WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 9 |

( ) ( ) pi qi Тогда, учитывая (9), имеем n p) = divF = Fi(q) qi + Fi( pi = 0, i=т.е. для гамильтоновой системы с изменением времени элементарный объем остается неизменным. Таким образом, если воспользоваться гидродинамической аналогией, то из полученного результата следует вывод, что для консервативной системы движение изображающих точек в фазовом пространстве интерпретируется как стационарное течение несжимаемой жидкости.

В неконсервативной системе divF отлична от нуля. В случае, когда divF отрицательна, с ростом времени происходит сжатие фазового объема, что соответствует диссипативной системе. Равенство нулю и отрицательность divF могут служить критериями соответственно консервативности и диссипативности динамической системы.

Обратимся к конкретным примерам. Сначала запишем уравнение маятника + 2 + 2 sin = 0, которое, если ввести угловую скорость =, можно заменить системой двух уравнений первого порядка:

=, =-2 - 2 sin.

В данном случае = divF = div, = -2, ( ) и при = 0 (маятник без потерь) мы имеем дело с консервативной системой, при > 0 - с диссипативной.

Другой пример - рассматриваемая в последующем система Э.Лоренца x = p y - x, y = x r - z - y, z = x y - b z, (11) ( ) ( ) где p, r, b - положительные параметры. Для нее = divF = div x, y,z =- p - 1 - b < 0, ( ) и согласно принятому критерию система Э.Лоренца относится к числу диссипативных.

2. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 2.1. Процедура линеаризации Для исследования устойчивости в малом решений систем дифференциальных уравнений широко используется основанный на процедуре линеаризации переход к так называемым уравнениям первого приближения. Суть этой процедуры состоит в следующем.

Пусть x0 = col xl0 - решение системы (1), либо системы (2), устойчи( ) N вость или неустойчивость которого нужно выяснить. Обозначим через отклонение от этого решения и, подставив x t = x0 t + t ( ) ( ) ( ) в (1а), либо (2а), получим = f (12) (,t), где в случае автономной системы f F + F x0, ( ) (,t)= (x )- а в случае неавтономной f F +,t F x0,t.

( ) (,t)= (x )- Заметим, что f 0,t = 0.

( ) Устойчивость или неустойчивость решения x0 t устанавливается по ( ) поведению решений уравнения (12) в окрестности точки = 0. Далее отклонение (возмущение) предполагается малым.

Ввиду трудности нахождения точного решения перейдем от уравнения (12) к приближенному уравнению, в правой части которого удержим только линейную относительно компоненту, а нелинейную - отбросим как имеющую более высокий порядок малости:

= A t. (13) ( ) Используя обозначения для элементов квадратной матрицы A и векторстолбца f в соответствии с формулами A = Aks N,N, f = col fk N, ( ) [ ] имеем fk Fk Aks ==. (14) s =0 xs x=xУравнение (13) лежит в основе последующего рассмотрения устойчивости равновесных и периодических решений.

2.2. Устойчивость состояний равновесия автономной системы Пусть соответствующее автономной системе уравнение (1а) имеет равновесное, т.е. не зависящее от времени, решение x0. В таком случае в правой части (12) нет явной зависимости от времени, а матрица A, входящая в линейное уравнение первого приближения (13), оказывается постоянной, что позволяет сразу записать решение этого уравнения в виде t = etA 0.

( ) ( ) Ответ на вопрос об устойчивости или неустойчивости решения x0 зависит от знаков вещественных частей собственных чисел постоянной матрицы A, т.е. корней,,…, уравнения 1 2 N det - E 0. (15) [A ]= где E = [ ] - единичная матрица.

ik N, N Как показал А.М.Ляпунов [2], если вещественные части всех корней уравнения (15) отрицательны, то равновесное решение x0 уравнения (1а) устойчиво и притом асимптотически. Если же хотя бы у одного корня уравнения (15) оказывается положительная вещественная часть, то решение x0 и соответствующее ему состояние равновесия неустойчивы.

Учитывая, что сумма корней,,…, равна следу матрицы A, и 1 2 N принимая во внимание (14), имеем N N N Fs Ass = [ ] = xs = div F.

s x=x s=1 s=1 s=x=xКак видно из последней формулы, для устойчивого равновесного решения x = x0 div F < 0, что означает сжатие элемента фазового объема с течением времени. Следует заметить, что в этом случае элемент фазового объема сжимается по всем координатам.

2.3. Устойчивость периодических решений Ниже рассматриваются неавтономная система, у которой правая часть уравнения (2а) зависит от t периодически с периодом T :

F x,t = F x, t + T, (16) ( ) ( ) и автономная система, процессы в которой описываются уравнением (1а) с правой частью, не содержащей явной зависимости от времени. И в том и в другом случае исследуется вопрос об устойчивости периодического решения x0(t) периода T, которое в случае автономной системы будет предполагаться отличным от состояния равновесия. Для неавтономной системы под T понимается либо период воздействующей на нее внешней силы, либо период изменения какого либо из параметров системы. Заметим, что во многих неавтономных системах при определенных условиях могут возникать движения с периодом, отличным от T (например, с вдвое большим периодом).

Периодичность решения x0(t) приводит к периодической зависимости от t правой части уравнения (12) f t f t + T (, )= (, ) и к периодичности матрицы A линейного уравнения первого приближения (13) A t = A t + T. (17) ( ) ( ) Как следует из теории линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами [3], решение уравнения (13) может быть записано в следующем виде:

t = t 0, ( ) ( ) ( ) где t - фундаментальная матрица уравнения (13), обращающаяся при t = ( ) в единичную матрицу E.

При условии (17) важное значение для ответа на вопрос об устойчивости или неустойчивости периодического решения x0(t) имеет характер собственных чисел матрицы t, т.е. корней,,…,N уравнения ( ) 1 det T - E 0. (18) ( ) [ ]= Эти корни называются мультипликаторами (или характеристическими числами) уравнения (13) с периодической матрицей A. Матрицу t иногда ( ) называют матрицей или оператором монодромии [4]. Находят применение также так называемые характеристические показатели,,…,, связанные 1 2 N с мультипликаторами посредством равенств i i = e T, i = 1,2,…, N.

Вещественные части характеристических показателей, выражаемые через отнесенные к периоду T логарифмы модулей i, часто именуются ляпуновскими показателями:

i = Re = ln.

i i T Можно показать[3], что в случае автономной системы, когда периодическое решение уравнения (1а) отлично от состояния равновесия, один из мультипликаторов уравнения (13) обязательно равен единице, т.е. один из ляпуновских показателей всегда равен нулю.

Теперь приведем без доказательства достаточные условия устойчивости периодического решения неавтономной системы [3].

Теорема Ляпунова. Пусть в уравнении (2а) правая часть периодична по t с периодом T согласно (16) и x0(t) - его периодическое решение также периода T (см.(4)). Если все мультипликаторы уравнения (13) с периодической матрицей A (см.(17)) по модулю меньше единицы, то решение x0(t) асимптотически устойчиво.

Приведенные условия означают, что на комплексной плоскости все точки, соот j ветствующие значениям мультипликаторов, в случае устойчивого периодического решения находятся внутри круга единичного ра-1 0 диуса с центром в начале координат (рис.5).

Те же условия можно сформулировать как требование отрицательности всех ляпунов-j ских показателей уравнения (13).

Следует подчеркнуть, что речь идет Рис. об условиях асимптотической устойчивости периодического решения неавтономной системы. Эти условия невыполнимы для автономной системы, поскольку периодическое решение автономной системы (отличное от состояния равновесия) не может быть асимптотически устойчивым. Поэтому для устойчивости периодического решения автономной системы будут даны (без доказательства) другие, более слабые достаточные условия [3]. При этом речь пойдет не об асимптотической устойчивости, а об удовлетворяющей менее сильным требованиям устойчивости по Ляпунову [1].

Теорема Андронова-Витта. Пусть x0(t) - периодическое решение периода T уравнения (1а), отличное от состояния равновесия. Если мультипликатор уравнения (13), равный единице, имеет кратность единица, а все остальные мультипликаторы уравнения (13) по модулю меньше единицы, то решение x0(t) устойчиво по Ляпунову.

На рис.6 показан возможный вариант расположения мультипликаторов в случае j устойчивого периодического решения автономной системы.

Проиллюстрируем положения теоре-1 0 мы Андронова-Витта на примере исследования устойчивости в малом периодического -j решения системы (5).

Имея в виду также систему (6) для Рис. полярных координат и полагая 0 = 0, за( ) пишем периодическое решение x0 = cos t, y0 = sin t и соответствующие ему равенства для R и :

R0 = 1, 0 = t.

Дадим R и малые приращения r и :

R = 1 + r, = t +.

Подставляя последние соотношения в (6) и учитывая, что r << 1, придем к следующим уравнениям r =-2r, = 0, имеющим решения r t = r 0 e-2t, t = 0.

( ) ( ) ( ) ( ) Выразим теперь возмущающие добавки и к стационарным решениям x0, y0 через r и, отбросив в окончательных выражениях малые более высокого порядка:

- x0 = 1 + r cos t + - cost = r t cost - t sin t, t = x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t = y - y0 = 1 + r sin t + - sin t = r t sin t - t cost.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Легко видеть, что в принятом приближении 0 = r 0, 0 = 0, ( ) ( ) ( ) ( ) и можно перейти к следующей матричной записи:

t ( ) = e-2t cost - sint ( ).

(19) t ( ) ( ) e-2t sint cost Квадратная матрица в правой части равенства (19) - это фундаментальная матрица t системы линейных дифференциальных уравнений для малых ( ) возмущений и. Тогда, учитывая, что в рассматриваемом примере период T = 2, можно записать уравнение (18) в следующей форме e-4 - = 0, 0 1 - откуда вытекают два значения мультипликаторов:

1 = e-4, 2 = 1.

Ляпуновские показатели оказываются равными соответственно минус двум и нулю.

Первый мультипликатор по модулю меньше единицы. Кратность второго (единичного) - равна единице. Таким образом, условия теоремы АндроноваВитта выполнены, а значит рассматриваемое периодическое решение устойчиво (по Ляпунову).

Как видно из (19), 2 = e-4 0, 2 = 0.

( ) ( ) ( ) ( ) Эти соотношения можно записать, используя 1, и 2 в качестве множителей:

1 2 = 2 0.

2 = 0, ( ) ( ) ( ) ( ) Последние равенства, связывающие значения возмущений в моменты времени, различающиеся на величину, равную периоду, могут служить пояснением происхождения термина «мультипликатор».

В общем случае получаемый из решения уравнения (13) N -мерный вектор T = T 0, ( ) ( ) ( ) откуда следует, что первоначальные возмущения периодического решения, рассматриваемые в проекциях на собственные векторы матрицы монодромии T, через период T умножаются на соответствующие мультипликаторы ( ) (собственные числа матрицы монодромии).

3. МЕТОД ТОЧЕЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 3.1. Вводные замечания Многие стороны поведения фазовых траекторий динамической системы могут быть выяснены путем исследования поведения точек пересечения траекторий с так называемым отрезком без контакта в случае двумерного фазового пространства, с секущей поверхностью в случае трехмерного фазового пространства или с секущей гиперповерхностью в случае фазового пространства большего числа измерений.

Такой подход лежит в основе метода точечных отображений, называемого также методом отображений Пуанкаре. С помощью этого метода удается как бы понизить размерность исследуемого фазового пространства. Кстати, для автономной динамической системы само введение фазового пространства можно трактовать как исключение оси времени, т.е. уменьшение числа измерений на единицу.

Родоначальниками метода точечных отображений считаются А.Пуанкаре и Дж.Биркгоф. В теорию нелинейных колебаний его ввел А.А.Андронов.

3.2. Одномерные отображения Имея в виду некоторую автономную динамическую систему 2-го порядка, будем интересоваться поведением траекторий в какой-либо области ее фазового пространства, которым для нее является двумерная поверхность (по большей части плоскость).

В отношении системы дифференциальных уравнений, которыми описываются процессы в рассматриваемой динамической системе, предполагаются выполненными требования теоремы единственности решения и его непрерывной зависимости от начальных условий.

Выберем на фазовой поверхности отрезок прямой или дуги гладкой кривой, в каждой точке которого траектории инx M тересующей нас системы пересекают его, _.M Q..

O _ нигде не касаясь. Такой отрезок OQ x (рис.7), называется секущим отрезком, или отрезком без контакта. Пусть изобраРис. жающая точка, движущаяся по траектории, в момент времени t совпадает с точкой M отрезка OQ. Если при дальнейшем движении изображающей точки вдоль кривой она будет вновь и вновь пересекать отрезок без контакта, то говорят, что точка M имеет последующие.

Условимся, что множество последующих точек задается пересечениями с OQ в том же направлении, что и в случае точки M. Обозначим через M первую (ближайшую к M) последующую точку, в которой изображающая точка окажется в момент времени t. Пусть x и x - координаты точек M и M, отсчитываемые вдоль отрезка OQ (рис.7). В силу непрерывной зависимости решений от начальных условий точки, близкие к M (для других траекторий) также имеют последующие, и в том числе близкие к M. Связь между координатами точек M и M задается функцией последования P :

x = P x, (20) ( ) выражающей закон некоторого точечного отображения отрезка OQ (или его части) в себя. Если OQ - отрезок прямой, то говорят о точечном преобразовании прямой в прямую. Помимо (20) возможны и другие формы записи упомянутого закона:

xi+1 = P xi, x i + 1 = P x i.

( ) ( ) ( ) ( ) В данном случае мы имеем разностное уравнение, а не дифференциальное, поскольку переменная x фиксируется лишь в дискретные моменты времени. Это различие не очень существенное. По крайней мере, связанные с ним трудности значительно меньше, чем трудности неxпосредственного исследования.

O MQ фазовых траекторий в окрестности не точки, а целой кривой. На этом основывается эффективность метода точечных отображений.

Рис. Для замкнутой фазовой траектории точка ее пересечения с отрезком OQ совпадает со своей последующей (рис.8), что приводит к уравнению x0 = P x0. (21) ( ) Точка M0 с координатой x0 называется при этом неподвижной точкой точечного отображения P.

Нахождение неподвижных точек отображения P помогает обнаружению замкнутых фазовых траекторий, в том числе предельных циклов. Неподвижная точка M0 на рис.8 соответствует однократному (однопетлевому) циклу.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 9 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.