WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 9 |

Бифуркационная формула для этого случая Рис. N,1 N -2,3 N, + и соответствующая ей формула бифуркации в сечении Пуанкаре N -, ON -1,0 ON -3,2 + записаны в предположении, что траектория, образующаяся в процессе движения изображающей точки по поверхности тора, представляет собой не замыкающуюся на себя обмотку (для N = 3 см.рис.28). Последнее предположение означает, что вследствие бифуркации в системе вместо периодического движения устанавливается квазипериодическое. Наоборот, если траектория, описываемая изображающей точкой, сделав конечное число оборотов по поверхности N,тора, замыкается, то образуется более сложный, чем, лежащий на торе и называемый резонансным предельный цикл («периодическая обмотка»). Различают случаи сильных и слабых резонансов. О порядке резонанса судят по числу вращения Пуанкаре ( 2 в точке бифуркации), которое при замкну( ) той обмотке тора оказывается рациональным в отличие от случая незамкнутой обмотки (квазипериодический режим), когда оно иррационально [1,5].

Для рассмотренного в 1.2 примера, когда при N = 3 x, y, z изменяются с течением времени согласно (7), за период T движения, соответствующего замкнутой траектории на торе, углы и (см.рис.3) получают приращения, которые могут быть выражены следующими формулами:

= T = 2ml, = T = 2kl, где k, l, m - целые числа, причем k и m - взаимно простые (несократимые) целые числа. В случае такого резонансного цикла число вращения Пуанкаре равно = k m.

Сильными принято считать резонансы при m = 1, 2, 3, 4 (см.[6]).

Резонансным циклам, расположенным на тороидальной поверхности, в сечении Пуанкаре отвечают неподвижные точки отображения, в то время как для не замыкающейся на себя обмотки тора последовательные точки отображения с течением времени заполняют замкнутую кривую (например, цикл 2,в частном случае, представленном на рис.28). В обоих случаях рассматриваемое отображение условно называют точечным преобразованием окружности в окружность. Установлено, что, если для замкнутой траектории на торе (резонансный цикл) число вращения Пуанкаре выражается отношением k m, где k и m - взаимно простые целые числа, то неподвижные точки отображения имеют кратность m [1], а при иррациональном числе вращения, как ясно из предыдущего, отображение окружности в окружность не имеет неподвижных точек.

Периодические и квазипериодические движения, которым соответствуют фазовые траектории на двумерном торе, могут при изменении параметров претерпевать бифуркации, причем это могут быть как бифуркации, не сопровождающиеся разрушением несущего тора, так и бифуркации, при которых тор как гладкая интегральная поверхность исчезает. Приведем пример одной из бифуркаций, выражаемой формулой:

N,2 N -1, +, N,что означает исчезновение устойчивого тора вследствие его слияния с седловым. При этом формула бифуркации в сечении Пуанкаре такая же, как в случае слияния устойчивого и седлового циклов:

N -11 N -2,, + При некоторых бифуркациях тороидальных интегральных многообразий и, в том числе, связанных с разрушением тора, возможен переход к хаотическим движениям.

Отметим также, что не для всех бифуркаций периодических и квазипериодических движений может быть построено описание путем прямого сведения к изучению точечного отображения секущей [1].

6. ФАЗОВЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ТОЧЕЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В СЛУЧАЕ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ 6.1. Линейные системы, находящиеся под воздействием периодической силы Для неавтономной динамической системы анализ ее движений посредством фазового пространства отличается некоторыми особенностями. В случае, когда воздействие на систему изменяется во времени периодически, оказывается целесообразным использование так называемого расширенного фазового пространства, где в качестве одной из координат (наряду с переменными состояния) выбирается время t либо величина, линейно с ним связанная. Такой прием можно трактовать как переход от неавтономной системы N-го порядка к автономной системе ( N + 1)-го порядка.

Проиллюстрируем последнее утверждение приведением неавтономной системы, описываемой дифференциальным уравнением x + x = cos t, (37) к двумерной автономной системе.

Введя для этого вспомогательную переменную y = t, можем записать вместо (37) систему уравнений x =-x +cos y, y =.

В качестве конкретного примера рассмотрим контур, представляющий собой последовательное соединение сопротивления R, индуктивности L и источника гармоi нической э.д.с. e = E cos t (рис.41).

R Интегрирование дифференциального L e уравнения для тока di L + Ri = e Рис. 41 d t приводит к решению jt i t = Ae-t + Re I e, (38) ( ) ( ) где I = E Z - комплексная амплитуда гармонических колебаний тока в установившемся режиме, Z = R + jL - комплексное сопротивление, = L R - постоянная времени цепи, а константа A выражается через начальное значение тока i 0 и амплитуду активной составляющей Ia = Re I :

( ) A = i 0 - Ia.

( ) На рис.42,а толстой линией показано решение при A = 0, к которому согласно (38) с течением времени стремятся решения при произвольных начальi 2,i Ia Ia t 4/ / t-T[t/T] a) б) Рис. ных условиях. Весь график на рис.42,а - это своего рода фазовый портрет системы (на «фазовой полуплоскости»). Из него можно вырезать вертикальную полосу шириной, равной периоду воздействующей э.д.с. T = 2, и, соединив края разреза, перейти к фазовому портрету на цилиндрической поверхности, в котором решение при A = 0 (установившийся режим гармонических колебаний) представляется изолированной замкнутой траекторией - устойчивым предельным циклом 2,1 (рис.42,б). Остальные траектории в этом случае образуют двумерное устойчивое интегральное многообразие цикла. На рис.42,б выражение t T означает целую часть отношения t к T.

[ ] Для описания поведения траекторий с помощью отображения Пуанкаре вводится в рассмотрение зависимость значения тока в сечении t = n + 1 T, обо( ) значаемого через in+1, от значения in при t = nT, где n = 0, 1, 2,...

in+1 = Ia + in - Ia e-T.

( ) Если перейти к другим обозначениям, то i = P i, ( ) где P i = Ia + 1 i - Ia - функция последования, 1 = e-T - меньший единицы ( ) ( ) мультипликатор цикла. При i = i = Ia имеем устойчивую неподвижную точку, отвечающую циклу 2,1. В остальных случаях образуются последовательности точек отображения, которыми являются проекции на прямую t = 0 точек пересечения фазовых траекторий с прямыми t = nT (см.рис.42,а). При таком подходе реализуется преобразование, называемое точечным отображением сдвига [1].

Воспользуемся тем же подходом для i рассмотрения процессов в LC-контуре, соR держащем, как и предыдущая цепь, гармониL e ческую э.д.с. e = E cos t (рис.43). Обозначая C через q заряд емкости C, запишем дифференциальные уравнения Рис. di q d q L + Ri + = e, = i d t C d t и характеристическое уравнение однородной системы 2 + 2 + 2 = 0, где = R 2L - показатель затухания, а 0 = 1 LC - резонансная частота ( ) контура.

Предположим сначала, что > 0. Тогда оба корня характеристического уравнения 1,2 =- ± 2 - вещественны и отрицательны, а зависимости заряда q и тока i от времени удобно представить в следующей форме:

jt jt q t = v + w + Re Qe, i t = 1v + 2w + Re I e, ( ) ( ) ( ) ( ) где I = jQ = E Z, Z = R + jL + 1 jC, а v и w - вспомогательные функции, ( ) выражаемые через затухающие экспоненты посредством формул 1 v = v0 e t, w = w0 e t, в которых коэффициенты v0, w0 зависят от начальных значений заряда и тока.

В расширенном фазовом пространстве с координатами q, i, t (полупространство t 0 ) установившемуся режиму (вынужденным колебаниям) соответствует периодическая траектория 3,1 в виде винтовой линии, расположенной на поверхности кругового цилиндра, осью которого является ось t, а радиус равен I. Остальные фазовые траектории, стремящиеся с течением времени к траектории 3,1, образуют ее трехмерное устойчивое интегральное многообразие.

Проведя секущие плоскости при t = nT, где T = 2, а n = 0, 1, 2,..., осуществляя для точек пересечения каждой траектории с секущими плоскостями переход к проекциям на плоскость t = 0, получим последовательности точек отображения. При этом периодической траектории (цилиндрической спирали) соответствует неподвижная точка Qa, Ia, где Qa = ReQ, Ia = Re I.

() Определяемые в секущих плоскостях отклонения от неподвижной точки (возмущения) с ростом n убывают, что вытекает из следующих выражений:

= q nT - Qa = vn + wn, n = i nT - Ia = 1vn + 2wn, ( ) ( ) n 1 где vn = v0 en T, wn = w0 en T. Легко видеть, что как на плоскости, так и на плоскости wv,w неподвижной точкой является начало координат (0,0), а также, что последовательности точек отображения располагаются на кривых параболического типа (рис.44) и с ростом n стремятся к неподвижной точке, которая относится к типу O2,0 (в данном случае - это устойчивый узел. Отметим, что для принятого выше условия > 0 особая точка фазового портрета автономной системы оказывается того же типа.

wn...

..

.

.

..

.

..

...............

....

.

....

.

.

............... vn.

.

.

...

.

.

..

...

Рис. Рассмотрим теперь ситуацию, когда < 0. В этом случае удобна следующая запись для решения системы дифференциальных уравнений jt jt q t = Ae-t sin t + + Re Q e, i t = Be-t cos t + + Re I e, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) где = 2 - 2,а,, A, B, определяются при помощи начальных условий и соотношения i = d q d t.

При q 0 = Qa, i 0 = Ia имеем периодическое решение, к которому ( ) ( ) стремятся с течением времени решения, соответствующие другим начальным условиям. Однако характер этого стремления отличается от рассмотренного выше при > 0, что проявляется, в частности, в эволюции отклонений от неподвижной точки отображения Пуанкаре:

= q nT - Qa = A e-nT sin nT +, ( ) ( ) n n = i nT - Ia = B e-nT cos nT +.

( ) ( ) Как видно из построенного по двум последним формулам графика (рис.45), последовательные точки отображения располагаются на спиралях, что соответствует неподвижной точке типа устойчивый фокус. Последнее означает, что фазовые траектории, образующие устойчивое интегральное многообразие периодической траектории 3,1 с течением времени «навиваются» на нее. Особой точкой фазового портрета автономной системы при < 0 также является устойчивый фокус.

В рассмотренных примерах линейных систем при превращении автономной системы в неавтономную особая точка фазового портрета автономной системы становится неподвижной точкой сечения Пуанкаре, которой соответствует периодическое движение неавтономной системы. При этом тип точки n.

..

.

.....

.

.

.

.

............... n.

.

.

.

......

.

.

.

Рис. сохраняется. Данное правило может оказаться справедливым и в более сложных случаях нелинейных систем.

6.2. Нелинейный осциллятор Классическим примером нелинейного осциллятора является маятник.

Имеются и другие примеры, в том числе нелинейный колебательный контур.

Обратимся к варианту нелинейного осциллятора в виде шарика в желобе. Положение шарика будем характеризовать координатой x, отсчитываемой x Рис. вдоль желоба от нижней точки (рис.46).

Уравнение Лагранжа второго рода для данного примера можно записать следующим образом d T = Q, d t x где T = mx2 2 - кинетическая энергия шарика, а Q - обобщенная сила, соответствующая координате x.

Учитывая выражение для кинетической энергии, имеем очевидное соотношение mx = Q.

В случае автономной системы без потерь (консервативный осциллятор) Q =-П x, где П - потенциальная энергия шарика, характер зависимости которой от x иллюстрируется рис.47 (эта зависимость внешне похо жа на профиль желоба, но не совпадает с ним).

Имеющиеся соотношения позволяют записать следующую систему двух уравнений 1-го порядка:

xm 0 x1 x Рис. ' x = y, my = -Пx.

Поделив второе из уравнений на первое, получим дифференциальное уравнение фазовых траекторий ' d y d x =- Пx my.

( ) Интегрируя последнее и обозначая через y0 модуль y при x=0, придем к формуле y2 = y0 - 2П x m, ( ) при помощи которой могут быть выяснены характерные особенности фазового портрета автономного нелинейного осциллятора без потерь (рис.48).

Фазовый портрет автономного неконсервативного нелинейного осцил.

y=x x1 x xm Рис. лятора, получаемый на основании уравнения ' mx + hx + Пx = 0, выглядит в случае малых потерь так, как показано на рис.49.

.

y=x x xm Рис. Из рис.49 видно, что нижнему положению равновесия шарика (x=0) соответствует при малых потерях особая точка фазовой плоскости типа устойчивый фокус, а не центр, как в случае консервативного осциллятора (рис.48).

Вместо петли сепаратрисы, которая на рис.48 начинается и заканчивается в седловой точке xm,0, у неконсервативного осциллятора имеются две фазовые ( ) траектории, условно называемые устойчивой и неустойчивой сепаратрисами (рис.49). По первой из них изображающая точка стремится к седлу при t, по второй - при t -.

Предположим теперь, что на нелинейный осциллятор с малыми потерями воздействует внешняя гармоническая сила F t =µsint. Опираясь на урав( ) нение этой неавтономной системы и вводя для нее расширенное фазовое пространство x, x, t, рассмотрим последовательности точек отображений Пуанкаре на секущих плоскостях t = 2n, где n - целое.

При малых µ кривые, на которых в ближайшей окрестности неподвижной точки (0,0) располагаются последовательные точки отображений, образуют структуру, мало отличающуюся по виду от фазового портрета автономной системы в окрестности устойчивого фокуса. Сама точка (0,0) сечения Пуанкаре отвечает периодической траектории 3,1, а точки, ближайшие к (0,0), - фазовым траекториям устойчивого интегрального многообразия траектории 3,1.

Вместо седловой точки xm,0 фазового портрета автономной системы ( ) (рис.49) имеем на секущей седловую неподвижную точку, соответствующую седловому периодическому движению 2,2, а устойчивая и неустойчивая сепаs ратрисы превращаются в множества точек сечения устойчивого W и неус( ) 3,2, 3,Ws u W Рис. u тойчивого W интегральных многообразий траектории 2,2. Эти множества ( ) точек лежат на линиях, которые могут по-прежнему называться сепаратрисами.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 9 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.