WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 |

Первый вариант решения, Учитывая особенность левой части уравнения, заключающуюся в равенстве коэффициентов многочлена, равноудаленных от середины, найдем методом неопределенных коэффициентов тождественное представление ее на G в следующем виде x4 - 7x3 +14x2 - 7x +1 (x2 + ax +1)(x2 + bx +1). Приравнивая, на основании замечания 12, коэффициенты многочленов при одинаковых степенях x, получаем систему равенств 1 =1, - 7 = a + b, 14 = 2 + ab, - 7 = = a + b, 1 =1,которая равносильна системе a + b = -7, ab =12. Подбором устанавливаем, что этой системе удовлетворяют числа a = -3, b = -4, значит, x4 - 7x3 + 14x2 - 7x + 1 (x2 - 3x + 1)(x2 - 4x + 1). Следовательно, на основании теорем 1 и 5, исходное уравнение равносильно на G совокупности двух простейших квадратных уравнений x2 - 3x + 1 = 0, x = 0,5 (3 ± 5), Решая их, получаем совокупность x = 2 ± 3.

x - 4x + 1 = 0.

Второй вариант решения. Подстановкой устанавливаем, что x = 0 не является корнем заданного уравнения. Значим, корни его, если они есть, принадлежат части ОДЗ G1 = G \ {0}. Будем получать уравнения равносильные на G1.Умножаем обе части уравнения на функцию (x) = и, на основании теоремы 2, получаем уравx1 1 1 нение x2 - 7x + 14 - + = 0 или x2 + - 7 x + + 14 = 0. Теперь сдела x x x2 x2 1 1 ем замену x + = y и, учитывая, что y2 = x2 + 2 + или x2 + = y2 - 2, для x x2 xновой переменной получаем уравнение y2 - 7 y + 12 = 0, корнями которого являются числа y1 = 4, y2 = 3. Следовательно, на основании теоремы 7, заданное урав1 нение равносильно на G1 совокупности уравнений x + = 4, x + = 3 или совоx x x2 - 3x + 1 = 0, x = 0,5 (3 ± 5)G1, купности Решая которую, имеем x = 2 ± 3 G1.

x - 4x + 1 = 0.

Ответ. X = {2 - 3; 0,5(3 - 5); 2 + 3; 0,5(3 + 5)}.

Пример 4. Решить уравнение x3 + 2x2 - 3 = 0.

Решение. ОДЗ: G = R.

Первый вариант решения. Подстановкой устанавливаем, что x =1 является корнем данного уравнения. Значит, многочлен левой части делится без остатка на разность (x -1). Используя результат деления многочленов «уголком», получаем тожR дество x3 + 2x2 - 3(x -1)(x2 + 3x + 3). Следовательно, на основании теорем (1) и (5), имеем следующую равносильную на G совокупность простейших уравнений x -1 = 0, Решая ее, получаем X = {1}.

x+ 3x + 3 = 0.

Второй вариант решения. Тождественно преобразуя левую часть уравнения, поG G G следовательно получаем x3 + 2x2 - 3 x3 - x2 + 3x2 - 3 x2 (x -1) + 3(x2 -1) G G (x -1)(x2 + 3(x + 1))(x -1)(x2 + 3x + 3). Значит, по теореме 1, данное уравнение равносильно на G уравнению (x -1)(x2 + 3x + 3) = 0. Так как x R :(x) = x2 + + 3x + 3 = (x +1,5)2 + 0,75 0, то, умножая обе части уравнения на, получа(x) ем (теорема 2) равносильное на G уравнение x -1 = 0 или x =1. Т.е. X = {1}.

Ответ. X = {1}.

Пример 5. Решить уравнение x2 - 4x + 13 + x2 - 4x + 5 = 4 - 7(x - 2)2.

Решение. ОДЗ: G ={x R, x2 - 4x + 13 0, x2 - 4x + 5 0} = R.

Тождественно преобразуя левую часть уравнения, получаем (x - 2)2 + 9 + (x - 2)2 + 1 = 4 - 7(x - 2)2, или, если обозначить (x - 2)2 = t -- t + 9 + t + 1 = 4 - 7t. Так как t [0,) : t + 9 3,6 t + 1 1 и, следовательно, t + 9 + t + 1 4, а 4 - 7t 4, то, на основании теоремы 9, получаем равносильную систему из уравнений t + 9 + t + 1 = 4, 4 - 7t = 4, решение которой -- t = 0.

Следовательно, исходное уравнение по теореме 7 равносильно на ОДЗ уравнению (x - 2)2 = 0 или x = 2.

Ответ, X = {2}.

Пример 6. Решить уравнение x3 + 4x -1 - 8 x4 - x = x3 -1 + 2 x.

Решение. ОДЗ: G = H1 I H2 I H3 I H4, где H1 = {x R, x 0}, H2 ={x R, x3 -1 0}, H3 = {x R, x4 - x 0}, H4 = {x R, x3 + 4x -1 - 8 x4 - x 0}. Возведя обе части уравнения в квадрат, на основании теоремы 4, получаем равносильное на G уравнение x3 + 4x -1 - 8 x4 - x = x3 -1 + 4 x4 - x + 4x. Далее, применяя последовательно теоремы 3, 1, 4 и 5, получаем x4 - x = 0, x4 - x = 0, x(x -1)(x2 + x + 1) = 0, x = 0, x -1 = 0, Последняя совокупность уравнений имеет множество решений x + x + 1 = 0.

T = {0;1}. Так как 0 H2, то 0G. Число x =1 является элементом всех множеств Hk (k =1,...,4), значит, 1G. Таким образом, X = G I T = {1}.

Ответ. X = {1}.

Пример 7. Решить уравнение (2x + 1)(2 + (2x + 1)2 + 3) + 3x (2 + 9x2 + 3) = 0.

Решение. ОДЗ: G = R. Анализируя особенности левой части уравнения, устанавливаем, что если ввести в рассмотрение функцию (y) = y (2 + y2 + 3), то уравнение запишется в следующем виде (2x + 1) = (-3x). Исследуя функцию (y) на y монотонность, последовательно находим D() = R, ( y) = 2 + y2 + 3 +, y2 + D( ) = R, y R : (y) > 0, т.е. эта функция возрастает на всей своей области определения. Следовательно, на основании теоремы 4, исходное уравнение равносильно на G линейному уравнению 2x + 1 = -3x или 5x = -1. Значит X = {-1 5}.

Ответ. X ={-1 5}.

Пример 8. Решить уравнение 1 - x2 = 4x3 - 3x.

Решение. ОДЗ: G ={x R, 1 - x2 0} = [-1;1].

Первый вариант решения. Используя замену x = cost, для новой неизвестной t получаем уравнение sin t = 4cos3 t - 3cost, причем решения его будем искать только на множестве H = [0; ], ибо функция cost однозначно отображает H на [-1;1]. Так как t H :sint 0, 4cos3 t - 3cost = cos3t, то вспомогательное урав нение равносильно на H уравнению sint = cos3t или cos3t = cos( - t). Последнее уравнение, на основании теоремы 13, равносильно на H совокупности уравне k t = +, 3t = - t + 2k, 2 8 ний или где k и l - целые числа. Пересе 3t = - + t + 2l, t = - + l, 2 кая с H множество решений полученной совокупности, получаем множество 5 { ; ; }. Значит, на основании теоремы 8, исходное уравнение равносильно на 8 8 x = cos, x = 0,5 2 + 2, G совокупности уравнений x = cos, или = -0,5 2 - 2, x x = -0,5 2.

x = cos 3, Второй вариант решения. Представим ОДЗ в виде объединения двух непересекающихся множеств G = G1 U G2, где G1 = {xG, 4x3 - 3x < 0} = [-1;- ) U - x2 0, U (0; ). Так как x G1 :

то x G1 : 1 - x2 4x3 - 3x2, т.е. на - 3x2 < 0, 4x множестве G1 корней уравнения нет и X1 =. Ищем корни на G2 = G \ G1 = 3 = [- ;0] U [ ;1]. Возведем обе части уравнения в квадрат и, на основании тео2 ремы 4, получим равносильное на G2 уравнение 1 - x2 =16x6 - 24x4 + 9x2 или 16x6 - 24x4 + 10x2 -1 = 0. Тождественно преобразовывая левую часть последнего уравнения, последовательно получаем (16x6 - 8x4) - (16x4 - 8x2) + (2x2 -1) = 0, 8x4(2x2 -1) - 8x2(2x2 -1) + 2x2 -1 = 0, (2x2 -1)(8x4 - 8x2 +1) = 0. Теперь, на основании теоремы 5, имеем равносильную на G2 совокупность двух уравнений 2x2 -1 = 0, 2 Решая первое из них, имеем x1 = G2, x2 = - G2; ре 2 8x - 8x2 + 1 = 0.

2 ± 2 2 + 2 2 + шая второе -- x2 =, x3 = G2, x4 = - G2, 4 2 2 - 2 2 - x5 = G2, x6 = - G2. Значит, X = {x2; x3; x6}, а X = X1 U 2 U X = X.

2 Ответ. X = {-0,5 2; - 0,5 2 - 2; 0,5 2 + 2}.

Пример 9. Решить уравнение 2x -1 = 4x + 7.

Решение. ОДЗ: G = {x R, 2x -1 0} = [0,5;).

Первый вариант решения. Так как x G : 4x + 7 > 0, то, возводя обе части уравнения в шестую степень, на основании теоремы 4, получаем равносильное на G уравнение (2x -1)3 = (4x + 7)2 или 4x3 -14x2 - 25x - 25 = 0. Подстановкой убеждаемся, что число 5 является корнем полученного уравнения. Следовательно, многочлен в левой части его разделится на (x - 5) без остатка. Выполнив деление уголком, получаем тождество 4x3 -14x2 - 25x - 25 (x - 5)(4x2 + 6x + 5). Значит, на основании теоремы 5, уравнение равносильно на G совокупности уравнений x - 5 = 0, с множеством решений T = {5}. Следовательно, X = T I G = T.

4x+ 6x + 5 = 0, Второй вариант решения. Введем вспомогательные неизвестные по формулам 2x -1 = y, y = 2x -1,(y 0), z = 4x + 7 и рассмотрим систему уравнений 4x + 7 = z, y = z, решения которой будем искать на множестве S ={(x, y, z) R3, xG, y 0, z 0}.

Равносильными преобразованиями последовательно получаем равносильные на S x y2 = 2x -1, = 0,5 (1 + y2 ), x = 0,5 (1 + y2), zсистемы = 4x + 7, 2y2 - z3 = -9, z = y, Решим третье уравне 2y - y3 + 9 = 0.

y = z, y = z, ние последней системы. Тождественно преобразуя левую часть его, получаем y3 - 2y2 - 9 = y3 - 3y2 + y2 - 9 = y2 ( y - 3) + ( y - 3)(y + 3) = (y - 3)(y2 + y + 3).

Так как, y R; y2 + y + 3 0, то рассматриваемое уравнение равносильно, на основании теорем 1 и 2, уравнению y - 3 = 0 или y = 3. Следовательно, на основании теоремы 16, исходное уравнение имеет единственный корень x = 0,5(1 + 32 ) = 5.

Ответ. X = {5}.

Пример 10. Решить уравнение x2 + x + 4 + x2 + x + 1 = 2x2 + 2x + 9.

Решение. ОДЗ: G = R. Введем вспомогательную переменную по формуле y = x2 + x + 1 ( y 0). Тогда x2 + x + 4 = y + 3, 2x2 + 2x + 9 = 2y + 7 и исходное уравнение примет вид y + 3 + y = 2y + 7. Возводя обе части последнего уравнения в квадрат, получаем, на основании теоремы 4, равносильное на (0;) уравнение y + 3 + 2 y2 + 3y + y = 2y + 7 или (следствие к теореме 3) y2 + 3y = 2.

y =1(0;), Еще раз возводя в квадрат, имеем y2 + 3y - 4 = 0 или y = -4(0;). Значит, на основании теоремы 7, исходное уравнение равносильно на G уравнению x2 + x + 1 =1 или x (x + 1) = 0. Отсюда X = {-1;0}.

Ответ. X = {-1;0}.

Пример 11. Решить уравнение 2x2 + 3x -10 - 2(x + 0,5) x2 + 2x -10 = 0.

Решение. ОДЗ: G ={x R, x2 + 2x -10 0} = (-;-1 - 11] U [-1+ 11;).

Тождественно преобразуя левую часть уравнения, получаем (теорема 1) равносильное на ОДЗ уравнение (x + 0,5 - x2 + 2x -10) - 0,25 = 0 или (следствие к теореме 3) уравнение (x + 0,5 - x2 + 2x -10) = (0,5)2. Теперь, на основании теоремы 11, имеем равносильную совокупность двух уравнений x + 0,5 - x2 + 2x -10 = 0,5, x2 + 2x -10 = x, или x2 + 2x -10 = x + 1.

x + 0,5 - x2 + 2x -10 = -0,5, Решаем первое уравнение совокупности. Разбиваем ОДЗ на две непересекающиеся части G1 = (-;-1 - 11], G2 = [ 11 -1;). На множестве G1 решений нет, так как x G1 : x2 + 2x -10 x. На G2, возводя обе части в квадрат, получаем (теорема 4), равносильное уравнение 2x =10 или x = 5G2. Значит, X1 = {5}.

Решаем второе уравнение совокупности. Разбиваем ОДЗ на два подмножества D1 = {x R, x + 1< 0} I G = G1, D2 = G \ D1 = G2. На множестве G1 решений нет, так как x G1 : x2 + 2x -10 x + 1. На G2, возводя обе части в квадрат, получаем (теорема 4), равносильное уравнение x2 + 2x -10 = x2 + 2x + 1 или -10 =1.

Значит, X =. Таким образом, X = X1 U X = {5}.

2 Ответ. X = {5}.

Пример 12. Решить уравнение x2 + x = 5 - 3x.

Решение. ОДЗ: G = R. На основании теоремы 10, получаем равносильную на G совокупность двух квадратных уравнений x2 + 4x - 5 = 0, x2 + x = 5 - 3x, или с множеством решений T = {-5;1}.

2 x + x = -5 + 3x, x - 2x + 5 = 0, Значит, X = T I G = {-5;1}.

Ответ. X = {-5;1}.

Пример 13. Решить уравнение x + 3 + 2x -1 = 8.

Решение. ОДЗ: G = R. Разобьем ОДЗ на три непересекающиеся части G1 = (-;-3), G2[-3;0,5), G3 = [0,5;) и будем искать на них подмножества решений данного уравнения. На G1, используя определение абсолютной величины действительного числа, получаем равносильное уравнение - x - 3 - 2x + 3 = 8 или 10 3x = -10. Значит, X1 = {- } I G1 = {- }. Аналогично, на G2 имеем 3 x + 3 - 2x + 1 = 8, или x = -4, т.е. X = {-4} I G2 =, а на G3 : x + 3 + 2x -1 = 8, или x = 2G3, т.е. X3 = {2}. Таким образом, X = X1 U X U X3 = {-10 3;2}.

Ответ. X ={-10 3;2}.

Пример 13. Решить уравнение x2 + x - 3 = x.

Решение. ОДЗ: G = R. Разобьем ОДЗ на две непересекающиеся части G1 = (-;0) и G2 = [0;).Так как x G1 : x2 + x - 3 x, то (способ подстановки) X1 =. На G2, на основании теоремы 10, получаем равносильную совокупность x2 + x - 3 = x, x2 - 3 = 0, или множество решений которой 2 x + x - 3 = -x, x + 2x - 3 = 0, T = {-3;- 3;1; 3}. Значит, X = T I G2 ={1; 3}.

Таким образом, X = X1 U X = X = {1; 3}.

2 Ответ., X = {1; 3}.

Пример 14. Решить уравнение 3x + 4x - 25 = 0.

Решение. ОДЗ: G = R. Подстановкой устанавливаем, что число x = 2 является корнем данного уравнения, так как 32 + 42 = 25. Докажем, что этот корень единственный. Исследуем на монотонность функцию f (x) = 3x + 4x - 25. Находим производ ную этой функции: f = 3x ln3 + 4x ln 4. Ясно, что x R : f (x) > 0, поэтому функция возрастает на всей числовой прямой. Значит, во всех точках, где x > 2 имеем f (x) > f (2) = 0, а во всех точках, где x < 2 имеем f (x) < f (2) = 0. Следовательно, точка x = 2 - единственный ноль функции или корень данного уравнения.

Ответ. X = {2}.

2 Пример 15. Решить уравнение 5x + 4x+3 = 7x - x-2.

Решение. ОДЗ: G = R. Логарифмируя обе части уравнения по основанию 10, получаем (теорема 4) равносильное уравнение (x2 + 4x + 3) lg5 = (x2 - x - 2) lg7.

Далее, применив следствие к теореме 3 и теорему 1, приходим к уравнению (x + 1)((lg5 - lg7)x + 3lg5 + 2lg7) = 0, которое, на основании теоремы 5, равносильно на G совокупности двух линейных уравнений x + 1 = 0, lg(125 49) (lg5 - lg7) x + (3lg5 + 2lg7) = 0, с множеством решений T = -1; lg(1,4).

Таким образом, X = T I G = T.

lg(125 49) Ответ. X = -1;.

lg(1,4) x-Пример 16. Решить уравнение ( 3x) = 27.

Решение. ОДЗ: G = R. Тождественно преобразуя левую часть уравнения, получаем x(x -1) (теорема 1) равносильное на G уравнение 3 = 33. А для последнего (следствие к теореме 4) – уравнение 0,5 x(x -1) = 3 или x2 - x - 6 = 0, множество решения которого -- V = {-2;3}. Значит, X = V I G = V.

Ответ. X = {-2;3}.

Пример 17. Решить уравнение 31+ x - 31- x = 8.

Решение. ОДЗ: G = R. Введя вспомогательную переменную y = 3x ( y > 0), исходное уравнение запишем в виде 3y - = 8 или 3y2 - 8y - 3 = 0. Множество реy шений последнего уравнения -- Y = {3;-2 3}. Значит, на основании теоремы 7, исходное уравнение равносильно на G уравнению 3x = 3 или, по следствию к теореме 4, -- уравнению x =1. Таким образом, X = {1}.

Ответ. X = {1}.

Пример 18. Решить уравнение 3 16x + 2 81x = 5 36x.

Решение. ОДЗ: G = R. (Приведем один из возможных вариантов решения.) Введем новые переменные u = 4x, v = 9x (u > 0,v > 0). Тогда данное уравнение запишется в виде 3u2 + 2v2 - 5uv = 0. Тождественно преобразуя левую часть последнего уравнения (используя тождество ax2 + bx + c = = a (x - x1)(x - x2), если дискриминант положителен), получаем уравнение 3 (u - v)(u - v) = 0, которому равноu = v, сильна совокупность уравнений Следовательно, на основании теоремы 16, u = 3 v.

4x = 9x, исходное уравнение равносильно на G совокупности уравнений или 4x = 9x, x =1, Решением последней совокупности будет, на основании следствия к 2 2x =.

3 теореме 4, множество T = {0;0,5}. Значит, X = T I G = T.

Ответ. X = {0;0,5}.

Пример 19. Решить уравнение logx+1(x2 - 21x + 1) =1.

Pages:     | 1 | 2 || 4 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.