WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 | 4 |
Введение Одним из особо важных типов задач, рассматриваемых уже в средней школе, являются задачи по решению уравнений с одним неизвестным. Как показывает практика общения с выпускниками школ и студентами младших курсов вузов у многих из них имеется значительный разрыв между приобретенными в школе техническими, вычислительными навыками и умениями решения уравнений и сознательным пониманием тех стратегических теоретических и логических основ, без которых правильно решить уравнение невозможно. В настоящем пособии приводится минимум таких знаний, необходимый для решения уравнений с одним неизвестным, достаточно легко обобщаемый на случай уравнений и систем уравнений с несколькими неизвестными. Описана структура аналитического метода решения элементарного уравнения с одним неизвестным и рассмотрены примеры, иллюстрирующие возможности этого алгоритма.

Пособие будет полезно старшеклассникам, слушателям подготовительных отделений при вузах и студентам, желающим углубить свои знания по математике.

Не исключено, что учителя средних школ и преподаватели подготовительных отделений найдут в пособии полезные примеры и задачи, которые можно было бы использовать в их работе.

1. Множества и операции над ними В этом параграфе в справочной форме приведены сведения из теории множеств, используемые при изложении содержания пособия.

Понятие множества является фундаментальным неопределимым понятием.

Интуитивно под множеством будем понимать собрание определенных вполне различимых объектов, рассматриваемых как единое целое. Отдельные объекты, из которых состоит множество, называются элементами его. Для обозначения конкретных множеств используются прописные (возможно с индексами) буквы A, X, A1, X1, для обозначения элементов множества используются строчные (возможно с индексами) буквы x,a, x1,a1. Если x - элемент множества X, то пишут x X ( - символ принадлежности). Множество, не имеющее ни одного элемента, называют пустым множеством (обозначается ). Множество может быть задано перечислением или описанием. Задание множества перечислением заключается в составлении полного списка всех входящих в это множество элементов, заключенных в фигурные скобки. Например, множества N = {1;2;3;...}, Z ={0;±1;±2;...} - это заданные перечислением множества натуральных и целых чисел соответственно. Задание множества описанием состоит в записи всех свойств его элементов, заклюp ченных в фигурные скобки. Например, множества Q = {x = ; p Z; q N}, q I ={x R; x - числа с бесконечной непериодической дробной частью} - это множества рациональных и иррациональных чисел соответственно, заданные описательно. Множество B называют подмножеством множества A (обозначается B A), если любой элемент множества B (b :b B) является элементом множества A. Если хотят подчеркнуть, что множество A содержит элементы, не принадлежащие B (a A, a B), то пишут B A ( - символ строгого включения).

Например, N Z Q I R. Два множества A и B называются равными (обозначается A = B ), если одновременно A B и B A. Пересечением или произ ведением двух множеств A и B называется множество C (обозначается C = A I B ), состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству A, так и множеству B. Множества A и B называются непересекающимися, если A I B =. Объединением или суммой двух множеств A и B называется множество D (обозначается D = A U B ), состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат или A, или B. Например, Q U I = R = (-;) - множество всех действительных чисел. Разностью множеств A и B называется множество E (обозначается E = A \ B ), состоящее из всех элементов множества A, которые не принадлежат множеству B. Приведем некоторые свойства операций объединения и пересечения множеств и два полезных обозначения:

A U B = B U A, A I B = B I A;

A U (B U C) = (A U B) U C, A I (B I C) = (A I B) I C;

A U (B I C) = (A U B) I (A U C), A I (B U C) = (A I B) U (A I C);

если A B, то A U B = B, A I B = B; A U = A, A I =;

n n A1 I A2 I... I An = ; A1 U A2 U... U An = Ai.

IA U i i =1 i =Множество называется конечным, если число его элементов конечно, Множество называется счетным, если число его элементов бесконечно, но между ними и элементами множества N можно установить взаимнооднозначное соответствие. В противном случае бесконечное множество называется несчетным. Счетными множествами являются, например, числовые множества Z и Q, а несчетными – любой интервал или объединение интервалов и множество R.

2. Основные определения и терминология, связанные с понятием уравнения с одним неизвестным Определение 1.

Будем говорить, что две числовые функции одного действительного аргумента f (x) и g(x), соединенные знаком отношения равенства, задают уравнение с одним неизвестным x вида f (x) = g(x). (1) Определение 2.

Функции f (x) и g(x) будем называть функциями, порождающими уравнение (1), или, соответственно, левой или правой частью этого уравнения.

Определение 3.

Если числовые множества G1 = D( f ) R, G2 = D(g) R являются областями определения функций, порождающих уравнение (1), то множество G = G1 I G2 называется областью допустимых значений (ОДЗ) для неизвестного этого уравнения.

Замечание 1. Из определения 3 следует, что для любого значения x0 неизвестного x (x = x0) из ОДЗ уравнения (x0 G) можно найти числовые значения f (x0 ), g(x0) порождающих это уравнение функций и, следовательно, установить истинность отношения равенства этих функций в точке x0.

Определение 4.

Решением или корнем уравнения (1) называется всякое значение неизвестного x = a (a G), для которого верно числовое равенство f (a) = g(a). Другими словами, число a G является решением уравнения (1), если при подстановке его в уравнение получается верное числовое равенство.

Замечание 2. Из определения 4 следует возможность поиска корней уравнения (1) способом подбора, или подстановки, или угадывания, когда истинность предположения о том, что число x0 G является решением уравнения (1), следует из справедливости числового равенства f (x0) = g(x0). Подстановкой можно осуществлять и проверку корня уравнения, найденного другим способом. Метод подбора не является, конечно, универсальным уже потому, что найти только подстановкой все корни уравнения x2 + 2x + 1 + x2 - 2x + 1 = 2 невозможно, так как корнями его являются все числа из отрезка [-1;1]. Однако, если после угадывания каких–то корней удается доказать, что других корней нет, то «решение подбором» становится вполне законным.

Замечание 3. Из определения 4 вытекает геометрическое истолкование корня уравнения (1) как абсциссы точки пересечения графиков функций, порождающих это уравнение. Значит, возможно, чаще всего приближенное, определение значений корней уравнения (1) геометрическим способом, т.е. путем построения графиков функций с последующим нахождением абсцисс их общих точек.

Определение 5.

Множество всех корней уравнения (1) называется множеством решений этого уравнения, а решить уравнение – это, значит, найти такое множество.

Будем обозначать через X множество решений уравнения (1). Очевидно, что X G. Если уравнение не имеет корней, то его множество решений является пустым множеством, т.е. X =. Множество решений уравнения (1) может быть конечным, счетным и несчетным. В последнем случае можно говорить о том, что равенство (1) является тождеством на множестве X.

Определение 6.

Будем говорить, что уравнения fi (x) = gi (x) с Gi, Xi (i =1,...,n) образуют совокупность уравнений с множеством решений T, что обозначается так f1(x) = g1(x),................... (2) fn (x) = gn (x);

n если T =, т.е. любое решение совокупности (2) является корнем хотя бы UX i i =одного из уравнений этой совокупности, и все корни каждого из уравнений совокупности являются ее решениями.

Определение 7.

Будем говорить, что уравнения fi (x) = gi (x) с Gi, Xi (i =1,...,n) образуют систему уравнений с множеством решений S, что обозначается так f1(x) = g1(x),................. (3) fn (x) = gn (x);

n если S = Xi, т.е. любое решение системы (3) является корнем всех уравнений I i=этой системы, и все общие корни всех уравнений системы являются ее решениями.

Определение 8.

Уравнение (1) называется равносильным на множестве H уравнению f1(x) = g1(x), (4) с множеством решений X1, если X I H = X1 I H. (5) Замечание 4. Очевидно, что если уравнение (1) равносильно на множестве H уравнению (4), то и уравнение (4) равносильно на этом множестве уравнению (1).

Поэтому равносильные или эквивалентные на множестве уравнения часто обознаH чаются так f (x) = g(x) f1(x) = g1(x).

Замечание 5.. Если H = G и известно множество решений X1 равносильного уравнения, то, так как X G, из (5) получаем X = X1 I G. Обобщая, имеем, если m G = Gk, причем Gi I G =, i j и k {1,...,m}найдено X соответствующеU j k k =m го равносильного уравнения, то X = U(X I Gk ).Таким образом, множество решеk k =ний уравнения (1) можно найти, зная множество решений уравнений, равносильных ему на частях G, не имеющих общих точек.

Замечание 6. Для доказательства равносильности двух уравнений на множестве H надо доказать равенство двух числовых множеств (5), т.е. доказать, что все корни первого уравнения из H являются корнями второго и, наоборот, что все корни второго из H являются корнями первого.

Замечание 7. Для равносильности уравнений справедливо свойство транзитивности. Это следует из транзитивности отношения равенства множеств: если X = X1, а X1 = X, то X = X.

2 Определение 9.

Уравнение (1) равносильно на H совокупности уравнений (2), если X I H = (T I H ) I G.

Замечание 8. Если H = G и известно множество решений T равносильной совокупности уравнений, то X = T I G.

Определение 10.

Уравнение (1) равносильно на H системе уравнений (3), если X I H = (S I H ) I G.

Замечание 9. Если H = G и известно множество решений S равносильной системы уравнений, то X = S I G.

3. Основные теоремы о равносильности уравнений Структура доказательства большинства из приведенных в этом параграфе теорем основана на замечании 6. Поэтому ниже, в качестве иллюстрирующих примеров, будут доказаны только некоторые из них.

Теорема 1.

Любое тождественное преобразование на множестве H G функции f (x) или функции g(x) дает уравнение равносильное на G уравнению (1).

Замечание 10. Прежде чем доказывать теорему 1, напомним: 1) две функции u(x) и v(x) называются тождественно равными (тождественными) на множестве H H (H D(u), H D(v)), если x H : u(x) = v(x) (или u(x) v(x)); 2) всякое преобразование функции, приводящее в результате к функции, тождественной первой на некотором множестве, называется тождественным преобразованием.

Доказательство теоремы 1. Предположим, что после тождественных преобразований получены следующие тождества H f (x) f1(x), (6) H g(x) g1(x), и составлено уравнение f1(x) = g1(x). (7) Тогда a (H I X ) : f (a) = g(a) и, в силу тождеств (6), f1(a) = f (a), g1(a) = g(a).

Следовательно, f1(a) = g1(a), т.е. a является решением уравнения (7) и a (H I X1). Наоборот, если a (H I X1) : f1(a) = g1(a) то, в силу тождеств (6), f1(a) = f (a), g1(a) = g(a). Следовательно, f (a) = g(a), т.е. a является решением уравнения (1) и a(H I X ). Таким образом, на основании замечания 6, множества H I X, H I X1 равны; значит, уравнения (1) и (7) равносильны на H. Теорема доказана.

Теорема 2.

Если обе части уравнения (1) умножить на одну и ту же функцию, определенную и не равную нулю на множестве H G, то получится уравнение равносильное на H уравнению (1).

Доказательство. Пусть функция (x) такова, что H D() и x H :(x) 0. (8) Рассмотрим уравнение f1(x) = g1(x), (9) где f1(x) = f (x) (x), g1(x) = g(x) (x). Теперь, если a (H I X ) : f (a) = g(a) то, в силу (8) и (9), f (a)(a) = g(a)(a) или f1(a) = g1(a). Следовательно, a является решением уравнения (7) и a (H I X1). Наоборот, еслиa (H I X1) :

f1(a) = g1(a), т.е. f (a)(a) = g(a)(a), то, умножая обе части последнего числового равенства на конечное число 0, получаем f (a) = g(a), т.е. a является (a) решением уравнения (1) и a(H I X ). Таким образом, на основании замечания множества H I X, H I X1 равны; значит, уравнения (1) и (9) равносильны на H.

Теорема 2 доказана.

Теорема 3.

Если к обеим частям уравнения (1) прибавить или от обеих частей отнять одну и ту же функцию, определенную на H G, то получится уравнение равносильное на H уравнению (1).

Следствие 1. Если любое слагаемое одной части уравнения перенести с противоположным знаком в другую часть его, то получится уравнение равносильное на G..

Действительно, предположим, например, что в уравнении (1) левая часть имеет вид f (x) = u(x) + v(x). Тогда, на основании теоремы 3, уравнение u(x) + v(x) = = g(x) будет равносильно на G уравнению u(x) + v(x) - v(x) = g(x) - v(x) или u(x) = g(x) - v(x), что и требовалось проверить.

Теорема 4.

Если на обе части уравнения (1) подействовать строго монотонной (возрастающей или убывающей ) на множестве U R функцией u(x) такой, что x H (H G) :u( f (x))U u u(g(x))U, то в результате получится уравнение f1(x) = g1(x), где f1(x) = u( f (x)), g1(x) = u(g(x)), равносильное уравнению (1) на множестве H.

Доказательство. Если a (H I X ) : f (a) = g(a) то, по определению действительной числовой функции (однозначной), u( f (a)) = u(g(a)) или f1(a) = g1(a).

Следовательно, a является решением уравнения f1(x) = g1(x) и a (H I X1).

Наоборот, пусть a (H I X1) : f1(a) = g1(a) или u( f (a)) = u(g(a)). Тогда, если f (a) g(a), то, в силу монотонности функции u(x), u( f (a)) u(g(a)). Значит, f (a) = g(a), т.е. a является решением уравнения (1) и a (H I X ). Таким образом, на основании замечания 6, множества H I X, H I X1 равны и рассматриваемые уравнения равносильны на H. Теорема 3 доказана.

Следствие 2. На основании теоремы 4, следует, что уравнения f (x) a = ag(x),(a > 0,a 1); loga f (x) = loga g(x),(a > 0,a 1);

arcsin f (x) = arcsin g(x); arccos f (x) = arccos g(x); arctg( f (x)) = arctg(g(x);) m m arcctg( f (x)) = arcctg(g(x)); f (x) = g(x),(m N \ {1});

2m+1 2m+f (x) = g (x),(m N) равносильны на своих ОДЗ уравнению (1).

Теорема 5.

n Если уравнение (1) порождают функции f (x) = fk (x) и g(x) = 0, то оно k =равносильно на G совокупности уравнений fk (x) = 0,(k {1,...,n}).

Теорема 6.

n Если уравнение (1) порождают функции f (x) = fk (x) и g(x) = 0, причем k =x H (H G)k {1,...,n}: fk (x) 0, то оно равносильно на H системе уравнений fk (x) = 0,(k {1,...,n}).

Теорема 7.

Pages:     || 2 | 3 | 4 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.