WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 9 |

У двумерных систем ( N =2) циклов большей кратности не бывает. При N > могут быть не только однократные, но и двукратные, трехкратные и более сложные циклы (см., например, изображенный на рис.14 двукратный цикл в трехмерном фазовом пространстве).

3.3. Условие устойчивости однократной неподвижной точки одномерного отображения Вид функции P x, входящей в соотношения (20), (21), при x, близких ( ) к x0, полностью определяется характером поведения фазовых траекторий вблизи цикла, которому соответствует неподвижная точка M0 (рис.8). Это позволяет условие устойчивости цикла называть на языке точечных преобразований условием устойчивости неподвижной точки.

Для вывода последнего подставим в (20) x = x0 +, x = x0 +, где и - возмущения в моменты t и t соответственно.

Учитывая (21) и малость, нетрудно прийти к соотношению = P x0, ( ) d x где величина P x0, равная производной при x = x0, является мультип( ) d x ликатором, соответствующим координате, которая отсчитывается вдоль отрезка OQ (мультипликатор для поперечной координаты в случае двумерной автономной системы равняется единице).

Полагая t > t, заметим, что малые возмущения, относящиеся к последовательным точкам отображения x = P x, будут с течением времени убывать по ( ) модулю только в том случае, если P x0 < 1.

( ) Подобные рассуждения лежат в основе теоремы Кёнигса: неподвижная _ x x=x _ x=P(x) _ x_ xi +xk+1 xk x xi xi +1 xРис. d x точка x0 точечного отображения x = P x устойчива: если < 1, и не( ) d x x=x_ x _ x=P(x) x=x _ xxi+1 xi x0 xk xk+x Рис. d x устойчива, если > 1. Наглядными иллюстрациями справедливости d x x=xэтого утверждения могут служить диаграммы последовательных отображений в окрестностях устойчивой (рис.9) и неустойчивой (рис.10) неподвижных точек, называемые «лесенками» Ламерея.

В качестве примера вновь рассмотрим систему (6). Проинтегрируем первое из уравнений (6), предварительно помножив его на 2R-3. Получим формулу -2 -2t R-2 t = 1 + 0 1, (22) ( ) ( )[R ]e при помощи которой, учитывая линейную y зависимость фазового угла от времени t можно построить фазовый портрет (рис.11), _ содержащий, в частности, цикл R0 = 1.

M..

Выберем в качестве секущего отрезx -1 ка участок положительной оси x, для котоM рой = 2k k = 0,1,2…. В результате, () -принимая во внимание (22), придем к следующему выражению для функции послеРис. дования (рис.12):

= P(x) 1 + x-2 - 1 e-4 2. (23) () [] Условие (21) приводит к значению координаты неподвижной точки x0 = 1, которое соответствует устойчивому пре_ x дельному циклу.

x=x Учитывая (23), можно связь между малым отклонением от точки x_ x=P(x) и последующим значением представить в виде x = = e-4, где множитель перед является одним 0 x из найденных выше мультипликаторов Рис. (другой мультипликатор в данном случае равен единице).

3.4. Двумерные и многомерные отображения Пусть имеется автономная динамическая система 3-го порядка, причем процессы в ней описываются системой дифференциальных уравнений, для которой справедлива теорема единственности решения и его непрерывной зависимости от начальных условий. Будем интересоваться поведением траекторий динамической системы в какой-либо области трехмерного фазового пространства. Выберем затем некоторую поверхность, которая в каждой точке пересекается (без касания) фазовыми траекториями динамической системы. Такая поверхность называется секущей. Положение точек пересечения задается далее x на этой поверхности координатами x1, x2, либо двумерным вектором x =.

xПредположим, что некоторая траектория (рис.13) порождает на секущей точечное отображение, ставящее в соответствие любой точке M пересечения с ближайшую следующую за M точку M. Последовательность точек отобра x1 _..

M M xРис. жения, задаваемая пересечениями с в одном направлении, называется сечением Пуанкаре для траектории.

x Вектор x =, определяющий положение последующей точки оты x P скивается при помощи функции последования P = благодаря векторному P равенству, имеющему такой же вид, как скалярное соотношение (20), и эквивалентному системе двух равенств x1 = P1 x1, x2, x2 = P2 x1, x2.

( ) ( ) Если в качестве секущей поверхности выбрана плоскость, то говорят, что двумерной векторной функцией P задается точечное отображение плоскости в плоскость.

Замкнутые фазовые траектории порождают на секущей плоскости неподвижные точки. В простейшем случае однооборотного (однопетлевого) цикла x = x, что соответствует однократной неподвижной точке, положение которой определяется при помощи уравнения аналогичного (21):

x0 = P x0.

( ) При x x, но при x = x приходим к уравнению P P x0 = x0, ( ) () определяющему положения двух двукратных неподвижных точек M и K, возникающих в результате пересечения двухоборотного (двухпетлевого) цикла с секущей поверхностью (рис.14).

x.

K.

M xРис. В общем случае для n -кратных неподвижных точек, соответствующих n -оборотному циклу, имеем уравнение P(n) x0 = x0, (24) ( ) где P(n) x = P P… P P x - функция, получаемая n -кратным применением ( ) ( ) ) ( ( ( ) ) функции последования, а n = 1, 2, 3,...

Возможно применение большинства введенных выше определений для сечений траекторий N -мерного фазового пространства. Например, для секущей гиперповерхности размерности N -1 под x, x0, P, P(n) и возмущениями = x - x0 следует понимать векторы той же размерности.

Вводя обозначение (n) = P(n) x - x0, ( ) учитывая (24) и малость, нетрудно прийти к соотношению, получаемому в результате применения процедуры линеаризации:

(n) = D, (25) Pi(n) где D = Dij N -1,N -1 = - квадратная матрица ( N - 1)-го порядка.

[ ] x j N -1,N - x=xОпираясь на соотношение (25), можно исследовать устойчивость неподвижной точки x0, а значит, и цикла, соответствующего периодическому движению автономной динамической системы N -го порядка.

Собственные числа матрицы D, называемые корнями характеристического уравнения неподвижной точки, являются мультипликаторами 1, 2,…,, значимыми с точки зрения исследования устойчивости этого N -движения (для автономной системы = 1).

N 4. КЛАССИФИКАЦИЯ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ И КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ 4.1. Вводные замечания Приводимая ниже классификация относится к неконсервативным системам. В основе ее лежит анализ поведения фазовых траекторий в той области фазового пространства динамической системы, в которой содержится либо особая точка, соответствующая состоянию равновесия, либо фазовая траектория, отвечающая периодическому или квазипериодическому движению. Из фазовых траекторий, поведение которых анализируется, интерес представляют прежде всего те траектории, по которым изображающие точки при t + (1й вариант), либо при t - (2-й вариант) стремятся к особой точке или выделенной фазовой траектории, соответствующей периодическому или квазипериодическому движению. Множество всех фазовых траекторий, относящихся к 1-му варианту движения изображающей точки, образуют устойчивое интеs гральное многообразие W, а множество всех фазовых траекторий, относящихu ся ко 2-му варианту движения, - неустойчивое интегральное многообразие W.

В последнее множество включают также и те траектории, расстояние от которых до выделенной фазовой траектории с течением времени остается ограниченным, но не стремится к нулю. Сюда следует отнести и саму выделенную фазовую траекторию1.

Как будет видно из последующего рассмотрения, возможны ситуации, когда устойчивое (или неустойчивое) интегральное многообразие состоит из конечного числа траекторий (см., например, рис.19, 22, 23), что соответствует размерности многообразия, равной единице. Может оказаться, что фазовые траектории некоторого многообразия лежат на участке двумерной поверхности, причем через каждую точку участка поверхности проходит какая-либо траектория данного многообразия, размерность которого считается в этом случае равной двум. Случай, когда фазовые траектории, относящиеся к многообразию, целиком заполняют какую-нибудь область трехмерного пространства, соответствует многообразию размерности три, и т.д.

Классификация, речь о которой пойдет далее, опирается на значения s u размерностей устойчивого и неустойчивого многообразий: dimW и dimW.

Для устойчивого многообразия может, кроме того, применяться обозначение + s - u Sp, где p = dimW, а для неустойчивого - Sq, где q = dimW. Соответственно u s Выделенную фазовую траекторию относят одновременно и к W, и к W.

+ особая точка с интегральными многообразиями Sp и Sq обозначается в послеp,q дующем как O. Классификация состояний равновесия нелинейных систем проводится ниже в предположении, что необходимые сведения об особенностях поведения фазовых траекторий в окрестностях особых точек могут быть получены в результате анализа линеаризованных систем, хотя это допущение справедливо, строго говоря, не всегда.

4.2. Классификация состояний равновесия (особых точек) двумерных динамических систем Будем исходить из следующей формы записи дифференциальных уравнений, которыми описываются процессы в автономной нелинейной системе 2-го порядка ( N = 2 ):

x = P x, y, y = Q x, y. (26) ( ) ( ) Равновесные значения x0, y0 являются решениями уравнений P x0, y0 = 0, Q x0, y0 = 0. (27) ( ) ( ) Воспользуемся процедурой линеаризации для исследования устойчивости (в малом) какого-либо равновесного решения ( x0, y0 ) и соответствующей ему особой точки фазового пространства динамической системы. Полагая в (26) x = x0 +, y = y0 +, учитывая (27) и малость возмущений и, получим линейные уравнения 1-го приближения ' ' = Px + Py, = Q' + Q', x y где частные производные по x и y определяются в точке ( x0, y0 ).

Характеристическим уравнением линеаризованной системы является квадратное уравнение 2 + 2 + = 0, (28) ' ' ' где 2=- Px - Q', = Px Q' - PyQ'.

y y x Характер поведения траекторий на фазовой плоскости в окрестности особой точки ( x0, y0 ) определяется корнями 1, 2 уравнения (28) и, в частно.

.

Рис. Рис. сти, знаками их вещественных частей. Содержащие точку ( x0, y0 ) фрагменты возможных фазовых портретов представлены на рис.15-19.

Рис.15,16 соответствуют случаям, когда как у 1, так и у 2 вещественные части отрицательны и изображающие точки по всем траекториям в окрестности особой точки с ростом t стремятся к ней. Эти фазовые траектории обраs зуют двумерные устойчивые интегральные многообразия W точки ( x0, y0 ), u размерности же неустойчивых многообразий W, очевидно, равны нулю.

Особые точки на рис.15,16 относятся к типу O2,0 и называются устойчивыми ( первая из них - устойчивый фокус, вторая - устойчивый узел). Особые.

Рис. Рис. точки на рис.17,18 относятся к типу O0,2 и называются неустойчивыми (неустойчивый фокус и узел соответственно). Для них su Re1,2 > 0, dimW = 0, dimW = 2.

.

В случае, когда характеристическое уравнение (28) имеет два вещественных корня разных знаков, картина фазовых траекторий в окрестности особой точки выглядит так, как показано на.

рис.19. Имеется две траектории, по которым изображающая точка стремится к ( x0, y0 ) при t и которые образуют одномерное интегральное многообразие s W. Точно так же имеются две фазовые траектории, выходящие из точки ( x0, y0 ), Рис. по которым изображающая точка стреu мится к ней при t - dimW = 1. Особая точка на рис.19 относится к типу (), O11 и называется седловой (седлом).

4.3. Классификация состояний равновесия (особых точек) трехмерных динамических систем Исследование устойчивости в малом состояния равновесия нелинейной системы 3-го порядка N = 3 приводит к кубическому характеристическому ( ) уравнению линеаризованной системы:

3 + a2 + b + c = 0.

Как и в случае двумерной системы, тип особой точки определяется положением корней характеристического уравнения на комплексной плоскости = + j. Некоторые варианты взаимного расположения корней и со() ответствующие им трехмерные фазовые портреты в окрестности особой точки с указанием ее типа приведены на рис.20 - 23.

“ Устойчивый j фокус.

.

‘.

“ Устойчивый j узел...

‘ 3,O Рис. Особые точки типа O3,0 называются устойчивыми, типа O0,3 - неустойчивыми, типов O2,1, O1,2 - седловыми.

“ Неустойчивый j фокус.

.

‘.

“ Неустойчивый j узел...

‘ 0,O Рис. “ j Седло...

‘ “ j.

Седлофокус.

‘.

O2,Рис. “ j Седло...

‘ “ j.

Седлофокус.

‘.

O1,Рис. 4.4. Классификация состояний равновесия (особых точек) N мерных динамических систем Рассматривая для линеаризованной системы характеристическое уравнение N-й степени и полагая, что p его корней имеют отрицательную вещественную часть, а q корней - положительную, причем p + q = N, можно показать, что размерности интегральных многообразий особой точки в общем случае определяются равенствами s u dimW = p, dimW = q.

Таким образом, используя введенное выше для особой точки обозначеp,q ние O, определим точку ON,0 как устойчивую, а точку O0,N - как неустойчивую. Ситуация, когда и p, и q отличны от нуля, соответствует седловой особой точке.

4.5. Классификация периодических и квазипериодических движений динамических систем Периодические движения, представляемые в фазовом пространстве замкнутыми траекториями, классифицируются и обозначаются с учетом классификации и обозначений соответствующих им неподвижных точек сечений Пуанкаре, поскольку последовательные точки отображения лежат на кривых (см. пунктирные линии на рис.24, 25), подобных фазовым траекториям в окрестности состояния равновесия. В этом смысле неподвижная точка отображения Пуанкаре - аналог состояния равновесия, и для нее применимы определения и обозначения, введенные выше для особой точки.

3,2,Рис. Рис. s u Пусть для неподвижной точки dimW = p, dimW = q и используется p,q обозначение O. Тогда для соответствующей ей замкнутой траектории s u p+1,q+dimW = p + 1, dimW = q + 1, а сама траектория обозначается как. Таково правило, справедливое при произвольной размерности N фазового пространства. В данном случае N = p + q + 1, поскольку размерность секущей гиперповерхности, совпадающая с суммой p + q, должна равняться N - 1.

p,q Кроме того, принятый для неподвижной точки символ O означает, что из всех значимых с точки зрения исследования устойчивости периодического движения N-мерной автономной системы мультипликаторов 1, 2,…, число тех, что лежит внутри круга единичного радиуса ( i < 1), N -равно p, а число мультипликаторов, модуль которых превышает единицу, равно q. Напомним, что в данном случае мультипликатор равен единице.

N Сформулированное правило наглядно иллюстрируется приведенными на рис.24, 25 примерами, относящимися к трехмерным системам (N=3).

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 9 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.