WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 9 |

Однако, как показывает анализ [7], поведение сепаратрис на секущей может быть совершенно иным, чем на фазовой плоскости. Самое важное заключается в том, что сепаратрисы на секущей могут иметь бесконечное (счетное) число точек пересечения, соответствующих линии пересечения поверхностей устойs u чивого W неустойчивого W многообразий (рис.50). Поведение этих сепа( ) ( ) ратрисных поверхностей необычайно сложно и не нашло отражения на схемаs u тическом рис.50. Линию пересечения поверхностей многообразий W и W Пуанкаре назвал гомоклинической. Эта траектория является двоякоасимптотической, поскольку при изменении t от - до + она сматывается с седловой периодической траектории, а затем снова на нее наматывается. Окрестность гомоклинической траектории в фазовом пространстве называют гомоклинической структурой. На рис.51 изображены, хотя и не полностью, пересекающиеся сепаратрисы, представляющие собой, как отмечалось, следы пересечения поРис. верхностей интегральных многообразий с секущей плоскостью. При помощи одинаковой штриховки показаны участки гомоклинической структуры, отображающиеся друг в друга, кружками выделены точки отображения гомоклинической траектории. Характерно, что такая картина не исчезает при изменении параметров физической системы, т.е. гомоклиническая структура (как и гомоклиническая траектория) является грубой.

Гомоклиническая структура содержит бесконечное (счетное) множество седловых периодических траекторий, между которыми, как говорят, блуждает (при широком выборе начальных условий) осциллятор.

Малый фазовый объем в окрестности гомоклинической траектории со временем сложным образом деформируется и при t расплывается по всей структуре. Отсюда - локальная неустойчивость почти всех траекторий внутри структуры и вытекающая из этого сложность, запутанность движения внутри гомоклинической структуры.

Выше рассмотрена возможность появления гомоклинической структуры у нелинейной неавтономной системы 2-го порядка. Гомоклинические структуры могут быть и у автономных систем, но только при условии, что их порядок не меньше трех.

Если в фазовом пространстве системы существуют гомоклинические структуры, то это фактическая гарантия того, что динамика системы будет сложной (см. следующую главу).

7. МЕХАНИЗМЫ СТОХАСТИЗАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ (сценарии перехода к хаосу) 7.1. Вводные замечания Дальнейшее рассмотрение посвящено в основном нелинейным динамическим системам, которые отличаются хаотическим характером движений несмотря на то, что сами относятся к классу детерминированных. Последнее означает, что уравнения, используемые для описания процессов в таких системах, не содержат каких-либо случайных функций и для этих уравнений выполнены требования теоремы существования и единственности решений.

Открытие возможности случайного (стохастического) поведения детерминированных систем - одно из ярких достижений теории нелинейных колебаний. На первый взгляд, случайность и, следовательно, непредсказуемость в детерминированной системе возникает вопреки теореме существования и единственности решения уравнений, гарантирующей при заданных начальных условиях однозначное поведение системы. В действительности же переход к хаосу проявление ситуации, когда всем фазовым траекториям, не выходящим за пределы ограниченного объема фазового пространства системы, отвечают неустойчивые движения (состояния). Представим себе в фазовом пространстве динамической системы ограниченную область, из которой фазовые траектории не выходят. Для двумерных систем это утверждение означает, что фазовые траектории либо замкнуты, либо стремятся с течением времени к простому аттрактору (состоянию равновесия или предельному циклу), т.е. внутри области есть устойчивые траектории. Других возможностей для двумерных систем нет.

Однако для трехмерz ных систем и систем большей размерности предположение о том, что все фазовые траекто- y рии, остающиеся внутри ограниченного фазового объема неустойчивы, может оказаться справедливым. В трехмерном фазовом пространстве такое x поведение траекторий легко себе представить: они могут «разбегаться» по двумерной поверхности, а возвращаться Рис. выйдя в пространство. Траектория при этом может выглядеть, например, как раскручивающаяся спираль, хвост которой, возвращаясь к ее началу, вновь раскручивается (рис.52). Располагаясь подобным образом, траектория заполняет ограниченный объем, никогда не замыкаясь, и ведет себя очень сложно и запутанно. Помимо траекторий такого рода в ограниченной области фазового пространства (размерности, не меньшей трех) может оказаться множество седловых периодических траекторий и траекторий, двояко асимптотических к ним, что в совокупности образует гомоклиническую структуру.

Движения, изображаемые траекториями, принадлежащими гомоклинической структуре, неустойчивы согласно теории Ляпунова (коротко, неустойчивы по Ляпунову). Однако, если из некоторой окрестности гомоклинической структуры фазовые траектории при возрастании времени не могут выходить и все близкие к ней фазовые траектории в нее входят, то такая гомоклиническая структура называется поглощающей, т.е. в целом множество (континуум) траекторий, образующих гомоклиническую структуру, может оказаться устойчивым, как говорят, в смысле Пуассона (коротко, по Пуассону).

Наличие в нелинейных диссипативных системах притягивающей (поглощающей, устойчивой) гомоклинической структуры является необходимым условием возникновения динамической стохастичности. Если при этом также вовсе отсутствуют любые регулярные аттракторы, а все траектории притягивающего множества седловые либо двояко асимптотические к ним, то возникает в строгом смысле слова динамический хаос, математическим образом которого является так называемый странный аттрактор в виде упомянутого притягивающего множества. Этот аттрактор можно именовать также стохастическим.

Притягивающая гомоклиническая структура может породить не только стохастический аттрактор, но и своеобразное сочетание неустойчивых движений с устойчивыми движениями, имеющими очень тонкие области притяжения. Это соответствует так называемому хаотическому аттрактору, именуемому также квазистохастическим (или просто квазиаттрактором).

Различение стохастических и хаотических колебаний при нахождении их с помощью ЭВМ весьма затруднительно, так как и в том и в другом случае получается сложная, спутанная в клубок фазовая траектория.

Исследование стохастизации динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями, существенно облегчается при использовании метода точечных отображений. Рассмотрение отображений секущей поверхности (или гиперповерхности) в себя вместо отыскания полных решений дифференциальных уравнений означает переход от исходной системы с непрерывным временем к системе с дискретным временем. Имеется еще одно упрощающее обстоятельство, заключающееся в следующем. Оказывается, что среди детерминированных систем размерности N=3 (т.е. наименьшей, при которой у этих систем возможно хаотическое поведение) есть такие, для которых двумерные отображения при достаточно больших t сводятся к одномерным, а точнее - к почти одномерным. К одномерным могут сводиться точечные отображения и в случае приближенного исследования многих динамических систем размерности, большей трех. Поэтому отдельные характерные особенности перехода динамических систем к хаосу могут быть установлены из рассмотрения стохастической динамики одномерных отображений.

7.2. Переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода (теория Фейгенбаума) Один из механизмов стохастизации, реализуемых при изменении параметров динамических систем, состоит в бесконечной сходящейся последовательности бифуркаций удвоения периода предельных циклов.

В 1978 г. М.Фейгенбаум установил универсальные количественные закономерности перехода к хаосу через последовательности удвоения периода, присущие определенному классу одномерных отображений x = P x,µ, ( ) где µ - параметр, который может варьироваться.

Класс функций P x,µ определяется требованиями гладкости и невы( ) рожденности, а также возможностью квадратичной аппроксимации зависимости P от x вблизи максимума. Такие отображения имеют вид «перевернутой» параболы и описывают однозначное, но не взаимно однозначное, преобразование отрезка прямой в себя.

Универсальные свойства указанного класса отображений могут быть выяснены, если рассмотреть какое-либо одно из простейших квадратичных отображений, например, x = µ - x2. (39) В литературе рассматриваются и другие формы представления функций последования квадратичного отображения:

y = y 1 - y, > 0, (40) ( ) z = 1 - µ z2. (41) Графики для (39) и (40) приведены на рис.53.54. Легко видеть, что ото_ _ x y 0,µ 0 x 0 0,5 1 y Рис. 53 Рис. бражения (41),(40) сводятся к (39), если положить z = x µ, y = 05 + x,, = 1 + 1 + 4µ. Поэтому в последующем анализируется в основном отображение (39). Найдем для него области значений параметра µ, соответствующие устойчивым циклам различных периодов.

Условие устойчивости однооборотного цикла будем записывать согласно теореме Кенигса как условие устойчивости однократной неподвижной точки одномерного отображения x = P x :

( ) (1) < 1, (42) где (1) = P x0 - значимый с точки зрения исследования устойчивости муль( ) типликатор цикла, а x0 - координата неподвижной точки, определяемая уравнением (21).

Для двухоборотного цикла, координаты двукратных неподвижных то0 чек которого x1 и x2 удовлетворяют уравнению 0 x1,2 = P P x1,2, ( ) () условием устойчивости будет неравенство (2) < 1, (43) d 0 где (2) = P P x ( ) ( )x=x = d x P P x x=x = P x1 P x2.

( ) ( ) () d () ( ) ( ) d x 0 1 В общем случае имеем следующее условие устойчивости n-оборотного цикла с n-кратными неподвижными точками одномерного отображения 0 0 x1, x2,…,xn :

(n) < 1, n где мультипликатор (n) = ( ) P xi0.

i=Учитывая сказанное, легко видеть, что для отображения (39) (1) =-2x0.

Тогда условие устойчивости однооборотного (однопетлевого) цикла (42) приводится к виду x0 < 05, (44), где под x0 следует понимать больший из корней уравнения x0 = µ - x0, ( ) выражаемый формулой x0 =-05 + 025 + µ. (45),, Для меньшего корня условие (44) не выполняется ни при каких µ.

Из (44) и (45) вытекают следующие пределы изменения параметра µ :

- 025 < µ < µ0 = 075,,, которыми задается область устойчивости однооборотного цикла. Соответствующая область допустимого изменения параметра отображения (40) определяется неравенствами 1< < 0 = 3.

При µ > µ0 устойчивых однократных неподвижных точек нет, однако имеется область значений µ, начинающаяся от µ = µ0, в которой устойчивы 0 двукратные неподвижные точки. Каждой паре таких точек x1, x2 отвечает двухоборотный цикл, мультипликатор которого 0 (2) = 4x1 x2.

Условие устойчивости (43) в данном случае имеет вид 0 x1 x2 < 025.

, 0 Для отыскания координат двукратных неподвижных точек x1 и x2 запишем уравнения 2 0 0 0 x2 = µ - x1, x1 = µ - x2 (46) ( ) ( ) и перейдем к равенству разностей их левых и правых частей 2 0 0 0 x2 - x1 = x2 - x1.

( ) ( ) 0 0 0 Из последнего соотношения, учитывая, что x2 x1, т.е. x2 - x1 0, получим формулу 0 x2 + x1 = 1, 0 при помощи которой можно исключить x1 или x2 из любого уравнения системы (46).

В результате придем к квадратному уравнению 0 x1,2 - x1,2 + 1 - µ = 0, ( ) 0 свободный член которого 1 -µ равен произведению x1 x2, так что условие устойчивости двухоборотного цикла приводится к виду - 025 < 1- µ <,, или µ0 < µ < µ1 = 1,25.

Соответственно для отображения (40) область устойчивости двухоборотного цикла определяется неравенствами 0 < < 1 = 1+ 6 3,45.

Как показывает анализ, при условии µ1 < µ < µ2 1,устойчив четырехоборотный цикл, а при условии µ2 < µ < µ3 1,устойчив восьмиоборотный цикл и т.д.

При увеличении параметра µ в точках, разделяющих области устойчивости различных циклов, происходят бифуркации удвоения периода. Как вытекает из анализа, последовательность бифуркационных значений µ0, µ1, µ2, µ3,… накапливается к некоторой критической точке µ 1,401…, за которой все периодические движения становятся неустойчивыми. Для отображения (40) критической точкой является 357….

, В докритических областях значений параметров при приближении к критическим точкам наблюдается последовательное обогащение спектров колебаний субгармониками. В итоге в критических точках спектры становятся сплошными, что может трактоваться как свидетельство перехода к хаосу. Для конкретных динамических систем такой переход означает появление в их фазовых портретах странных аттракторов, содержащих континуумы неустойчивых циклов [6,8].

На рис.55 построена бифуркационная диаграмма (дерево бифуркаций) отображения (39), на которой по оси ординат отложены координаты неподвижных точек, а штриховыми линиями отмечены неустойчивые решения.

Сходимость последовательных бифуркационных значений µi к µ характеризуется отношением i = i i+1, (47) где i = µi - µi-Как следует из вычислений, 1 = 05, 2 0,118…,. 3 0026…,,, 1 423…, 2 455…, 3 465…,,, При i, стремящемся к бесконечности, отношение (47) сходится к величине = limi = 4,669201…, i называемой универсальной константой Фейгенбаума. К той же константе сходится при i также соотношение 0i = 0,i 0,i+1, где 0,i = µ0,i - µ0,i+1, а µ0,i - координаты последовательных точек пересечения дерева бифуркаций с осью абсцисс (рис.55).

x 1,1,0,0,0,µµµ01 µµµ 1,0 0,25 0,50 0,75 1,µµ -0,-0,Рис. Универсальный характер константы проявляется, в частности, и в том, что к ней можно прийти, основываясь также на вычислении бифуркационных значений i отображения (40):

i - i- = lim.

i i+1 - i Еще одно соотношение i = i i+1, где смысл величин i понятен из рис.55, вводится для того, чтобы охарактеризовать закономерность процесса дробления масштабов при бифуркациях. С ростом i это отношение сходится к величине = limi = 25029…,, i именуемой универсальным масштабным множителем, или второй константой Фейгенбаума.

Универсальной константой является также обозначаемый ниже через предел последовательности мультипликаторов неустойчивых циклов (1), (2),…, вычисленных в критической точке перехода к хаосу, т.е. при µ = µ или при =. Напомним, что при превращении циклов из устойчивых в неустойчивые (в точках бифуркации удвоения периода) эти мультипликаторы равны -1.

Упомянутый предел последовательности мультипликаторов в критической точке =-1,60119… Непосредственные расчеты для отображения (39) дают (1) µ -1,56, (2) µ -1,6046, что указывает на быструю сходи( ) ( ) мость последовательности к пределу.

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 9 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.