WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |

На бифуркационной диаграмме (рис.55) правее штрихпунктирной линии µ > µ расположена область хаоса, в которой, правда, имеются участки () детерминированных движений (так называемые «окна периодичности»). Наb пример, с ростом µ при µ = µ = 1.75 = b = 1 + 8 3,83… рождается устой чивый трехоборотный цикл, претерпевающий при дальнейшем увеличении µ в некоторой точке бифуркацию удвоения периода. Родившийся шестиоборотный цикл превращается с ростом µ в двенадцатиоборотный и т.д. Этот каскад бифуркаций удвоения периода цикла, как и в рассмотренном выше случае, завершается переходом к хаосу.

В заключение параграфа заметим, что переход к хаосу через бесконечную цепочку бифуркаций удвоения периода (субгармонический каскад) типичен для широкого класса нелинейных динамических систем, включая распределенные.

7.3. Система Рёсслера В данном параграфе рассматриваются состояния равновесия и приводятся результаты компьютерного анализа периодических и хаотических движений конкретной автономной нелинейной системы.

Речь пойдет о математической модели, которая нашла применение при исследовании динамики химических реакций, протекающих в некоторой емкости с перемешиванием. Эта модель, предложенная О.Э.Рёсслером, базируется на трех дифференциальных уравнениях первого порядка:

x =- y - z, y = x + a y, z = b - cz + x z, (48) где a, b, c - положительные параметры, изменения которых могут приводить к бифуркациям динамической системы.

Приравнивая к нулю правые части первых двух уравнений системы (48), получим следующие соотношения для равновесных решений:

z0 =- y0 = x0 a. (49) Полагая равной нулю правую часть третьего уравнения (48) и учитывая (49), придем к квадратному уравнению x0 - c x0 + ab = 0, (50) неотрицательность дискриминанта которого является условием наличия у системы (48) равновесных решений:

c2 - 4ab 0.

Как легко видеть, при этом условии и при положительных a, b, c равенство (50) выполняется только для положительных x0. Можно также показать, что при положительном дискриминанте уравнения (50) у системы (48) имеются два состояния равновесия.

Процедура линеаризации, применяемая в (48) для исследования устойчивости (в малом) состояний равновесия, приводит к следующей системе уравнений первого приближения:

-, = + a, = z0 + x0 - c, (51) =( ) где,, - малые возмущения переменных x, y, z относительно их равновесных значений x0, y0, z0.

Выражая z0 через x0 согласно (49) и учитывая, что в соответствии с (50) x0 - c = -ab x0, запишем характеристическое уравнение системы (51):

- 1 - a 0 = 0.

- x0 a 0 + ab xРаскрывая определитель, придем к кубическому уравнению 3 + a2 2 + a1 + a0 = 0, (52) где a0 = ab x0 - x0, a1 = 1 + x0 a - a3b x0, a2 = ab x0 - a.

Далее воспользуемся критерием устойчивости Рауса - Гурвица.

По теореме Гурвица, необходимые и достаточные условия того, что у всех корней уравнения (52) вещественные части отрицательны, представляются системой трех неравенств:

a0 > 0, a a2 > a0, a2 > 0. (53) Опуская тождественные преобразования, приведем условия устойчивости состояний равновесия в следующей форме:

2 x0 < ab, x0 - b > a b - 1 x0 a3, x0 < b. (54) () Предполагая дискриминант уравнения (50) положительным, нетрудно убедиться в том, что для большего корня этого уравнения первое из условий (54) нарушается и, следовательно, соответствующее состояние равновесия всегда неустойчиво.

В рассматриваемых ниже частных случаях, когда b=a, второе и третье условия (54) противоречат друг другу, т.е. оба состояния равновесия неустойчивы, а значит, не могут быть реализованы.

Отсутствие у динамической системы устойчивых состояний равновесия показывает, что она должна находиться в постоянном движении, характер которого зависит от значений параметров a, b, c.

Приводимые в литературе [6,8] ре, x зультаты вычислений при a = b = 02 позволяют судить о том, что происходит с c=2,a=b=0,фазовыми траекториями, соответствующими установившимся движениям системы (48), при изменении параметра c.

В рассматриваемом случае y a = b = 02 при c, меньших c0 283, у сис,, темы имеется устойчивый однооборотный цикл, к которому с увеличением времени t стремятся остальные фазовые траектории.

Рост c приводит в конце концов к тому, Рис. что в точке c0 283 этот цикл теряет ус, тойчивость, происходит бифуркация удx c=3,a=b=0,воения периода, приводящая к рождению двухоборотного цикла, устойчивого в области c0 < c < c1 38, к которой примыка, ет область c1 < c < c2 4,15, где устойчив четырехоборотный цикл, и т.д.

y На рис.56 - 58 приведены проекции устойчивых одно-, двух- и четырехоборотного циклов на плоскость переменных x, y. Неустойчивый однооборотный цикл отмечен на рис.57 штриховой линией. На Рис. рис.58 изображения неустойчивых одно- и двухоборотного циклов отсутствуют.

x c=4,a=b=0,2 Как следует из компьютерного анализа, последовательность точек бифуркации c0, c1, c2,… y сходится к критическому значению c 4,2, выше которого система переходит в хаотический режим и в ее фазовом пространстве возникает странный аттрактор, имеющий при 42 < c < 4,6 слоистую, Рис. структуру.

Для c=4,3 проекция такого аттрактора (называемого также «ленточным») на плоскость x, y условно показана на рис.59.

x x c=4,3 c=4,a=b=0,2 a=b=0,y y Рис. 59 Рис. При c=4,6 слоистая структура странного аттрактора пропадает (рис.60).

xc =2,83 c c =3,8 c =4,0 3,2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 4,0 4,Рис. На рис.61 для системы Рёсслера построена бифуркационная диаграмма, по оси ординат которой отложены координаты x неподвижных точек сечения Пуанкаре плоскостью y + z = 0. Из первого уравнения (48) видно, что в этой плоскости координаты x фазовых траекторий достигают своих экстремальных значений xe.

Как следует из вычислений, реализуемое в таком случае точечное отображение может считаться почти одномерным Рис. (рис.62), причем для функции последования допустима аппроксимация квадратичной параболой, чем, в частности, объясняется хорошее соответствие бифуркационных диаграмм, приведенных на рис.55 и 61.

7.4. Система Лоренца. Жесткое возникновение стохастических колебаний Ниже рассматривается система дифференциальных уравнений (11), которая была составлена Э.Лоренцом для трехмодового дискретного приближения в задаче о конвективном течении жидкости между двумя горизонтальными неодинаково нагретыми плоскостями. К частному случаю уравнений Лоренца с b=1 можно прийти, рассматривая циркуляцию жидкости в круговой вертикально поставленной трубке, подогреваемой снизу. На системе (11) могут основываться математические модели других физических систем. В качестве примера можно привести некоторые схемы автогенераторов с инерционной нелинейностью.

Интерес к системе Лоренца, динамика которой подробно исследована с помощью качественных и численных методов, определяется прежде всего возможностями ее перехода в хаотические режимы.

Как показано выше, к числу особенностей фазового портрета системы (11) относится отрицательность дивергенции вектора фазовой скорости, что свидетельствует о повсеместном сжатии фазового объема. Опираясь на уравнения (11) и учитывая положительность коэффициентов p, r, b, можно указать область фазового пространства, в которую все фазовые траектории могут только входить. С этой целью временно перенесем начало координат в точку 0, 0, r + p и введем в рассмотрение полярный радиус R согласно равенству () R2 = x2 + y2 + z - r - p.

() Дифференцируя последнее соотношение по времени, принимая во внимание (11) и опуская промежуточные выкладки, имеем RR =- + y2 + 0,25b 2z - r - p - 0,25b r + p2 (55) () ( ) [px ].

Каждое из неравенств 2 x > r + p b p, 2 y > r + p b, 2z - r - p > r + p (56) ( ) ( ) является достаточным условием отрицательности правой части (55). Совокупностью всех трех неравенств задается часть фазового пространства, расположенная вне некоторого прямоугольного параллелепипеда. Согласно (55) и (56) на любой сферической поверхности, имеющей центр в точке 0, 0, r + p и на() ходящейся за пределами этого параллелепипеда, R < 0 и, следовательно, фазовые траектории, пересекая сферическую поверхность, могут только входить внутрь ограниченной ею сферы и ни одна не может выходить наружу. Из сказанного вытекает, что внутри сферы должно быть расположено по крайней мере одно притягивающее образование (аттрактор).

Выясним сначала условия, при которых у системы Лоренца имеются простейшие аттракторы - асимптотически устойчивые состояния равновесия.

Полагая равными нулю правые части уравнений (11), нетрудно получить равновесное решение, соответствующее особой точке, находящейся в начале координат (0,0,0) системы, а при условии r > 1 еще два равновесных решения x0 = y0 = ± b r - 1, z0 = r - 1, (57) ( ) которым отвечают состояния равновесия, обозначаемые ниже через C+ и C-.

Система линейных уравнений первого приближения для малых возмущений,,, используемая при исследовании устойчивости состояния равновесия (0,0,0), имеет вид p - = r, = -b.

=, - ( ) Из последнего уравнения, которое может рассматриваться отдельно, вытекает, что с течением времени возмущение стремится к нулю по экспоненциальному закону. Следовательно, ответ на вопрос об устойчивости или неустойчивости особой точки (0,0,0) определяется характером временных зависимостей для и, о котором можно судить по знакам вещественных частей корней характеристического уравнения 2 + p + 1 + p 1 - r = 0.

( ) ( ) Условием устойчивости в данном случае является неравенство r < 1, при выполнении которого точка (0,0,0) представляет собой устойчивый узел и согласно принятой классификации может быть обозначена как O3,0. При r, превосходящем единицу, начало координат теряет устойчивость и превращается в седловую точку типа O2,1.

Исследование устойчивости двух других особых точек приводит к кубическому характеристическому уравнению вида (52), где a2 = b + p + 1 a1 = b p + r a0- = 2pb r - 1.

( ) ( ) Из составляемых на основании теоремы Гурвица трех условий устойчивости (53) третье условие выполняется в силу положительности параметров p и b, первое - сводится к неравенству r > 1, совпадающему с условием существования равновесных решений (57), а второе - может быть записано в виде p - b - 1 r < p p + b + 3.

() () При p < 1 + b последнее неравенство справедливо при любых положительных r. В противном случае область значений r, при которых состояния равновесия C+ и C- устойчивы, определяется неравенствами 1 < r < rc, p p + b + ().

где критическое значение rc = p - b - Таким образом, при r < 1 единственным состоянием равновесия системы Лоренца является устойчивый узел O3,0 в начале координат. Когда r > 1, начало координат становится седловой точкой O2,1 и из него рождается два устойчивых состояния равновесия C± = ± br - b, ± br - b, r - 1, () т.е. при r=1 происходит бифуркация типа вил.

Как показывает анализ, при возрастании r от значения r=1 состояния равновесия C+ и C- являются последовательно устойчивыми узлами, затем ус1,2 тойчивыми фокусами и при r > rc седлофокусами O1 и O2,2.

По приведенным в литературе [7] результатам вычислений для p = 10 и b = 8 3, которым соответствует критическое значение rc = 24,74, можно проследить, как при возрастании r у сисz темы (11) изменяется взаимное распоc- c+ ложение основных элементов фазово..

го портрета: состояний равновесия, сепаратрис седла и предельных циклов.

Отдельные иллюстрации в ви10 < r < rде проекций на плоскость переменных 0 x x, z представлены на рис.63-67.

Рис. При 1< r < r1 = 1392 состояние, z равновесия (0,0,0) является седлом,..

имеющим двумерное устойчивое инc+ cтегральное многообразие и две неустойчивые одномерные сепаратрисы, стремящиеся к состояниям равновеr = rсия C+ и C- (рис.63). На рис.63 показаны проекции сепаратрис для слу0 x чая, когда C+ и C- устойчивые фоРис. кусы.

При r = r1 каждая из сепаратz рис становится двоякоасимптотической к расположенному в начале ко..

ординат седлу (рис.64). При переходе 1,1,r через r1 из замкнутых петель сепаратрис рождаются неустойчивые r < r < r(седловые) периодические движения 2,2 2,1 и 2. Вместе с этими неустой- 0 x чивыми циклами рождается не пока- Рис. занное на рис.65 очень сложно организованное предельное множество, в z котором содержится бесконечное число неустойчивых циклов, обра..

зующих гомоклиническую структуру.

Эта гомоклиническая структура при r < r2 = 24,06 не является притягиr < r < rc вающим множеством (аттрактором), и все траектории по-прежнему стре0 x мятся к состояниям равновесия C+ и Рис. C-. Ситуация на рис.65 отличается от представленной на рис.63 еще и тем, что теперь сепаратрисы идут к «не своим» состояниям равновесия. Взаимное 2,расположение неустойчивых циклов 12,2, 2 сепаратрис и устойчивых особых точек при r2 < r < rc схематично показано на рис.66. Наиболее важным является то, что в этом интервале изменения r в фазовом портрете системы (11) наряду с устойчивыми состояниями равновесия C± существует притягивающее множество, характеризующееся сложным поведением траекторий - аттрактор Лоренца.

При r, стремящемся к z rc 24,74, седловые циклы 12,2 и 2,2 стягиваются к состояниям рав..

новесия C+ и C- и при r = rc влипают в них. В результате при r rc состояния равновесия C± оказываются неr > rc устойчивыми (рис.67) и аттрактор Лоренца является единственным при0 x тягивающим множеством системы Рис. (11).

Таким образом, если устремлять r к rc со стороны меньших значений, то стохастичность в системе Лоренца возникает сразу, скачком, т.е. имеет место жесткое возникновение стохастических колебаний.

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.