WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 |

7.5. Переход к хаосу через перемежаемость и возникновение стохастичности за счет разрушения квазипериодических движений Детальный анализ системы Лоренца при больших r привел к обнаружению механизма стохастизации, получившего наименование «переход к хаосу через перемежаемость» и связанного с касательной бифуркацией слияния и последующего исчезновения устойчивой и неустойчивой периодических фазовых траекторий. Перед бифуркацией установившееся движение периодическое. Например, для системы (11) при p = 10, b = 8 3 оно существует, в частности, в интервале изменения параметра r 148,4;166,07. При r > 166,07 непосредственно [] после слияния устойчивого и неустойчивого циклов в движении системы ясно различаются две чередующиеся («перемежающиеся») стадии (фазы), одна из которых (ламинарная фаза) представляет собой регулярные колебания, мало отличающиеся от периодических, другая (турбулентная) - состоит из хаотических выбросов (рис.68). Объяснение такого перехода удобно провести при помощи одномерных отображений Пуанкаре, которые могут ввоx диться при приближенном анализе системы Лоренца. Особенностью при этом является немоноt тонный и разрывный характер функции последования P x, ( ) представленной на рис.69,70 толстыми линиями. Здесь под x поРис. нимается некоторая вспомогательная переменная, не совпадающая с той, что входит в уравнения (11). Си_ _ туация до слияния устойчивого x x=x 1,и неустойчивого циклов отраO жена на рис.69, где самим циклам отвечают неподвижные, точки O2,0 и O11.

Пусть теперь при изме2,нении параметра r средний O участок кривой функции последования поднимается над биссектрисой x = x. При этом устойчивая и неустойчивая неx подвижные точки будут сблиРис. жаться, затем сольются и пропадут - устойчивое периодиче_ _ ское исчезнет (рис.70). Для сисx x=x темы будет характерен длительный переходный процесс, соответствующий прохождению траекториями области вблизи только что исчезнувшего периодического движения.

После прохождения этой области система движется случайно (турбулентная фаза) до тех пор, пока не попадет в упоx мянутую область, и т.д. Здесь Рис. допустимо образное сравнение:

исчезающий в результате касательной бифуркации устойчивый цикл в окрестности точки бифуркации ведет себя подобно Чеширскому Коту, оставлявшему после себя парящую в воздухе улыбку (ламинарная фаза перемежающейся стохастичности). При удалении от точки перехода длительность ламинарных фаз сокращается, а турбулентных - увеличивается, и в результате ламинарные фазы исчезают.

Остановимся теперь на механизме стохастизации, обусловленном разрушением устойчивого тороидального интегрального многообразия. Спектр установившихся колебаний в автоколебательных системах с двумя и большим числом степеней свободы может содержать несколько несоизмеримых частот, например, две или три (не считая кратных гармоник). В фазовом пространстве таким колебаниям отвечает притягивающая незамкнутая обмотка тора (соответственно дву- или трехмерного). Когда параметры системы попадают в область синхронизации, на торе появляется устойчивый предельный цикл, что свидетельствует о переходе от квазипериодического движения к периодическому. При изменении параметров этот цикл может потерять устойчивость, и в фазовом пространстве системы одним из рассмотренных выше способов (например, через последовательность бифуркаций удвоения периода или через перемежаемость) может возникнуть странный аттрактор, что означает переход к хаотическому поведению.

Как следует из анализа [7,8], возможно также возникновение странного аттрактора непосредственно вслед за разрушением тора (без образования устойчивых предельных циклов), что является (наряду с рассмотренным выше) сценарием перехода к хаосу, типичным для систем с несколькими степенями свободы.

7.6. Осциллятор с отрицательным трением и демпфирующими ударами Примером системы, у которой изменение параметров вызывает переход к хаотическому поведению, может служить осциллятор с отрицательным трением и демпфирующими ударами.

Будем основываться на уравнении осциллятора x - 2 1 - x2 x + 2 x = 0, () где 0 и 0 < < 0, и введем для дискретных моментов времени, когда x = и x a > 0, дополнительное условие, заключающееся в мгновенном уменьшении скорости x под действием удара на величину p 0 < p < a :

() x+ = x- - p.

Такое уменьшение скорости в дискретные моменты времени может приводить к стохастичности.

Полагая = 0, рассмотрим сначала линейный осциллятор, для которого x = A e t cos t +, x = B et cos t +, () () где = 2 - 2, а,, A и B определяются через начальные значения x и x.

На рис.71 приведен фрагмент фа.

x зового портрета осциллятора, содержащий вертикальный участок фазовой траектоp рии, отражающий действие демпфирующего удара. Записывая последовательные положительные значения ординат x при, введем обозначеx = 0 как xn (n = 1,2,…) x ния y = xn x-0, y = xn+1 x+0.

Связь между y и y задается равенством Рис. qy, qy < a, y = (58) qy - p, qy a, где q = exp 2. Далее предполагается, что q < a a - p.

() ( ) Соотношение (58) можно трактовать как точечное отображение прямой в прямую. Возможные существенно различные графики этого преобразования изображены толстыми линиями на рис.72,73.

_ _ y y=y M a p/(q-1) N a/q y Рис. Если справедливо неравенство a > p q - 1, т.е. точка M лежит выше ( ) точки N (рис.72), то имеет место неограниченная раскачка осциллятора. Амплитуда колебаний скорости x с некоторого момента оказывается больше, чем p q - 1, после чего монотонно и неограниченно возрастает.

( ) Когда точка M лежит ниже точки N (рис.73), то есть при неравенстве, обратном (59), возможны два совершенно разных типа поведения осциллятора _ _ y y=y p/(q-1) N M a a/q y Рис. в зависимости от начальных условий: 1) при x 0 > p q - 1 имеют место на( ) ( ) растающие колебания; 2) при x 0 < p q - 1 возникают ограниченные хаоти( ) ( ) ческие колебания (рис.74), так что описанный линейный неусx тойчивый осциллятор с гасящими его колебания ударами оказывается стохастическим генератором.

t Теперь обратимся к нелинейному осциллятору > 0.

( ) Точное аналитическое представРис. ление для отображения y = P y ( ) при 0 получено быть не может. В зависимости от значений параметров,, 0, a и p возможны четыре характерных варианта взаимного расположения ветвей графика разрывной функции P y и прямой y = y (рис.75 - 78).

( ) _ В случае, представленном _ y=y y на рис.75, в системе при любых M начальных условиях устанавливаются периодические колебаNния, соответствующие устойчивой неподвижной точке N1. В случае рис.76 в зависимости от Nначальных условий возбуждаются либо периодические колебания, либо стохастические, т.е. в фазовом пространстве системы y имеются два аттрактора - предельный цикл и странный атРис. трактор. Наконец, в случаях, _ представленных на рис.77,78, _ y=y y при любых начальных условиях возможны только стохастичеNские колебания.

Переход от первого вари- M анта (рис.75) к третьему (рис.77) и от второго (рис.76) - к четверNтому (рис.78) происходит в результате слияния устойчивого и неустойчивого предельных циклов (последнему на рис.75,76 соответствует неустойчивая не- y подвижная точка N2 ).

Рис. В зависимости от того, _ произойдет это слияние ниже _ y=y точки M или выше ее, переходы y M оказываются различными по характеру. В первом случае до перехода странный аттрактор отсутствовал, а существовала лишь непритягивающая гомоклиническая структура. Слияние устойчивого и неустойчивого предельных циклов происходит как раз в области этой структуры, которая после слияния становитy ся притягивающей и образует Рис. стохастический аттрактор. По_ этому возникновение стохастичности _ y=y после такого перехода сопровождаетy ся перемежаемостью (рис.77). Во втором случае, когда слияние устойчивой и неустойчивой неподвижных точек M происходит выше точки M, странный аттрактор существовал и до перехода наряду с устойчивым предельным циклом. Поскольку слияние устойчивого цикла с неустойчивым происходит вне области странного аттрактора, перемежаемости не возникает. При y изменении параметра в обратную стоРис. рону должен наблюдаться гистерезис, характерный для жестких переходов.

8. РАЗМЕРНОСТЬ СТОХАСТИЧЕСКИХ МНОЖЕСТВ 8.1. Понятие о фрактальной размерности В задачах стохастической динамики приходится иметь дело с объектами, описание которых целесообразно проводить, используя определение размерности, отличное от общепринятого. Как известно, при обычном подходе размерность может принимать только целочисленные значения. Например, для состояния равновесия (особой точки фазового пространства) она равна нулю, для предельного цикла - единице, для аттрактора в виде незамкнутой обмотки на двумерном торе (квазипериодическое движение) - двум.

Странный аттрактор, находящийся в некотором подпространстве фазового пространства, не сводится к таким простым образованиям. Странный (стохастический) аттрактор представляет собой множество (континуум) неустойчивых циклов. Степень заполнения подпространства фазовыми траекториями, образующими странный аттрактор, требует особой оценки.

Поскольку странный аттрактор - предельное множество, естественно прибегнуть к определению размерности, основанному на предельном переходе.

Согласно Колмогорову и Хаусдорфу введем определение фрактальной размерности d произвольного предельного множества G, к которому сходится заданная в N-мерном пространстве бесконечная последовательность множеств G1, G2,…, Gn,…:

d = lim ln M ln 1, (60) ( ) ( ) [] где M - минимальное число N -мерных кубиков со стороной, необходи( ) мых для покрытия всех элементов множества G.

Применив это определение для вычисления размерности точки, линии и (двумерной) поверхности, легко убедиться в привычных значениях 0,1 и 2 соответственно. Для нетривиальных множеств G размерность d может оказаться дробной. Если это так, то множество называют фракталом.

8.2. Фрактальные размерности множества Кантора и кривой Хельги фон Кох Классическим примером фрактала может служить предложенное Кантором множество, получаемое выбрасыванием средних третей прямолинейных отрезков (рис.79) и понимаемое как предельное для последовательности множеств G1, G2,… Длина отрезка, полностью покрываю1 щего любой из M = 2n элементов множества Gn, n 8/равна 1 3. Следуя определению (60), найдем ( ) фрактальную размерность канторового множе7/ства: d = ln2 ln3 = 0,6309… 2/3 2/Как видно из рис.79, структура множества Gn+1 качественно повторяет структуру Gn.

Это свойство, получившее название масштабной инвариантности (самоподобия), присуще также и странным аттракторам.

Характерным примером фрактала являет1/3 1/ся кривая Хельги фон Кох. Способ построения 2/последовательности замкнутых ломаных Gn n = 0,1,2,…, сходящейся к этой кривой, () 1/понятен из рис.80. Там же указаны последовательные длины ломаных L0, L1, L2 и выражение 0 … GGдля длины Ln при произвольном n. Устремляя n к бесконечности, получаем кривую бесконечРис. ной длины, охватывающую конечную площадь.

В данном случае = a 3n при числе отрезков ломаной M = 3 4n, и вычисление фрактальной размерности дает d = ln4 ln3 = 1,2618… n=1 n=n=2 n - - L0 =3 4 =3 =3a L1 =3 a L2 3 a Ln 3 a Рис. В некоторых случаях фрактальная размерность непосредственно входит в выражения для измеряемых физических величин. С этим, по-видимому, впервые столкнулся британский исследователь Л.Ричардсон при попытке измерить длину береговой линии Англии, которая сильно изрезана. Заменив береговую a линию ломаной Lm =m с длиной звена и числом звеньев m, Ричардсон ( ) ( ) обнаружил, что длина ломаной при уменьшении неограниченно растет. Оказалось, однако, что при этом неизменной остается величина m d, где d ( ) больше единицы и имеет смысл фрактальной размерности. Для побережья Англии d = 1,24, для Австралии d = 113.

, 8.3. «Канторовость» структуры и размерность странных аттракторов Рассмотрим геометрическую структуру одного из типичных аттракторов, реализующихся в трехмерных системах. Речь пойдет об аттракторе, возникающем в результате каскада бифуркаций удвоения периода и напоминающем по виду ленту, которая складывается вдвое и замыкается на себя (рис.81).

S Рис. На самом деле фазовые траектории, образующие странный аттрактор, лежат на бесконечном числе поверхностей, расположенных в тонком слое вблизи упомянутой ленты. Такой аттрактор возникает, например, в системе Рёсслера, и в этом случае, как можно показать, его фрактальная размерность d 201.

, Пренебрегая толщиной аттрактора, движение на нем можно приближенно описать с помощью одномерного отображения Пуанкаре, связывающего координату предыдущего пересечения принадлежащей аттрактору траектории и секущей поверхности с координатой следующего пересечения.

Если ввести секущую Пуанкаре так, как показано на рис.81, то сечение Пуанкаре при относительно грубом рассмотрении даст близкую к одномерной кривую типа подковы (рис.82).

S S S S S Рис. 82 Рис. 83 Рис. Если увеличивать разрешающую способность, то проявляются канторовость структуры (см.рис.79) этой подковы и масштабная инвариантность (рис.83,84).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Выше затронуты лишь некоторые из широкого круга проблем теории динамического хаоса. Целый ряд вопросов сознательно опущен. К ним, в частности, относятся статистические (вероятностные) характеристики стохастических автоколебаний, возникающих в результате перехода к хаосу.

Отдельного внимания заслуживает стохастическая динамика распределенных систем. Хаотические движения сред или полей очень распространены в природе. Издавна известным примером такого движения является случайное, запутанное течение жидкости, наблюдаемое при достаточно больших скоростях в отсутствие случайных внешних сил или полей и именуемое гидродинамической турбулентностью. В общем случае под турбулентностью понимают стохастические автоколебания в распределенной системе, т.е. случайное движение нелинейной диссипативной среды или поля, совершающееся под действием неслучайных источников энергии.

Анализ стохастизации движений распределенных систем во многом (хотя и не во всем) подобен исследованию механизмов перехода к хаосу в дискретных системах, причем некоторые задачи могут рассматриваться при помощи конечномерных моделей. Отметим только, что в случае сплошных сред и полей имеются в виду хаотические изменения как во времени, так и в пространстве.

Наряду с переходом к хаосу возможно и в определенном смысле противоположное направление развития динамических систем, получившее название самоорганизации. Оно заключается в образовании структур (в том числе упорядоченных), которые устойчивы по отношению к изменениям внешних условий, и структур, способных к росту и распространению. Проблемы самоорганизации составляют основное содержание научной дисциплины, называемой синергетикой [7].

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.