WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА И ПИФАГОРОВЫ ТРОЙКИ Пусть a, b — катеты прямоугольного треугольника, c — его гипотенуза. Построим квадрат ABCD со стороной a+b и возьмём на его сторонах AB, BC, CD, DA такие точки E, F, G, H соответственно, что AE=BF=CG=DH=a (рис. 1). Иными словами, от каждой из вершин A, B, C, D откладывается по отрезку длины a в направлении к следующей вершине; <следующей> значит <следующей в порядке ABCDA>. Наш квадрат разбивается на четырёхугольник EFGH и четыре прямоугольных треугольника EBF, FCG, GDH, HAE. У каждого из треугольников b G a D C один катет равен a, а другой — b. Значит, все эти треугольники равны, так что, в частности, a AEH=BFE. Гипотенуза равна c, а площадь c H c b треугольника есть ab. У четырёхугольника c b F EFGH длина каждой стороны равна c, так что c a это ромб. Кроме того, все его углы прямые.

a AB E b *) Греческое слово <гарпедонавт> означает <натягивающий верёвку>. Рис. Например, HEF=AEB-BEF-AEH=180-BEF-BFE= =EBF=90. Итак, EFGH — квадрат со стороной c, так что его площадь равна c2. Но сумма его площади и площадей четырёх треугольников равна площади исходного большого квадрата, т. е. c2+4· ab=(a+b)2. Левая часть равна c2+2ab, а правая — a2+2ab+b2, откуда и видно, что c2=a2+b2. Мы использовали алгебраическую символику, которой в Вавилоне не было, но вавилонские математики умели проделывать всё, что здесь требуется, иначе, хотя это и было более громоздко.

Это самое простое и легко запоминающееся доказательство теоремы Пифагора, какое я видел. Теперь его часто используют в школе. Но если вы посмотрите учебники, которые были приняты как основные в течение длительного времени, то вы там его не найдёте. Почему Неужели их авторы, люди вполне сведущие и умные, не знали этого рассуждения, известного уже несколько тысяч лет, или не понимали, что оно понятнее, проще, лучше запоминается, чем другие Позднее я скажу, в чём, по-моему, здесь дело.

С теоремой Пифагора связана арифметическая задача. Имеются такие тройки натуральных (т. е. целых положительных) чисел x, y, z, ч то x2+y2=z2. (1) Их называют пифагоровыми тройками. Например, годятся числа x=3, y=4, z=5: 9+16=25. Это пример. А можно ли указать все пифагоровы тройки (x, y, z) Иными словами, можно ли найти все решения уравнения x2+y2=z2 в натуральных числах (В связи с терминологией обратите внимание, что решение — это не одно число, а три.) Да. Ответ таков: каждое такое решение можно представить в виде x=l(m2-n2), y=2lmn, z=l(m2+n2), (2) где l, m, n — натуральные числа, причём m>n, или в аналогичном виде, в котором x и y меняются местами. Можно чуть короче сказать, что x, y, z из (2) со всевозможными натуральными l и m>n суть все возможные решения (1) с точностью до перестановки x и y. Например, тройка (3, 4, 5) получается при l=1, m=2, n=1.

То, что при любых натуральных l, m, n с m>n тройка (x, y, z), определяемая согласно (2), является решением (1), можно проверить непосредственно путём простого вычисления, и я на этом останавливаться не буду. Интересно другое: почему любое решение обязательно имеет вид (2) Об этом я и буду говорить. На самом деле, как это часто бывает, <прокручивая в обратную сторону> мои рассуждения, тоже можно доказать, что любая тройка вида (2) является решением, но на этом я тоже не буду останавливаться.

Что при перестановке x и y снова получается решение — об этом и говорить нечего.

По-видимому, вавилоняне знали этот ответ, но как они к нему пришли — неизвестно. (Впрочем, не ясно, знали ли они, что все решения (1) представимы в виде (2), да и задавались ли они таким вопросом. Имеется правдоподобная, хотя и гипотетическая, реконструкция их рассуждений, в которой этим вопросом не задаются, а ищут способ как-нибудь получить побольше решений.) Как его позднее доказывали древние греки — известно; по существу, их доказательство в модернизированном виде (с явным использованием алгебры) воспроизводится во многих книгах, и, вероятно, многие из вас его знают. А я хочу рассказать несколько более простое доказательство, которое я узнал в свои студенческие годы от моего однокурсника Юры Манина. Ныне Юрий Иванович Манин — член-корреспондент Российской академии наук, лауреат Ленинской премии, один из директоров международного Математического института им. Макса Планка в Бонне. Ни одного из этих высоких титулов вроде бы не нужно, чтобы придумать то простое рассуждение, которое я сейчас расскажу; в истории неоднократно бывало, что любители придумывали куда более затейливые вещи.

Тем не менее, я нигде в литературе не встречал этого рассуждения.

Впрочем, не могу поручиться, что его нигде нет или что никто, кроме Манина, такого доказательства не мог придумать. Так что не исключено, что кто-нибудь из вас это рассуждение знает. Но уж точно, что таких среди вас не может быть много — рассуждение если и является известным, то не общеизвестным.

Сперва несколько простых замечаний, которые предшествуют и обычному доказательству. Если x, y и z имеют общий делитель k>1, скажем x=ku, y=kv, z=kw, где u, v, w — натуральные числа, то ясно, что тройка (u, v, w) снова является решением (1).

Обратно, если мы знаем какое-то решение (x, y, z), то, умножив эти три числа на какое-нибудь натуральное k, мы снова получим решение. Поэтому можно ограничиться разысканием решений, не имеющих общего делителя. В данный момент речь идёт об общем делителе всех трёх чисел. Но если бы у двух из этих чисел, скажем у x и y, был общий делитель, то тот же делитель был бы и у третьего. Поэтому мы можем ограничиться разысканием решений, в которых любые два числа (x и y, x и z, y и z) не имеют общих делителей, больших 1. Это выражают словами: рассматриваемые числа x, y, z попарно взаимно просты.

При l=1 числа x, y, z в (2) не взаимно просты: они имеют общий делитель l. Так что если мы интересуемся только взаимно простыми x, y, z, то для них в (2) должно быть l=1, и утверждение, которое мы хотим доказать, несколько упрощается:

натуральные решения (x, y, z) уравнения (1) с взаимно простыми x, y, z с точностью до перестановки x и y представимы в виде x=m2-n2, y=2mn, z=m2+n2, (3) где m, n — натуральные числа и m>n. Заметьте, что я вовсе не утверждаю обратного: что любые (x, y, z), получающиеся согласно (3) с натуральными m>n, являются решением (1) и попарно взаимно просты. Решением эта тройка будет, но числа x, y, z не обязательно получатся взаимно простыми. Ведь если у m и n есть общий делитель, то он войдёт (даже с квадратом) и в x, и в y, и в z.

Так что если бы я хотел настаивать на обратном утверждении, что любые (x, y, z), получающиеся согласно (3) с натуральными m>n, будут решением (1) с попарно взаимно простыми x, y, z, то я, самое меньшее, должен был бы уточнить: с взаимно простыми m и n. А было бы такого уточнения достаточно Оказывается, нет (вначале, должен сознаться, я было подумал, что да, но меня поправили). Ведь если m и n оба нечётные, то x получится чётным, а y в (3) всегда чётное. Но если одно из чисел m, n чётное, а другое нечётное, то x получится нечётным, и общим с y у него мог бы быть только нечётный делитель. Тогда у x и y имеется и нечётный простой делитель p. Раз 2mn делится на p, то m или n делится на p, а тогда, раз m2-n2 тоже делится на p, то и второе из чисел m, n делится на p, т. е. m и n не взаимно просты, а мы уже решили, что будем брать только взаимно простые m, n. Но главное, что этого нам сейчас не нужно. Нам надо только установить, что решение (1) с взаимно простыми натуральными x, y, z обязательно представимо в виде (3) с какими-то m, n, а что при каких-то других m, n могут получиться решения с не взаимно простыми x, y, z — это нас сейчас не касается.

Другое замечание состоит в том, что когда мы ограничиваемся решениями с попарно взаимно простыми x, y, z, то одно из ч исел x и y должно быть чётным, а другое — нечётным; z при этом, конечно, нечётно. Действительно, если x и y оба чётные, то они не взаимно просты, а имеют общий делитель 2. Если же они оба нечётны, то мы можем написать, что x=2r-1, y=2s-1 с некоторыми натуральными r, s. Отсюда z2=(2r-1)2+(2s-1)2=4(r2-r+s2-s)+2.

Получается, что z2 делится на 2, но не делится на 4. Но это невозможно: если z нечётно, то z2 и на 2 не делится, а если z чётно, то z2 делится на 4.

Раз одно из чисел x и y чётно, а другое нечётно, то можно считать, что нечётно x, а чётно y, — в противном случае мы просто изменим обозначения. Вот теперь начинается главное. Перепишем (1) так:

2 z y2=z2-x2, = y - x y z x или, обозначая через u и через v, в виде u2-v2=1, т. е.

y y (u+v)(u-v)=1. u и v суть частные двух натуральных чисел, т. е. положительные рациональные числа (дроби). u+v тоже рациональное число, причём положительное. Любое такое число m представляется в виде несократимой дроби ; здесь m и n —натуn ральные числа, причём взаимно простые (раз дробь несократимая).

m n Аесли (u-v)=1, то u-v=. Итак, n m m u+v=, n (4) n u-v=, m где m, n — взаимно простые натуральные числа. Рассматривая (4) как линейную систему уравнений относительно u, v, решим её, для чего достаточно сложить эти два уравнения, откуда получится 2u, и вычесть второе из первого, откуда получится 2v:

z m2 +n2 x m2-n=u=, =v=. (5) y 2mn y 2mn Отсюда видно, кстати, что m>n.

z x Мы знаем, что и — несократимые дроби. Если бы мы y y m2-nзнали, что дробь тоже несократимая, то из (5) сразу следо2mn вали бы соотношения (3). Но пока что мы этого не знаем; однако z x о дробях, мы знаем, что они несократимые. Поэтому из (5) мы y y вправе сделать заключение, несколько более слабое, чем (3): существует такое натуральное k, ч то m2+n2=kz, 2mn=ky, m2-n2=kx. (6) Допустим, что k имеет нечётный простой делитель p. Тогда 2mn делится на p, а раз это нечётное простое число, то m или n делится на p. Но тогда и одно из слагаемых в левой части равенства m2+n2=kz, и его правая часть делятся на p; выходит, что и второе слагаемое в левой части тоже делится на p. Получается, что и m, и n делятся на p, хотя они взаимно просты. Итак, у k нет нечётных простых делителей, так что k есть степень двойки. Вспомним, что y — чётное число, y=2w. Получается, что 2mn=2kw, mn=kw, и если k — степень двойки (с ненулевым показателем), то число mn чётное. Тогда хотя бы одно из чисел m, n — чётное. Но из m2+n2=kz следует, что m2+n2 — чётное число, и если вдобавок одно из чисел m или n — чётное, то и другое должно быть чётным.

Снова у m и n нашёлся общий делитель. Остаётся признать, что k=1, а это и означает (3).

О ДЕДУКТИВНОМ ПОСТРОЕНИИ МАТЕМАТИКИ На этом мы расстанемся с Древним Вавилоном и перенесёмся мысленно в Древнюю Грецию, где, как уже говорилось, протонаука превратилась (или, лучше сказать, окончательно превратилась) в науку. Это произошло не только с математикой, но и с философией, астрономией, географией, биологией; отчасти это начало происходить с некоторыми частями физики (со статикой и акустикой). Судя по всему, рано или поздно это всё равно произошло бы (доказательством служит Китай), но тому, что это произошло именно в Греции, как полагают, способствовали некоторые особенности греческого общества. В Греции впервые в истории получили общественное одобрение все виды творчества, продуктивной духовной деятельности, в том числе и лишённые непосредственного утилитарного значения. Общественная и культурная обстановка была такова, что широкую известность получали авторы даже тех открытий, которые не имели практической ценности. Греческому обществу был присущ дух соревновательности, причём главным признавалась победа, дававшая славу, тогда как материальных благ с ней могло и не связываться, и в любом случае они не были главным. Такое положение сложилось в греческом спорте — все знают об Олимпиадах, но на самом деле было много соревнований, регулярно проводившихся на различных уровнях, от общегреческого до сугубо местного. Затем это в тех или иных формах распространилось на интеллектуальное творчество — на искусство (особенно на литературу и музыку), позднее на философию и науку.

Такое отношение создавало стимулы для поисков в самых различных направлениях интеллектуального творчества. В математике быстро стало ясно, что добиться общепризнанных и неопровержимых результатов здесь можно, лишь применяя строго логические рассуждения. Люди, чувствовавшие расположение к такой деятельности, испытывали при этом особого рода интеллектуальное наслаждение, причём это, конечно, было так же и на Древнем Востоке, но в Греции дедуктивное построение математической теории приобрело статус респектабельного занятия, а раньше все эти дедукции были личным делом писца и, конечно, никем не систематизировались (в отличие от результатов). Нет сомнений, что по крайней мере в Вавилоне проводились какие-то нетривиальные математические рассуждения, но систематическое дедуктивное изложение геометрии (к которой у греков в основном сводилась вся тогдашняя теоретическая математика) — достижение греков.

Плодами многовековой работы, в результате которой вся математика, а не только геометрия, приобрела систематический характер, мы пользуемся на каждом шагу, не замечая. Алгебра и буквенные обозначения в ней — это достижение уже не греков, а отчасти арабов, отчасти европейцев периода перехода от средних веков к новым. Мы на каждом шагу используем, что от перестановки слагаемых сумма не меняется и другие законы арифметических и алгебраических действий. Но ведь это надо было осознать и отчётливо сформулировать, чтобы потом это, так сказать, вошло в нашу плоть и кровь.

В школе более или менее дедуктивно, опираясь на аксиомы, строится геометрия. Но, к сожалению, при дедуктивном построении науки, прежде чем вы доберётесь до действительно содержательных и заранее не очевидных утверждений вроде хотя бы той же теоремы Пифагора, приходится довольно долго возиться с различными простыми фактами вроде того, что диаметр делит круг пополам или углы при основании равнобедренного треугольника равны. Оба эти утверждения приписывают, обоснованно или нет, Фалесу — греческому мудрецу, по преданию первым начавшему разрабатывать дедуктивную трактовку геометрии. С чисто практической точки зрения — ничего себе мудрец: даже ребёнок дошкольного возраста, когда делит яблоко пополам, режет его через центр, т. е.

он понимает, чувствует, догадывается, что экваториальная плоскость делит шар пополам, — это посложнее деления круга! Но дело в том, что и такие вещи надо доказывать. За всё надо платить.

Спустя две тысячи лет один молодой человек, скорее даже юноша, читал <Начала> Евклида. Он читал формулировку теоремы, на секунду задумывался, представляя себе, о чём идёт речь, ему становилось ясно, что она верна, и он, не читая доказательства, переходил к следующему утверждению. Паренёк не понимал сути дедуктивного построения геометрии и зачем оно нужно. Что ж, он был не первым и не последним в этом отношении. Только это был Ньютон.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.