WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 9 |

На рис.24 показан устойчивый предельный цикл (толстая сплошная линия), к которому все близко расположенные фазовые траектории стремятся при t. В секущей плоскости этот цикл дает неподвижную точку типа O2,0 (в данном случае - это устойчивый узел). Сам устойчивый цикл обозначается как 3,1. На рис.25 показаны седловой цикл 2,2 и соответствующая ему седловая, неподвижная точка O11. На рис.26 приводятся также примеры циклов на фазовой плоскости (N=2).

2, 2, 1, а) б) Рис. N,В общем случае циклы являются устойчивыми, циклы 1,N - неустойчивыми, остальные - седловыми.

Рассмотрим теперь для N=3 более сложный пример. Пусть в некотором сечении картина кривых, на которых помещаются последовательные точки отображения, подобна фазовому портрету, приведенному на рис.26,а. В этом случае (рис.27,а) под O0,2 следует понимать неподвижную точку, образованную пересечением неустойчивого цикла 1,3 с секущей плоскостью, а под циклом 2,1 - множество точек пересечения с секущей плоскостью не замыкающейся на себя обмотки тора, соответствующей устойчивому квазипериодическому движению и обозначаемой 3,2 (рис.27,б). Все прочие траектории, по крайней мере те, что находятся в ближайшей окрестности тороидальной поверхности, с течением времени стремятся к расположенной на этой поверхности квазипериодической траектории 3,2. На рис.28 для сравнения показан устойчивый предельный цикл 3,1, неподвижной точкой для которого является устойчивый фокус.

3,T 1,3,T а) б) Рис. Согласно общему правилу, расположенной на секущей гиперповерхноp+1, q+сти замкнутой траектории (циклу) соответствует тороидальное интеp+2, q+гральное многообразие, т.е. для 3,квазипериодического движения, представляемого не замыкающейся на себя p+2, q+обмоткой тора, размерности устойчивого и неустойчивого интегральных многообразий определяются следующими формулами:

s u dimW = p + 2, dimW = q + 2.

Рис. 5. БИФУРКАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ 5.1. Основные определения Под бифуркацией понимают приобретение движениями динамической системы нового качества при малом изменении ее параметров. Математическое описание большинства динамических систем опирается на дифференциальные уравнения и другие соотношения, зависящие от параметров. Изменение параметра может вызвать переход системы из одного состояния (режима движения) в другое состояние. Пример - возникновение периодических колебаний в генераторе Ван-дер-Поля при превышении порога самовозбуждения. Упомянутый переход представляет собой бифуркацию, а значение параметра, при котором он происходит, называется бифуркационным, или точкой бифуркации.

При более общем подходе к определению понятия бифуркации следует иметь в виду также ситуации, когда малое изменение параметра не приводит непосредственно к переходу системы из одного состояния в другое, но набор возможных состояний (режимов движения) либо увеличивается, либо уменьшается. Существенно то, что результатом бифуркации является качественная перестройка фазового портрета системы. Особо интересны ситуации, когда при прохождении точки бифуркации в системе возникают новые устойчивые режимы движения. Конкретные примеры подобного рода рассмотрены ниже.

5.2. Бифуркации состояний равновесия Обратимся к частному примеру динамической системы, процессы в которой описываются дифференциальными уравнениями x = y, y = µ + 3 x - x3 - 2y, где и µ - вещественные параметры.

Легко видеть, что обозначаемое через y0 равновесное значение переменной y равно нулю. Для равновесных значений x имеем кубическое уравнение x0 - 3 x0 = µ, которое, как показывает исследование (см.рис.29), при условии > 05 µ (29), ( ) 0 0 имеет три вещественных корня x1, x2, x3, а в противном случае - только один.

Задавая малые отклонения от равновесных значений и используя процедуру x - 3 x 3/µ x x xx0 - 3/- Рис. линеаризации, придем к следующему характеристическому уравнению линеаризованной системы 2 + 2 + = 0, где = 3 x0 -.

( ) Корни характеристического уравнения определяются выражением 1,2 =-1 ± 1 -.

Как и раньше будем придерживаться ( неочевидного) допущения о том, что тип особой точки ( x0, y0 ) на фазовой плоскости исходной нелинейной системы определяется только характером корней 1 и 2.

Считая условие (29) выполненным, заметим, что для особых точек, которым соответствуют наибольшее и наименьшее значения x0 (превышающее по модулю ), коэффициент >0. Отсюда вытекает отрицательность вещественных частей обоих корней характеристического уравнения, а значит, устойчивость этих двух особых точек, т.е. принадлежность их к типу O2,0. Можно показать, что при < 1 9 и любых µ, удовлетворяющих условию (29), коэффициент положителен, но не больше единицы, и, следовательно, обе особые точки являются устойчивыми узлами. Для расположенной между ними y 2,2,O O 1,x x0 O xxРис. третьей особой точки x0 <, т.е. <0, и характеристическое уравнение имеет вещественные корни разных знаков, откуда следует, что эта точка явля, ется седловой точкой типа O11. На рис.30 для µ= 0 и, меньшего 1/9, показан фазовый портрет системы, содержащей все три особые точки.

Если, оставляя значение неизменным, плавно изменять параметр µ от нуля в сторону увеличения или в сторону уменьшения, седло и один из узлов y x Рис. сближаются и при µ = 23 2 сливаются, образуя особую точку смешанного типа, носящую название седло-узел (рис.31). При дальнейшем увеличении модуля µ эта сложная особая точка исчезает и, таким образом, у системы пропадают два из трех состояний равновесия. Описанное явление называется седлоузловой бифуркацией, или бифуркацией срыва равновесия, и может быть представлено формулой, O2,0 + O11.

Такую бифуркацию называют также касательной (см.рис.29).

Теперь, положив для определенности µ= 0 и оставляя это значение фиксированным, будем плавно изменять параметр таким образом, чтобы он принимал как положительные, так и отрицательные значения. При < 0 система имеет только одно состояние равновесия x0 = 0, которому на фазовой плоскости соответствует особая точка типа O2,0 (устойчивый фокус при <-1 3, устойчивый узел при - 1 3 < < 0). При > 0 у системы три особые точки, из, которых одна является седловой точкой типа O11, а две другие - типа O2,0 (усx2,µ =O1,O 2, O 2,OРис. тойчивые узлы при 0 < < 1 6, устойчивые фокусы при >1 6). На рис.32 толстыми сплошными и штриховой линиями показана зависимость равновесных значений x0 от параметра.

Как следует из проведенного рассмотрения, в случае изменения параметра в сторону увеличения при = 0 происходит бифуркация, выражаемая формулой, 2,0 2,O2,0 O11 + O1,O2.

() Эту бифуркацию иногда называют бифуркацией типа вил, хотя, как и рассмотренную выше, ее можно назвать седло-узловой. При обратном направлении изменения формула бифуркации выглядит так:

2,0 2,0, O1,O2 + O11 O2,0.

() Зависимость, приведенная на рис.32, называется бифуркационной диаграммой.

Отметим, что в приведенных примерах бифуркаций состояний равновесия при бифуркационных значениях параметров (µ =±23 2 в первом случае и = 0 - во втором) больший корень характеристического уравнения 1 равен нулю. Общее свойство таково, что при плавных изменениях параметров значения каких-либо из корней характеристического уравнения в точках бифуркации переходят через мнимую ось, т.е. изменяются знаки их вещественных частей. Отметим также, что бифуркационным значениям параметров отвечают фазовые портреты, соответствующие так называемым негрубым (структурно неустойчивым) системам. Примером может служить фрагмент фазового портрета, приведенный на рис.31. Любое сколь угодно малое изменение параметра µ относительно значения 23 2 приведет либо к срыву равновесия, либо к расщеплению точки седло-узел на две: седло и узел. В то же время фазовый портрет, приведенный на рис.30, относится к грубой (структурно устойчивой) системе, поскольку в ней не происходит качественных изменений при варьировании µ в достаточно широких пределах.

Бифуркация срыва равновесия и бифуркация типа вил могут наблюдаться в общем случае N -мерной нелинейной системы. Соответствующие им формулы представляются в следующем виде:

, ON,0 + ON -11, (30), ON,0 ON -11 + O1N,0,O2N,0. (31) () Помимо рассмотренных возможны и иные виды бифуркаций состояний равновесия. С некоторыми из них мы познакомимся далее.

5.3. Бифуркации рождения (гибели) предельного цикла (бифуркации Андронова - Хопфа) Рассмотрим нелинейную автономную систему 2-го порядка R = R - R2, = 1 (32) () частным случаем которой (при = 1 ) является система (6).

Стационарными решениями первого из уравнений (32) являются, вопервых, состояние равновесия R0 = 0 (устойчивое при 0, неустойчивое при > 0 ) и, во-вторых, существующее только при 0 решение R0 =, соответствующее для > 0 устойчивому предельному циклу, т.е. гармоническим автоколебаниям.

На рис.33 показаны фазовые портреты системы для отрицательных и положительных значений параметра. Как следует из приведенных данных, при = 0 наблюдается качественное изменение портрета, называе>мое при переходе от отрицатель<ных значений параметра к положительным бифуркацией рождения 2,цикла из состояния равновесия. Как видно из бифуркационной диаграммы (рис.34), цикл рождается мягко. В случае обратного направления изменения параметра, гоРис. ворят, что при = 0 происходит бифуркация гибели предельного цикла (цикл «влипает» в состояние равновесия). Формула бифуркации рожде R 2, 2,0,O O Рис. ния цикла из состояния равновесия в данном случае выглядит так:

O2,0 O0,2 + 2,1. (33) Обратимся теперь к более сложной системе 2-го порядка:

R = R - 1 - R2, = 1.

( ) [] Опуская подробный анализ, приведем сведения о стационарных решениях первого из уравнений (см. также фазовые портреты на рис.35).

Состояние равновесия R0 = 0 устойчиво при < 1 (рис.35,а,б,в) и неус2, 2, 1, 0 RRa) <б) =в) 0<<г) >Рис. тойчиво при 1 (рис.35,г). Существующее при 0 решение R1 = 1 + соответствует при > 0 устойчивому предельному циклу, а при = 0 - полуустойчивому циклу (негрубая система). Наконец, при 0 < < 1 имеется отличное от нуля решение R2 = 1 -, соответствующее неустойчивому циклу. Как видно из фазовых портретов и диаграммы, приведенной на рис.36, точек бифуркации две: = 0 и =1.

2, R.

.

1.

1, O0,2, O Рис. В точке = 0 при изменении параметра в сторону увеличения возникают ( и притом жестко) два цикла, что называется бифуркацией рождения цикла из сгущения фазовых траекторий. Ее формула 2,1 + 1,2. (34) При =1 и том же направлении изменения параметра неустойчивый цикл 1,2 влипает в устойчивый фокус O2,0, в результате чего решение R0 = становится неустойчивым. Соответствующая бифуркационная формула имеет вид:

O2,0 + 1,2 O0,2. (35) Бифуркации, подобные описываемым формулами (33) и (35), могут иметь место в системах 3-го и более высоких порядков ( N = 3, 4,…):

N,1 N -1,ON,0 ON -2,2 +, ON,0 + ON -2,2.

В первом случае состояние равновесия из устойчивого переходит в седловое и при этом одновременно рождается устойчивое периодическое движеN,ние. Во втором случае при переходе устойчивого состояния равновесия ON,0 в седловое ON -2,2 в нем исчезает седловое периодическое движение N -1,.

N - мерным аналогом выражения (34) является бифуркационная формула N,1 N -1, +. (36) Эта бифуркация относится к числу тех, изучение которых может быть сведено к исследованию бифуркаций неподвижных точек отображения Пуанкаре. Формуле (36) соответствует бифуркация неподвижных точек вида ON -1,0 + ON -2,1, (37) которую можно сравнить с седло-узловой бифуркацией, обратной той, что представлена формулой (30).

Рис.37 является иллюстрацией правых частей формул (36),(37) для трехмерной системы (N = 3).

3,O2,O1, 2,Рис. Как отмечалось выше для уравнения (30), при бифуркационном значении параметра один из корней характеристического уравнения линеаризованной системы обращается в нуль. В случае формулы 3,1 + 2,это соответствует ситуации, когда один из отличных от единицы мультипликаторов периодического решения 3,1 при плавном изменении параметра выходит на единичную окружность в точке (0,1), после чего движение 3,1 исчезает, сливаясь с седловым.

5.4. Бифуркации удвоения периода цикла и рождения тороидального интегрального многообразия На рис.38 изображены фрагменты фазовых портретов некоторой автономной трехмерной системы до и после бифуркации удвоения периода цикла, а также схематически показаны временные диаграммы для устойчивых периодических движений.

3, 3, T.

3,.

2,.

O2 O1,O2,2,Ot 2,3, T2 TРис. Эта бифуркация состоит в том, что из устойчивого однопетлевого цикла рождаются устойчивый двухоборотный цикл, которому соответствуют две дву2,0 2,кратные неподвижные точки сечения Пуанкаре O1, O2 и седловой цикл.

Описанное изменение фазового портрета выражается следующей бифуркационной формулой:

~ 3,1 3,1 + 2,2.

Легко также убедиться в том, что эволюция неподвижных точек соответствует бифуркации типа вил.

Что касается отличных от единицы мультипликаторов цикла 3,1, то в точке j бифуркации один из них становится равным -1 (см.рис.39). Последнее можно пояснить так: задаваемое по одной из координат -1 0 фазовой плоскости малое возмущение за один оборот вдоль траектории просто меняет знак, а после следующего оборота воз-j мущенная траектория замыкается.

Родившееся периодическое движеРис. ~ ние 3,1 при изменении параметра снова может потерять устойчивость через бифуркацию удвоения периода, приводящую к рождению четырехоборотного цикла, и т.д. Такие последовательные бифуркации могут представлять интерес в связи с изучением перехода динамических систем в режим хаотического поведения.

Отдельного внимания заслуживает ситуация, когда при изменении параметра перемещение мультипликаторов устойчивого периодического движения внутри круга единичного радиуса комплексной плоскости приводит к тому, что пара комплексно-сопряженных мультипликаторов выходит на единичную окружность в точках exp ± j, где ( ) 0,,, (рис.40). Если при дальней 2 j шем изменении параметра эта пара выходит за пределы единичного круга, замкнутый цикл, отвечающий периодическому реше -1 0 нию, теряет устойчивость, и из него рождается двумерное тороидальное интегральное многообразие - по образному выражению -j А.А.Андронова, «с цикла слезает шкура».

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 9 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.