WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||

Решение. ОДЗ: G = {x R, x2 - 21x +1 > 0, x + 1 > 0, x + 1 1}. На основании следствия к теореме 4, получаем равносильное на G уравнение x2 - 21x +1 = x + 1 или x2 - 22x = 0, множество решений которого T = {0;22}. Значит, X = T I G = {22}.

Ответ. X = {22}.

Пример 20. Решить уравнение lg2(10x) + lg x - 5 = 0.

Решение. ОДЗ: G = {x R, x > 0} = (0;). Тождественно преобразуя левую часть уравнения, последовательно получаем (lg10 + lg x)2 + lg x - 5 = 0, lg2 x + 3lg x - - 4 = 0, (lg x -1)(lg x + 4) = 0. Следовательно, исходное уравнение (теорема 5) lg x =1, равносильно на G совокупности уравнений lg x = -4, множество решений которой ( следствие к теореме 4) - T = {10-4;10}. Значит, X = T I G = T.

Ответ. X = {10-4;10}.

Пример 21. Решить уравнение 2log2 x + xlog2 x2 = 6.

Решение. ОДЗ: G = {x R, x > 0} = (0;). Применяя следствие к теореме 3, теоремы 1 и 5 и следствие к теореме 4, последовательно получаем уравнения и совокупности уравнений равносильные заданному уравнению на G :

log2 x 2 2 2 2 (2log x) + (xlog x) - 6 = 0; (xlog x) + (xlog x)- 6 = 0;

log2 x =1, x = 2, xlog x = 2, (xlog2 x - 2)(xlog2 x + 3)= 0; log2 x =1;

log x = -1; x = 0,5.

log2 x x = -3;

Следовательно, X = {0,5;2}.

Ответ. X = {0,5;2}.

Пример 22. Решить уравнение logcos x sin x =1.

Решение.

ОДЗ:G = D1 I D2 I D3, где D1 = {x R,sin x > 0}, D2 = {x R,cos x > 0}, D3 = {x R,cos 1}. Применяя следствие к теореме 4, теоремы 2 и 14, последовательно получаем уравнения и совокупность уравнений равносильные заданному уравнению на G :

sin x = cos x; tgx =1; tgx = tg ; x = + n, n Z. Следовательно, X = T I G, 4 1 + 4n (-1)n где T = {x R, x =,n Z}. Так как sin( (1 + 4n)) =, то при n, рав4 ном нечетному числу соответствующее число из T не принадлежит D1, а значит и G. Следовательно, корнями исходного уравнения могут быть только числа из T, соответствующие четным значениям n = 2m. Проверяем принадлежат ли они множе ству D2 I D3 : cos( + 2m ) = cos > 0 - принадлежат. Таким образом, 4 1 + 8m X = {x R, x =,m Z}.

1 + 8m Ответ. X = {x R, x =,m Z}.

Пример 22. Решить уравнение ctg(sin x) =1.

Решение. ОДЗ: G ={x R,sin(sin x)) 0} = {x R,sin x 0}. Применяя теоремы и 11, учитывая ограниченность синуса, последовательно получаем уравнения и совокупность уравнений равносильные на G исходному уравнению:

sin x = + k, k Z; sin x = ; x = (-1)n arcsin( ) + n, n Z. Таким образом, 4 4 X = {x R, x = (-1)n arcsin + n, n Z}.

Ответ. X = {x R, x = (-1)n arcsin + n, n Z}.

Пример 23.. Решить уравнение cos4x + 2cos2 x =1.

Решение. ОДЗ: G = R. Применяя теоремы 1, 5 и 13, последовательно получаем уравнения и совокупность уравнений равносильные на G исходному уравнению:

2cos2 2x -1 + 1 + cos2x =1; 2cos2 2x + cos2x -1 = 0;

x = + n, n Z, (2cos2x -1)(cos2x + 1) = 0;

x = ± + 2m, m Z.

Ответ. X = {x R, x = 2 + n, x = ± 3 + 2m,n Z,m Z}.

Пример 24. Решить уравнение 0.5(x3 + 1) = 2x -1.

Решение. ОДЗ: G = R. Функция f (x) = 0.5(x3 + 1) - возрастающая на R, так как - x R : f (x) = x2 > 0. Значит, для нее существует обратная функция f (x), которую найдем, разрешив уравнение y = 0.5(x3 + 1) относительно x. Получаем -x = 2y -1. Следовательно, f (x) = 2x -1. Значит, данное уравнение относит -ся к виду f (x) = f (x). Так как в нашем случае f (x) тождественно не равна -f (x), и графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y = x, то общие точки графиков лежат на этой прямой. Таким образом, данное x3 + уравнение равносильно на G уравнению = x, или x3 - 2x + 1 = 0, или x3 - x - (x -1) = 0, или (x -1)(x2 + x -1) = 0. Последнее уравнение, на основании теоремы 5, равносильно совокупности уравнений x =1, x -1 = 0, Решая эти уравнения, получаем x = 0.5( 5 -1), Все эти числа x + x -1 = 0.

-0.5( 5 + 1).

x = принадлежат G.

- 5 -1 5 -Ответ. X = ; ;1.

2 Содержание стр.

Введение…………………………………………………………………………….1. Множества и операции над ними……………………………………………2. Основные определения и терминология, связанные с понятием уравнения с одним неизвестным………………………………………………3. Основные теоремы о равносильности уравнений………………………4. Структура алгоритма аналитического метода решения уравнения с одним неизвестным…………………………………………………………...5. Элементарные уравнения с одним неизвестным……………………...6. Решение линейного уравнения с одним неизвестным………………..7. Решение квадратного уравнения с одним неизвестным…………….8. Примеры решения элементарных уравнений с одним неизвестным аналитическим методом……………………………………………………… Содержание Введение………………………………………………………………………… 1. Множества и операции над ними………………………………………… 2. Основные определения и терминология, связанные с понятием уравнения с одним неизвестным…………………………........ 3. Основные теоремы о равносильности уравнений…………………….. 4. Структура алгоритма аналитического метода решения уравнения с одним неизвестным………………………………………….. 5. Элементарные уравнения с одним неизвестным……………………… 6. Решение линейного уравнения с одним неизвестным………………...7. Решение квадратного уравнения с одним неизвестным…………… …8. Примеры решения элементарных уравнений с одним неизвестным аналитическим методом……………………………………. Учебное издание СЕМЕНОВ Алексей Степанович Введение в теорию уравнений.

Элементарные уравнения с одним неизвестным.

Методические указания Редактор Н. А. Евдокимова Подписано в печать 28.03.2005. Формат 60х84/16.

Печать трафаретная. Бумага офсетная. Ус. печ. л. 1,63.

Уч. – изд. л. 1,20. Тираж 100 экз. Заказ Ульяновский государственный технический университет 432027, г. Ульяновск, ул. Сев. Венец, д. Типография УлГТУ, 432027, г. Ульяновск, ул. Сев. Венец, д, 32.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.