WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 |
Библиотека <Математическое просвещение> Выпуск 1 В. М. Тихомиров ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ ПРОШЛОГО И ИХ ВЕЛИКИЕ ТЕОРЕМЫ Издание второе, исправленное = + Издательство Московского центра непрерывного математического образования Москва • 2003 УДК 51(09) ББК 22.1 Т46 Аннотация В брошюре доказываются замечательные теоремы великих математиков прошлого — Архимеда (теорема об объёме шара), Ферма (теорема о представлении простых чисел в виде суммы двух квадратов натуральных чисел), Эйлера (равенство ei=-1), Лагранжа (теорема о представлении любого натурального числа в виде суммы четырёх квадратов целых чисел) и Гаусса (теорема о построении циркулем и линейкой правильного семнадцатиугольника).

Текст брошюры представляет собой обработку записи лекции, прочитанной автором 30 октября 1999 года на Малом мехмате для школьников 9—11 классов (запись Е. Н. Осьмовой, обработка Р. М. Кузнеца).

Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, учителей.

Первое издание — ноябрь 1999 года.

Издание осуществлено при поддержке Департамента образования г. Москвы и Московской городской Думы.

ISBN 5-94057-110-7 © Тихомиров В. М., 2003.

© МЦНМО, 2003.

Владимир Михайлович Тихомиров.

Великие математики прошлого и их великие теоремы.

2-е изд., испр.

(Серия: <Библиотека,,Математическое просвещение“>. Вып. 1).

М.: МЦНМО, 2003. — 16 с.: ил.

Редактор Ю. Л. Притыкин.Техн. редактор М. Ю. Панов.

Лицензия ИД № 01335 от 24/III 2000 года. Подписано к печати 8/VIII 2003 года.

Формат бумаги 60881/16. Офсетная бумага № 1. Офсетная печать. Физ. печ. л. 1,00.

Усл. печ. л. 0,98. Уч.-изд. л. 1,08. Тираж 3000 экз. Заказ 3041.

Издательство Московского центра непрерывного математического образования.

121002, Москва, Г-2, Бол. Власьевский пер., 11. Тел. 241 05 00.

Отпечатано с готовых диапозитивов в ФГУП <Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ>.

140010, г. Люберцы Московской обл., Октябрьский пр-т, 403. Тел. 554 21 86.

Для этой брошюры из творчества величайших среди великих — Архимеда, Ферма, Эйлера, Лагранжа и Гаусса — я отобрал или те из их высших достижений, которыми они больше всего гордились сами, или же те, благодаря которым они более всего прославились в научном мире. Я постараюсь доказать эти великие теоремы. Какую цель я этим преследую Отвечу так: я хотел бы вдохновить вас, своих читателей, на бесстрашие. И пусть каждый, поняв замыслы Богов нашей науки, придя в восхищение от глубины этих замыслов, войдёт в храм науки без робости, не с сознанием своего ничтожества, но с жаждой дерзания.

АРХИМЕД И ЕГО ФОРМУЛА ДЛЯ ОБЪЁМА ШАРА Я вдруг обнаружил маленькую колонну, вершина которой поднималась из зарослей. На ней были изображены шар и цилиндр, которые я искал. Я тотчас же сказал сопровождавшим меня, что перед нами, несомненно, могильный памятник Архимеда.

Цицерон Архимед (ок. 287—212 до н. э.) — величайший учёный Древнего мира. Имя его овеяно легендами. Мы восклицаем: <Эврика!>, — выражая, как Архимед, восторг по поводу своей удачи. Каждый знает, что он может перевернуть весь Мир, если только найдётся надёжная точка опоры. У каждого перед глазами сцена: убийца с обнажённым мечом и сидящий старец, восклицающий: <Не трогай моих чертежей!>.

Архимед общепризнанно считается одним из величайших гениев в истории человечества. Его вклад в математику огромен.

Именно он придумал формулу для определения площади треугольника по его сторонам (она известна нам как формула Герона).

Не кто иной, как Архимед, первый дерзнул исчислить размеры окружающего нас Мира. Он определил границы для числа, доказав, что 310 <<31.

71 Вплотную он подошёл к понятию определённого интеграла, опередив человечество почти на два тысячелетия. Ему первому принадлежат точные формулировки законов природы, сохранившиеся в неприкосновенности на все времена. Но более всего он гордился найденной им формулой объёма шара, и в память об этом потомки изобразили шар и цилиндр на его могильном камне.

Докажем же, следуя идеям Архимеда, тот результат, который доставил ему высшую творческую радость.

Теорема 1. Объём шара радиуса 1 равен.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Мы будем опираться на следующие две формулы стереометрии: объём цилиндра с радиусом основания R и высотой H равен R2H и объём конуса с радиусом основания R и высотой H равен R2H. Эта последняя формула также принадлежит Архимеду.

А теперь перейдём к доказательству. Я надеюсь, вы ещё не забыли детских игрушек, которые называют пирамидками. Вот как они устроены: имеется подставка с вертикальной палочкой и набор колечек разного размера. Надо нанизать эти колечки на палочку так, чтобы размеры колечек увеличивались по мере приближения к подставке. Тогда получится фигура, похожая на конус.

Рис. Доказательство теоремы Архимеда (по Архимеду) очень легко понять с помощью подобных игрушек. Только надо сделать не одну — коническую, а три разных — цилиндрическую (когда колечки будут иметь радиус 1, сами будут тоненькими-претоненькими, а если собрать их все вместе, то они образуют цилиндр высоты 1), коническую (из таких же тоненьких колечек, но разных радиусов, из которых можно собрать <почти> конус высоты и радиуса основания, равных 1), и <полушаровую> (опять-таки из таких же тоненьких колечек, из которых можно собрать <почти> полушар радиуса 1). При этом все колечки должны быть сделаны из одинакового материала.

А теперь, вслед за Архимедом, возьмём аптекарские весы с плоскими чашами и поставим на одну чашу собранную из колечек игрушку-цилиндр, а на другую — конус и полушар, причём конус поставим основанием на чашу весов, а полушар — <на голову>, чтобы плоское основание полушара было сверху и расположено горизонтально (рис. 1).

Пусть высоты колечек одинаковы и равны, где — очень малое число. Подсчитаем, каков объём колечек, находящихся на одной и той же высоте h. У цилиндрического колечка этот объём равен, у конического (1-h)2, а у <полушарного> (а как ещё сказать) (1-(1-h)2) (ибо радиус колечка у конуса равен.

1-h, а у полушара, по теореме Пифагора, он равен 1-(1-h)Суммарный объём на каждой из чаш весов оказался одинаковым.

Но если очень мало, то коническая игрушка будет почти неотличима от конуса, полушаровая — от полушара, а цилиндрическая — всегда цилиндр.

В пределе получаем, что объём полушара радиуса 1 равен объёму цилиндра с радиусом основания и высотой, равными 1, минус объём конуса с радиусом основания и высотой, также равными 1.

Откуда и следует теорема 1.

ТЕОРЕМА ФЕРМА—ЭЙЛЕРА О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ В ВИДЕ СУММЫ ДВУХ КВАДРАТОВ Быть может, потомство будет признательно мне за то, что я показал ему, что Древние знали не всё.

Пьер Ферма Лишь один математик удостоился того, что имя его стало нарицательным. Если произносится слово <ферматист>, значит, речь идёт о человеке, одержимом до безумия какой-то несбыточной идеей.

Но это слово ни в какой мере не может быть отнесено к самому Пьеру Ферма (1601—1665), одному из самых светлых умов Франции.

Ферма — человек удивительной судьбы: один из величайших математиков всех времён, он не был, в современной терминологии, <профессиональным> математиком. По профессии Ферма был юристом. Он получил великолепное гуманитарное образование и был выдающимся знатоком искусства и литературы. Всю жизнь он проработал на государственной службе, последние 17 лет был советником местного парламента в Тулузе.

К математике его влекла бескорыстная и возвышенная любовь (это иногда случается с людьми), и именно эта наука дала ему всё, что может дать человеку любовь: упоение красотой, наслаждение и счастье. В те годы не было ещё математических журналов, и Ферма почти ничего не напечатал при жизни. Но он много переписывался со своими современниками, и посредством этой переписки некоторые его достижения становились известными. Пьеру Ферма повезло с детьми: сын обработал архив отца и издал его.

<Я доказал много исключительно красивых теорем>, — сказал как-то Ферма. Особенно много красивых фактов удалось ему обнаружить в теории чисел, которую, собственно, он и основал.

В бумагах и в переписке Ферма было сформулировано немало замечательных утверждений, о которых он писал, что располагает их доказательством. И постепенно, год за годом таких недоказанных утверждений становилось всё меньше и меньше. И наконец осталось только одно.

Хорошо известно, что квадраты некоторых чисел можно разложить в сумму двух квадратов. Таков египетский треугольник со сторонами 3, 4 и 5: 32+42=52. Можно описать все целочисленные решения уравнения x2+y2=z2. Это было сделано Диофантом, греческим математиком, жившим (вероятно) в III в. н. э., во второй книге его трактата <Арифметика> (до нас дошло 6 книг из 13). На полях около решения Диофанта Ферма написал: <Нельзя разложить куб на два куба, ни квадрато-квадрат (т. е. четвёртую степень числа) на два квадрато-квадрата, ни вообще никакую степень выше квадрата и до бесконечности нельзя разложить на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки>. Иначе говоря, уравнение xn+yn= =zn при натуральном n>2 в натуральных числах неразрешимо.

В бумагах Ферма было найдено доказательство этого утверждения для n=4 (это единственное подробное доказательство теоремы из теории чисел, обнаруженное в бумагах Ферма). Для n=3 теорему Ферма доказал Эйлер в 1768 году. В течение XIX века для доказательства теоремы Ферма были предприняты огромные усилия. Особенных успехов добился немецкий математик Куммер.

После его работ теорема Ферма оказалась доказанной для всех простых n (а доказать её достаточно только для них), меньших 100, кроме 37, 59 и 97. В XX веке теорема Ферма была доказана для простых чисел, меньших 100 000, но окончательное решение так и не было найдено.

В 1908 году любитель математики Вольфскель завещал 100 марок тому, кто докажет теорему Ферма. Это стало бедствием для математиков многих стран. Потекли сотни и тысячи писем с доказательствами теоремы Ферма. Как правило, они содержали элементарные ошибки, но на их нахождение тратились немалые силы многих математиков.

Во время Первой мировой войны эта премия обесценилась.

Поток псевдодоказательств сократился, но не иссяк.

И уже казалось, что эта проблема перейдёт через новую грань веков, но всё-таки пять лет тому назад английский математик Уайлс <залатал последнюю дыру> в своём доказательстве этой великой теоремы, с которым он впервые предстал перед математическим миром в 1993 году.

Мир признал: Великая теорема Ферма доказана! Однако тем, кто интересуется математикой, имя Ферма говорит очень многое независимо от его Великой теоремы. Он был, без всякого сомнения, одним из самых проницательных умов своего времени — времени Гигантов. Его по праву считают основоположником теории чисел, он внёс огромный вклад в зарождающиеся новые направления, определившие последующее развитие науки:

математический анализ и аналитическую геометрию. Мы признательны Ферма за то, что он приоткрыл для нас мир, полный красоты и загадочности.

Следующая теорема, несомненно, принадлежит к числу высших достижений математики XVII—XVIII веков.

Взгляните на несколько первых нечётных простых чисел: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... Числа 5, 13, 17 представимы в виде суммы двух квадратов: 5=22+12, 13=22+32, 17=12+42, а остальные числа (3, 7, 11, 19) этим свойством не обладают. Можно ли объяснить этот феномен Ответ на этот вопрос даёт Теорема 2. Для того чтобы нечётное простое число было представимо в виде суммы двух квадратов, необходимо и достаточно, чтобы оно при делении на 4 давало в остатке 1.

На Рождество 1640 года в письме от 25 декабря Пьер Ферма извещал знаменитого Мерсенна, друга Декарта и главного посредника в переписке учёных того времени, о том, что <всякое простое число, которое при делении на четыре даёт единицу, единственным способом представимо как сумма двух квадратов>.

В ту пору математических журналов ещё не существовало, информацией обменивались в письмах и, как правило, результаты лишь анонсировались, но не сопровождались детальными доказательствами.

Правда, спустя почти двадцать лет после письма Мерсенну в письме к Каркави, отправленном в августе 1659 года, Ферма приоткрывает замысел доказательства сформулированной выше теоремы. Он пишет, что основная идея доказательства состоит в методе спуска, позволяющем из предположения, что для какого-то простого числа вида 4n+1 заключение теоремы неверно, получить, что оно неверно и для меньшего числа того же вида, и т. д., пока мы не доберёмся до числа 5, когда окончательно придём к противоречию.

Первые доказательства, которые впоследствии были опубликованы, найдены Эйлером между 1742 и 1747 годами. Причём, желая утвердить приоритет Ферма, к которому он испытывал чувства глубочайшего уважения, Эйлер придумал доказательство, соответствующее описанному выше замыслу Ферма.

Воздавая должное обоим великим учёным (об Эйлере речь ещё впереди), мы называем эту теорему теоремой Ферма—Эйлера.

Есть свойство, присущее почти всякому прекрасному математическому результату, равно как и почти всякой неприступной и прекрасной горной вершине: его можно штурмовать с разных сторон и все пути доставляют наслаждение тому, кто не устрашится им последовать.

В своей статье в <Кванте> [2] я привёл три совершенно различных доказательства. Одно из них (принадлежащее Лагранжу) было придумано в XVIII веке, другое — Германа Минковского — в XIX веке, а третье — нашим современником Даном Цагиром.

Но здесь нет возможности воспроизвести их все, и я ограничусь лишь первым из названных.

Доказательство Лагранжа опирается на следующую лемму Вильсона: если p — простое число, то число (p-1)!+1 делится на p.

Чтобы не отвлекаться на доказательство этого вспомогательного факта, продемонстрирую лишь основную идею этого доказательства на примере простого числа 13. Для любого числа x, 2x11, найдётся такое число y, 2y11, что xy при делении на 13 даёт в остатке 1.

Действительно, (13-1)!=12!=(2·7)·(3·9)·(4·10)·(5·8)·(6·11)·12, и при этом все произведения в скобках при делении на 13 дают в остатке 1, а значит, 12! при делении на 13 даст в остатке 12, откуда (для выбранного нами числа 13) следует утверждение леммы Вильсона.

Из леммы Вильсона извлечём такое следствие: если p=4n+1, где n — натуральное число, то ((2n)!)2+1 делится на p. Действительно, из леммы Вильсона следует, что (4n)!+1 делится на p, и теперь необходимое утверждение вытекает из следующей выкладки:

(4n)!+1=(2n)! (2n+1)(2n+2)·...·(4n)+1=(2n)! (p-2n)(p-2n+1)·...

...·(p-1)+1=(2n)! (-1)2n(2n-p)(2n-1-p)·...·(1-p)+((2n)!)2+1 (mod p).

Обозначим (2n)! через N. Мы доказали, что N2-1 (mod p).

Pages:     || 2 | 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.