WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |

Если уравнение (1) порождают функции f (x) = v(u(x)) и g(x) = w(u(x)), а уравнение v( y) = w( y) имеет множество решений Y = {y1, y2,..., yn}, то уравнение (1) равносильно на G совокупности уравнений u(x) = yk,(k {1,...,n}.

Теорема 8.

Если функции, порождающие уравнение (1), таковы, что а) существует функция ( y), множество значений которой D() = G;

в) уравнение v( y) = w( y), где v( y) = f ((y)), w( y) = g(( y)), имеет множество решений Y = {y1, y2,..., yn};

то уравнение (1) равносильно на G совокупности уравнений x = (yk ),(k {1,...,n}).

Теорема 9.

Если функции, порождающие уравнение (1), таковы, что x H (H G) : ( f (x) b, g(x) b) или ( f (x) b, g(x) b), где b - известная постоянная величина, то уравнение (1) равносильно на H системе уравнений f (x) = b, g(x) = b.

Замечание 11. Приведенные теоремы определяют часто используемые преобразования и свойства порождающих уравнение функций, позволяющие получить равносильные ему уравнение, или систему уравнений, или совокупность уравнений. Некоторые из этих преобразований имеют специальные названия. Например, теоремы и 8 обосновывают преобразование заменой неизвестной y = u(x) или x = ( y).

В качестве примеров использования теорем 1-9 докажем некоторые теоремы о равносильности важных частных типов уравнения (1).

Теорема 10.

Если уравнение (1) порождают функции f (x) = u(x) и g(x) = v(x), то оно равносильно на G совокупности уравнений u(x) = v(x), u(x) = -v(x).

Доказательство. Так как из определения абсолютной величины следует, что xG : u(x) 0, v(x) 0, то, действуя на обе части уравнения (1) возрастающей на [0;) функцией h(y) = y2, получаем, на основании теоремы 4, равносильное на G уравнение u2 (x) = v2 (x). Отсюда, используя последовательно следствие к теореме 3, теорему 1 и теорему 5, получаем u2 (x) - v2(x) = 0, (u(x) - v(x)) (u(x) + u(x) - v(x) = 0, u(x) = v(x), +v(x)) = 0;

u(x) + v(x) = 0; u(x) = -v(x). Теорема 10 доказана.

Аналогично теореме 10 доказывается теорема 11.

Теорема 11.

Если уравнение (1) порождают функции f (x) = (u(x))2m и g(x) = (v(x))2m, (m N),то оно равносильно на G совокупности уравнений u(x) = v(x), u(x) = -v(x).

Теорема 12.

Если уравнение (1) порождают функции f (x) = sin(u(x)) и g(x) = sin(v(x)), то оно равносильно на G совокупности уравнений u(x) = v(x) + 2n,(n Z), u(x) = - v(x) + 2m,(m Z).

Доказательство. Используя теоремы 3, 4, 5, определения и свойства операций sin и cos, последовательно получаем u + v cos = 0, G G G G u + v u - v sin(u(x)) = sin(v(x))sin(u) - sin(v) = 0 cos sin = 0 u - v 2 sin = 0;

G G u + v = + 2m, u(x) = - v(x) + 2m,(m Z);

Теорема 12 доказана u - v = 2n ; u(x) = v(x) + 2n,(n Z).

Аналогично теореме 12 доказываются теоремы 13, 14 и 15.

Теорема 13.

Если уравнение (1) порождают функции f (x) = cos(u(x))и g(x) = cos(v(x)), то оно равносильно на G совокупности уравнений u(x) = v(x) + 2n,(n Z), u(x) = -v(x) + 2m,(m Z).

Теорема 14.

Если уравнение (1) порождают функции f (x) = tg(u(x)) и g(x) = tg(v(x)), то оно равносильно на G совокупности уравнений u(x) = v(x) + n,(n Z).

Теорема 15.

Если уравнение (1) порождают функции f (x) = ctg(u(x)) и g(x) = ctg(v(x)), то оно равносильно на G совокупности уравнений u(x) = v(x) + n,(n Z).

Используя теорию систем уравнений с двумя неизвестными, можно доказать теорему, обобщающую теорему 7.

Теорема 16.

Если уравнение (1) порождают функции f (x) = (u(x),v(x)) и y = u(x), g(x) = (u(x),v(x)), а система уравнений z = v(x), на своей ОДЗ равно ( y, z) = ( y, z), y = u(x), h(y, z) = w( y, z), такой, что ее подсистема h(y, z) = w( y, z), сильна системе ( y, z) = ( y, z), ( y, z) = ( y, z), имеет множество решений S = {( y1, z1),...,( ym, zm )}, то уравнение (1) равносильно на G совокупности уравнений u(x) = yk,(k {1,...,m}).

4. Структура алгоритма аналитического метода решения уравнения с одним неизвестным Определение 11.

Уравнение с одним неизвестным назовем простейшим, если известно множество его решений.

Если уравнение (1) не является простейшим, но порождающие его функции таковы, что с помощью теорем предыдущего параграфа для этого уравнения на G или на частях G можно получить либо одно равносильное простейшее уравнение, либо равносильную совокупность или систему из простейших уравнений, то данное уравнение будет решено аналитически, так как его множество решений определится как результат операций над множествами решений простейших уравнений. Приведенные условия и определяют возможности и структуру алгоритма аналитического метода решения уравнений с одним неизвестным:

на ОДЗ или на частях ОДЗ данного уравнения искать последовательность равносильных преобразований его к простейшим, возможно, применяя при этом геометрическую интерпретацию корней или поиск корней способом подстановки.

Для практического использования этого метода необходимо иметь набор простейших уравнений, обеспечивающий эффективность его алгоритма при решении уравнений разных видов. Далее будет определен такой набор простейших уравнений и проиллюстрированы возможности аналитического метода в классе элементарных уравнений с одним неизвестным.

5. Элементарные уравнения с одним неизвестным Определение 12.

Уравнение с одним неизвестным называется элементарным, если порождающие его функции являются элементарными.

Напомним некоторые факты из математического анализа.

1) Функция y = f (x) - элементарная, если она задана явно формулой y = A(x), где A(x) - аналитическое выражение с одной переменной. Аналитическое выражение с одной переменной - это символическое обозначение конечного числа известных математических операций (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня, логарифмирование, прямые и обратные тригонометрические операции, композиция функций, отыскание абсолютной величины), которые в определенной последовательности (возможно использование скобок) производятся над числами и буквой x, обозначающей переменную величину, принимающую значения из множества действительных чисел.

2) Область определения D( f ) элементарной функции f (x) часто называют естественной, так как она определяется условиями существования результатов математических операций, участвующих в построении аналитического выражения A(x).

3) Любая элементарная функция f (x) непрерывна во всей своей области определения. Поэтому область определения элементарной функции разбивается на интервалы знакоопределенности значений этой функции ее нулями, т.е. решениями уравнения f (x) = 0. Для определения знака (плюс или минус) значений, принимаемых элементарной функцией в интервале знакоопределенности, достаточно опре делить знак значения ее в произвольной (частной) внутренней точке этого интервала.

4) Для решения неравенств f (x) 0, f (x) 0, f (x) < 0, f (x) > 0, где f (x) - элементарная функция, можно использовать метод интервалов.

Приведем несколько примеров элементарных функций и порождаемых ими элементарных уравнений. Области определения функций и ОДЗ уравнений будем задавать описательным способом.

Пример 1.

Функции: f (x) = 2x +1, G1 = D( f ) = {x R;2x + 1 0};

g(x) = 1 - 3x, G2 = D(g) = R;

уравнение: 2x + 1 = 1 - 3x, G = G1 I G2 = G1.

Пример 2.

2(x + 2) Функции: f (x) =, G1 = D( f ) = {x R; x2 + 5x + 6 0};

x2 + 5x + g(x) = x + 2, G2 = D(g) = R;

2(x + 2) уравнение: = x + 2, G = G1 I G2 = G1.

x2 + 5x + Пример 3.

Функции: f (x) = lg(x2 + 3x + 2), G1 = D( f ) = {x R; x2 + 3x + 2 > 0};

g(x) = lg(x + 8), G2 = D(g) = {x R; x + 8 > 0};

уравнение:

lg(x2 + 3x + 2) = lg(x + 8), G = G1 I G2 = {x R; x2 + 3x + 2 > 0, x + 8 > 0}.

Пример 4.

Функции: f (x) = 8 - tgx, G1 = D( f ) = {x R; 8 - tgx 0,cos x 0};

g(x) = tgx - 6, G2 = D(g) = {x R;cos x 0};

уравнение: 8 - tgx = tgx - 6, G = G1 I G2 = G1.

В следующих двух параграфах найдем множества решений двух элементарных уравнений (линейного и квадратного), которые будем считать основными простейшими уравнениями на множестве элементарных уравнений.

6. Решение линейного уравнения с одним неизвестным Определение 13.

Элементарное уравнение a x = b, (10) порожденное функциями f (x) = a x и g(x) = b, где a и b - заданные действительные числа ( параметры уравнения), называется линейным уравнением с одним неизвестным.

Задача 1. Дано линейное уравнение (10). Требуется найти множество его решений.

Решение. Очевидно, что ОДЗ уравнения (10) – множество действительных чисел, т.е. G = R. Для определения множества решений X уравнения (10) воспользуемся способом подстановки и методом полной индукции, рассматривая все варианты возможных значений параметров уравнения a и b.

Пусть a 0, а b - любое действительное число. Предположим, что число b x0 = - решение уравнения (10). Подставляя его в уравнение (10), получаем a b f (x0 ) = a x0 = a = b, g(x0 ) = b, т.е. f (x0) = g(x0) - верное числовое равенстa b во. Значит, x0 = - решение уравнения (10). Предположим теперь, что имеются a b решения, отличные от x0, например, число c = x0 + = +, где 0. Подставa b ляя его в уравнение (10), получаем f (c) = a ( + ) = b + a b, так как a a 0, g(c) = b, т.е. f (c) g(c). Таким образом, больше решений уравнения (10) в рассматриваемом случае не существует.

Пусть теперь a = 0 и b 0 и уравнение (10) принимает вид 0 x = b. Тогда xG : f (x) = 0 x = 0, g(x) = b 0, следовательно, f (x) g(x), т.е. уравнение (10) решений не имеет.

Наконец, пусть a = 0 и b = 0 и уравнение (10) принимает вид 0 x = 0. Тогда xG : f (x) = 0 x = 0, g(x) = 0, т.е. f (x) = g(x) - верное числовое равенство.

Значит, уравнение (10) имеет множество решений, совпадающее с G.

Ответ. Если у линейного уравнения (10):

1) a 0, а b - любое действительное число, то уравнение имеет единственное b ;

решение и X = a 2) a = 0 и b 0, то X =;

3) a = 0 и b = 0, то X = R.

7. Решение квадратного уравнения с одним неизвестным Определение 14.

Элементарное уравнение ax2 + bx + c = 0, (11) порожденное функциями f (x) = ax2 + bx + c и g(x) = 0, где a,b,c - заданные действительные числа ( параметры уравнения), называется квадратным уравнением с одним неизвестным.

Задача 2. Дано квадратное уравнение (11).Требуется найти множество его решений.

Решение. Очевидно, что ОДЗ уравнения (10) – множество G = R. Для определения множества решений уравнения (11) применим метод полной индукции и аналитический метод решения уравнения с одним неизвестным, используя в качестве простейшего линейное уравнение.

Пусть a = 0, тогда уравнение (11) равносильно на G линейному уравнению - c, если b 0, c -любое действительное число; X =, bx = -c. Значит, X = b если b = 0, c 0; и X = R, если b = c = 0.

Пусть теперь a 0. Тождественно преобразуем левую часть уравнения (11), выделяя полный квадрат суммы двух слагаемых, одно из которых равно x. Последовательно получаем b b2 b2 b b ax2 + bx + c = a x2 + x + - + c = a x + - - c = a 2a 4a 4a2 4a2 b b2 - 4ac. Значит, уравнение (11) равносильно на G уравнению = a x + 2a - 4a b b2 - 4ac x + - = 0. (12) 2a 4aВведем обозначение D = b2 - 4ac (число D называется дискриминантом уравнения (12)). Если D < 0, то уравнение (12) принимает вид D b x + + = 0. Это уравнение и равносильное ему уравнение (11) решений 2a 4a D b не имеют, так как x R : x + + 0, т.е. X =. Если D = 0, то уравне 2a 4a b ния (11) и (12) равносильны на R линейному уравнению x + = 0, которое имеет 2a b b. Если D > 0, то уравнение (12), единственное решение x = -, т.е. X = - 2a 2a после использования тождества для разности квадратов, принимает вид b D b D x + - x + + = 0, т.е. равносильно на R (теорема 5) совокупно 2a 2a 2a 2a - b + D x = 2a, сти двух линейных уравнений Следовательно, в этом случае X x = - b - D.

2a состоит из двух решений.

Ответ. Если у квадратного уравнения (11):

1) a = b = c = 0, то X = R;

c ;

2) a = 0, b 0, то c R : X = - b 3) a = 0, b = 0, c 0, то X =;

4) a 0, D = b2 - 4ac < 0, то X =;

b ;

5) a 0, D = 0, то X = - 2a - b ± D 6) a 0, D > 0, то X ={x1, x2}, где x1,2 =.

2a Замечание 12. Методом математической индукции (начальные шаги которой сделаны при решении задач 1 и 2), можно доказать, что элементарное уравнение вида Pn (x) = 0,(n N), где Pn (x) = a0xn + a1xn-1 +... + an-1x + an - рациональная функция (многочлен n - ой степени с действительными коэффициентами), имеет множество решений X = R, тогда и только тогда, когда все его коэффициенты равны нулю, т.е. a0 = a1 =... = an = 0. Используя этот факт, легко доказать, что два многочлена одной степени тождественно равны, тогда и только тогда, когда у них равны все пары коэффициентов при одинаковых степенях переменной.

8. Примеры решений элементарных уравнений с одним неизвестным аналитическим методом Пример 1. Решить уравнение x2 - x + 2 - x - x2 = x -1.

Решение. ОДЗ: G = H1 I H2 I H3; H1 = {x R, x2 - x 0} = (-;0] U [1;);

H2 = {x R,2 - x - x2 0} = [-2;1]; H3 = {x R, x 0} = [0;).

Так как H1 I H2 = [-2;0]{1}, то G = (H1 I H2 ) I H3 = {0;1}.Таким образом, ОДЗ данного уравнения – конечное множество из двух чисел. Корни уравнения определяем подстановкой. Если x = 0, то f (0) = 2, g(0) = -1; f (0) g(0), значит, x = 0 не является корнем уравнения. Если x =1, то f (1) = 0, g(1) = 0, т.е.

f (1) = g(1), значит, x =1 является корнем уравнения.

Ответ. X = {1}.

Пример 2. Решить уравнение 1 1 1 + +... + =.

x(x + 1) (x + 1)(x + 2) (x + 4)(x + 5) Решение. ОДЗ: G = {x R, x 0, x -1, x -2, x -3, x -4, x -5} или G = R \ {0;-1;-2;-3;-4;-5}. Тождественно преобразуем левую часть уравнения 4 4 4 1 k) - (x + k)(x + k + 1) = (x + k + 1) - (x +1) = 1 k - 1 + 1 = (x + k)(x + k + x + x + k x + k k =0 k +0 k =0 k =4 4 1 1 1 1 1 = - = - =. Значит, на основании теоре x + k + 1 x + k x + k x x + 5 x(x + 5) k=0 k=0 k=5 мы 1, данное уравнение равносильно на G уравнению =. Теперь, приx2 + 5x меняя теоремы 2, 3, последовательно получаем уравнения x2 + 5x = 6, x2 + 5x - 6 = 0, равносильные исходному на G. Последнее уравнение -- простей- 5 ± 7 - 6G, шее квадратное с дискриминантом D = 49. Его корни x1,2 = = Зна 2 1G.

чит, X = {-6;1}.

Ответ. X = {-6;1}.

Пример 3. Решить уравнение x4 - 7x3 + 14x2 - 7x + 1 = 0.

Решение. ОДЗ: G = R.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.