*), но сам Гильберт считал вопрос о 2, так сказать, наиболее показательным. Когда ему случалось упоминать впоследствии о 7-й проблеме, он обычно спрашивал именно о 2.

Повторяю, что Гильберт очень удачно выбрал свои <образцы>, нисколько не ошибившись в оценке их важности. А вот в оценке их сравнительной сложности он иногда существенно ошибался.

Здесь стоит сказать, как он оценивал сложность трёх проблем, свя занных с теорией чисел. Речь будет идти об иррациональности и вообще о 7-й проблеме, гипотезе Ферма (она в список проблем Гильберта не попала, скорее всего потому, что о ней все и так помнили, но он упоминал её во вступительной части) и о гипотезе Римана, которую я даже не буду формулировать (она составляет основную часть 8-й проблемы Гильберта). В его биографии сообщается, что позднее Гильберт однажды так оценил их относительную трудность. Гипотеза Римана будет доказана ещё при его жизни (а он был уже не молод). Доживёт ли сам Гильберт до доказательства теоремы Ферма, по меньшей мере сомнительно, но самые молодые из присутствующих доживут. Но даже им не суждено узнать, как выяснится вопрос о 2.

Вышло всё наоборот. Иррациональность 2 была доказана ещё за 14 лет до смерти Гильберта, в 1930 году. Это сделал Р. О. Кузьмин, *) Приведу необходимые пояснения. Алгебраическим называется число, являющееся корнем алгебраического уравнения a xn+...+a1x+a0=0 с целыми коэфn фициентами ai. Алгебраическое число может быть как рациональным, так и иррациональным. Иррациональное число, не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным. О существовании трансцендентных чисел подозревали ещё в XVIII веке, но первое трансцендентное число указал Ж. Лиувилль в 1844 году. В 1873 году Ш. Эрмит доказал трансцендентность играющего большую роль в анализе числа e, а в 1882 году Ф. Линдеман, развивая метод Эрмита, установил трансцендентность ещё более знаменитого числа. На какое-то время на этом успехи прекратились. 7-я проблема Гильберта гласила: пусть a — алгебраическое число, отличное от 0 и 1, b — алгебраическое иррациональное число; не будет ли число ab трансцендентным Должен добавить (но объяснять этого уже не буду), что числа a, b здесь могут быть комплексными.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.