WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 ||

17 Введём обозначения: z1=+-1, z2= =4+-4, 1=2+-2, 2=8+-8, y1= =z1+z2, y3=z1z2, y2=1+2, y4=12, x1= Рис. =y1+y2, x2=y3+y4. Заметим, что все эти числа действительные. В самом деле, -2k 2k 2k + cos +i sin -2k cos 2k = k+-k= cos +i sin.

17 17 17 17 Поскольку z1=2 cos, нам достаточно построить отрезок длины z1.

5.3. Лемма. k=17+k при целых k.

Доказательство леммы. Действительно, 2(17+k) 2(17+k) 17+k=cos +i sin = 17 2+ 2k sin 2k 2k +i sin 2k +i 2+ =cos =cos =k.

17 17 17 5.4. Лемма. k=0.

k=Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы. По формуле суммы геометрической прогрессии (которая, конечно, верна и для комплексных 17-чисел) получаем: k= =0.

-k=Следствие. k=-1.

k=Доказательство следствия.

16 k= k -0=0-1=-1.

k=k=Следствие. (k+-k)=-1.

k=5.5. Лемма. y1y2=y3y4=-1.

До ка з а т е л ь с т в о л е ммы. y1y2=(+-1 +4+-4) (2 +-2+8 +-8)=3+-1+9 +-7+1 +-3 +7+-9 +6 + +2+12+-4+-2+-6+4+-12= (k+-k)=-1.

k=Таким же образом доказывается, что y3y4=-1.

/ 5.6. Лемма. x1+x2=-1, x1x2=-4.

5.7. Напомним, что если заданы отрезки длины 1, |p|, и |q|, то циркулем и линейкой можно построить отрезки, длины которых равны абсолютной величине корней квадратного уравнения x2+px+q=0 (если корни этого уравнения действительны).

Поскольку x1+x2=-1, x1x2=-4, то по теореме Виета xи x2 — корни уравнения x2+x-4=0, а значит, мы можем построить отрезки длины |x1| и |x2|.

Теперь, так как y1+y2=x1 и y1y2=-1, можно построить отрезки длины |y1| и |y2|. Из равенств y3+y4=x2 и y3y4=-1 получаем отрезки длины |y3| и |y4|. И наконец, используя равенства z1+z2=y1 и z1z2=y3, мы можем построить отрезок длины z1, а следовательно, и правильный семнадцатиугольник.

Воспользовавшись этим рассуждением, можно получить следующее выражение для cos :

2 -1+17+ 34-217+ cos = 17 + 68+12 17-16 34+2 17-2(1- 17) 34-2 17.

Впоследствии было доказано, что правильный n-угольник можно построить циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда n=2lF1F2·...·Fk, где все Fi — простые числа вида 22s +1 (числа Ферма). У Ферма было подозрение, что все числа вида 22s+1 — простые. Эйлер опроверг это утверждение, указав, что число 225 +1= =4 294 967 297 имеет простым делителем 641. В наш компьютерный век стало возможным исследовать на простоту достаточно большие числа, но пока ни одного простого числа Ферма, кроме 3, 5, 17, 257 и 65 537, не найдено.

ЛИТЕРАТУРА [1] Ф. К л е й н. Лекции о развитии математики в XIX столетии. — М.: Наука, 1989.

[2] В. М. Т и х о м и р о в. Теорема Ферма—Эйлера о двух квадратах // Квант. 1991. № 10.

[3] К. Чандрасекхаран. Введение в аналитическую теорию чисел. — М.: Мир, 1974.

[4] Л. Г. Ш н и р е л ь м а н. Простые числа. — М.: ГИТТЛ, 1940.

Pages:     | 1 | 2 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.