WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |

Далее нечеткое множество для отличия от его четкого аналога А будем обозначать как A(F ) = {,hA( F ) }, где hA( F ) – его характеристическая функция. Более части нечеткое множество будем обозначать просто как A(F ).

Введем дополнительные уточнения в отношении A(F ).

Определение 21. Носителем нечеткого множества A(F ) называется обычное (четкое) множество As такое, что As ={ | hA( F ) > 0},.

Таким образом, если A А есть некоторое четкое множество, то As := A.

Заметим, что универсальное множество есть всегда четкое множество с характеристической функцией = 1.

Определение 22. Нечеткое множество A(F ) является конечным, если As есть конечное множество. Мощность такого нечеткого множества равна | A(F ) |=| As |.

При этом отметим, что для пустого нечеткого множества | A(F ) |= 0.

Определение 23. Нечеткое множество A(F ) является бесконечным, если As не является конечным.

Исходя из этого, мощность счетного бесконечного множества | A(F ) |=| As |= 0. Мощность несчетного бесконечного множества | A(F ) |=| As |=.

Определение 24. Множество -уровня есть A ={ | hA( F ) > }, [0,1].

Заметим, что множество -уровня A есть обобщение носителя нечеткого множества. При этом, если A ={ | hA( F ) }, [0,1], тогда As := A0.

Определение 25. Высота нечеткого множества есть sup{hA((F ) ()},.

Согласно этому определению нечеткое множество A(F ) пусто если sup{hA((F ) ()} = 0.

Определение 26. Нечеткое множество A(F ) называется нормальным, если, что hA( F ) () =1.

Определение 27. Нечеткое множество A(F ) называется субнормальным, если при sup{hA( F ) ()} = 1 hA( F ) () < 1.

Таким образом, всякое нормальное нечеткое множество A(F ) является субнормальным с условием, hA( F ) () =1.

Определение 28. Нечеткое множество A(F ) называется унимодальным (строго унимодальным), если его функция hA( F ) () является унимодальной (строго унимодальной).

Так, функция hA( F ) () для некоторого нечеткого множества A(F ) называется унимодальной на интервале [1,4 ] As, если она непрерывна на [1,4 ], а также существует некоторый непустой [2,3 ] [1,4 ] такой, что 1 2 3 4 и выполняются следующие условия:

1) функция hA( F ) () строго монотонно возрастает на интервале [1,2 ] при 1 < 2 ;

2) функция hA( F ) () строго монотонно убывает на интервале [3,4 ] при 3 < 4 ;

3) функция hA( F ) () принимает свое максимальное значение на интервале [2,3 ], т.е. любая точка m [2,3 ] является точкой максимума функции hA( F ) () относительно интервала [1,4 ] :

m = arg max {hA( F ) ()}. (2) [1,4 ] В этом случае любая точка m A(F ) нечеткого множества A(F ), удовлетворяющая условию (2), называется модальным значением или модой нечеткого множества A(F ). Если в этом определении интервал [3,4 ] вырождается в точку, т.е. 2 = 3, то соответствующая функция hA( F ) () называется строго унимодальной на интервале[1,4 ].

Определение 29. Ядром нечеткого множества A(F ) называется такое обычное множество C, элементы которого удовлетворяют условию C = { | hA( F ) =1}.

Не трудно заметить, что если произвольное нечеткое множество не является нормальным, то ядро такого нечеткого множества будет пустым. Таким образом, имеет место следующая фундаментальная теорема.

Теорема 2. Для того чтобы некоторое нечеткое множество A(F ) было нормальным, необходимо и достаточно, чтобы оно имело непустое ядро, C.

Поскольку высота нечеткого множества всегда существует, то произвольное непустое нечеткое мно(F ) жество A(F ) всегда можно преобразовать по меньшей мере к субнормальному нечеткому множеству A по формуле hA( F ) () h () =. (3) ( F ) A sup(hA( F ) ()) Более того, если в исходном нечетком множестве A(F ) найдется хотя бы один элемент A(F ), для которого значение функции hA( F ) () равно высоте этого нечеткого множества, то полученное по(F ) сле преобразования (3) нечеткое множество A будет нормальным.

Определение 30. Границами нечеткого множества A(F ) называются такие элементы (универсального) множества, для которых 0 < hA( F ) () <1.

Определение 31. Элементы нечеткого множества A(F ), для которых выполняется условие hA( F ) () = 0,5, называются точками перехода этого нечеткого множества A(F ).

Определение 32. Нечеткое множество A(F ) на называется выпуклым, если его характеристическая функция hA( F ) () удовлетворяет неравенству hA( F ) () min{hA( F ) (a),hA( F ) (b)},,a,b,a < < b и a b.

Определение выпуклости для нечетких множеств отличается от известного в анализе, поскольку имеет более общий математический контекст. Тем не менее, как отмечается в [14], его весьма удобно использовать на практике, поскольку кроме непрерывности характеристических функций оно применимо к конечным нечетким множествам, а также ко множествам, характеристическая функция которых не является непрерывной.

3.1.4.3 Нечеткая мера и ее пространство Пусть A(F ) есть нечеткое множество с его характеристической функцией hA( F ) (),. Меру общего вида для нечеткого множества A(F ) будем называть нечеткой мерой. При этом отметим, что нечеткая мера есть по определению v(A(F ) ) := I (hA( F ) ).

В силу того, что нечеткое множество обобщает понятие четкого множества, то мы можем говорить о существовании –алгебры нечетких подмножеств из, а также вводить в анализ конструкцию (нечеткого) измеримого множества.

Определение 33. Нечеткой мерой называется произвольное отображение v :А [0,1], где А – (нечеткая) –алгебра на, удовлетворяющее следующим аксиомам:

1) v(0) = 0, v ( ) = 1, (ограниченность);

/ 2) Ai A, Ai Aj, то v(Ai ) v(Aj ), (монотонность).

Иногда добавляется условие непрерывности [37], [14]:

3) если Ai A и { Ai,i I } является монотонной относительно включения последовательностью множеств, то lim (Ai ) = (lim Ai ), (непрерывность).

i i Данные аксиомы обуславливаются выполнением условий 1, 2 и следствия для I (), а также замечанием к определению меры в общем смысле.

Иногда нечеткую меру называют еще квазимерой [14].

Определим конструкцию пространства нечеткой меры.

Определение 34. Пусть (, А) есть (нечеткое) измеримое пространство с заданной на А и действующей в [0,1] нечеткой мерой v. Пространством нечеткой меры v будем называть математическую структуру вида (, А, v ), где – универсальное множество, А – (нечеткая) –алгебра на, v :А [0,1] удовлетворяет следующим аксиомам 1, 2, 3.

Данная математическая структура пространства с нечеткой мерой (, А, v ) является абстрактной конструкцией. Попытаемся несколько конкретизировать ее.

Пусть операции, для класса M измеримых функций f : R понимаются как обычные операции сложения и умножения. Тогда простая функция s определяется как n, s() = hDi,ci ai, Di Ai,hAi Ai.

ci i=s v Интеграл от по определяется как n I (s) = v(Ai ).

ai i=Данный интеграл можно понимать как интеграл Лебега [30] v с счетно-суммируемой мерой. Пространство (, А, v ) есть пространство счетно-суммируемой меры v.

n Если для данного вида простой функции s положить ci = ai - ai-1 а Di = то интеграл вида Aj j=i n I (s) = - ai-1)v(Di ) (ai i=можно рассматривать как интеграл Шоке [41] с счетно-сумми-руемой мерой v.

Таким образом, когда мера обладает свойством счетной суммируемости, а именно операции вида, понимаются как обычные операции суммирования и умножения соответственно, интеграл Шоке можно свести к интегралу Лебега [42].

Пусть теперь операции, для класса M измеримых функций f : R понимаются как операции, соответственно. Тогда простая функция s определяется как n n,s() = ai Di, Di =,a0 = 0.

Aj i=j=i s v Интеграл от по определяется как n I (s) = ai v(Di ).

i=v Данный интеграл можно понимать как интеграл Сугено [37] с - суммируемой нечеткой мерой.

v Пространство (, А, v ) есть пространство - суммируемой нечеткой меры.

Таким образом, эволюционно путем все большего усложнения мы получили в итоге некую абстрактную математическую конструкцию для моделирования неопределенности.

Пусть есть бесконечное счетное в общем случае универсальное множество состояний среды с А –алгеброй подмножеств из. Пусть далее = {...,i,i+1,i+1,...} занумерованная последовательность всех элементарных состояний среды и {..., gi, gi+1, gi+2,...} последовательность неотрицательных чисел gi = g(i ), поставленных им в однозначное соответствие и представляющих собой степень правдоподобности наступления определенного i.

При этом возможен переход к рассмотрению некоторого конечного множества состояний среды * = {ниж,...,верх}, ниж верх, *.

Границы * могут быть определены неправдоподобностью появления состояний i < ниж,верх <, ниж,верх *,i,.

j j Для любого A(F ) А правдоподобность его появления есть v(A(F ) ) = I (hA( F ) ).

Тогда при соблюдении аксиом 1, 2, 3 можем говорить что задано пространство нечеткой меры, а именно (, А, v ), где А – –ал-гебра нечетких множеств из, v :А [0,1] есть нечеткая мера.

При этом объективно ясно что заданное (бинарное) отношение упорядоченности на А, в частности количественное выражение правдоподобности, получаемое посредством v, должно учитывать какимлибо образом (бинарное) отношение порядка на, а, в частности, количественное выражение правдоподобности состояния среды, получаемое как g(). Покажем как осуществляется данная взаимосвязь.

Интеграл от s по нечеткой мере v есть n I (s) = ci v(Di ).

i=Первоначально будем рассматривать четкие множества из А. Пусть Ai = {i},, т.е Ai – точечное множество. Тогда v({i}) есть степень правдоподобности i состояния среды и следовательно по определению имеем v({i}) = g(i ), где g : [0,1] – функция, задающая степень правдоподобности состояний.

Положим m ci = 1,i = 1,m, A = = {1,...,m}.

Ai i=m Тогда степень правдоподобности события A есть v(A) = 1i g(i ). С другой стороны, v(A) = I (A).

i=Исходя из этого, мы можем записать следующее:

v(A) = I (A ) = A v({}).

В общем случае для нечеткого множества A(F ) А степень правдоподобности нечеткого события можно записать как v(A(F ) ) = I (hA( F ) ) = hA( F ) v({}).

3.1.4.4 Двойственные меры и интегралы Введем понятие двойственности для нечетких мер.

Определение 35. Нечеткая мера v* есть двойственная к нечеткой мере v если выполняется следующее условие (свойство обратного дополнения): v*() = 1- v().

Пусть (, А, v ) пространство нечеткой меры v. Тогда для произвольного нечеткого множества A(F ) из А справедливо следующее:

v*(A(F ) ) = 1- v( A( F ) ) = I ( ) - I (h ) = 1- I (1- hA( F ) ).

A( F ) 3.2 МОДЕЛЬ РИСКА 3.2.1 Пространство вероятности Для введения в анализ вероятностной меры и ее пространства положим, что операции, для класса M измеримых функций f : R понимаются как обычные операции сложения и умножения. Тогда пространство (, А, v ) есть пространство счетно-суммируемой меры v четких множеств из А, и интеграл по данной мере соответствует интегралу Лебега.

Так для всякой простой функции s, определяемой как n,s() = Ai ai i=s v интеграл от по определяется как n I (s) = v(Ai ).

ai i=Тогда мера множества A А, определяемая как v(A) = I (A) = v({}), A есть вероятностная мера v =: и v({}) = g() =: p() – распределение вероятности.

Определение 36. Математическая структура (, А, ) есть пространство вероятностной мерой : А [0,1], удовлетворяющей следующим аксиомам:

1) (0) = 0, () = 1, (ограниченность);

/ 2) Ai A, Ai Aj, то (Ai ) (Aj ), (монотонность) 3) = ), где Ai А, Ai Aj =, i j (аксиома счетной или - суммируемости) Ai (Ai iI iI Определение 37. Пусть (, А, ) – вероятностное пространство. Тогда функция p : [0,1] есть распределение вероятностей, p() := ({}).

Исходя из этого, (A) = p().

A Как уже отмечалось ранее, вероятностная мера является самодвойственной. А именно:

( A) = 1 - (A).

3.2.2 Моделирование неопределенности на пространстве вероятности 3.2.2.1 Ситуация риска. Рисковые факторы Для построения модели вероятностной неопределенности (модели риска) рассмотрим еще раз задачу принятия инвестиционного решения.

Пусть имеется множество решений (действий) D, множество всевозможных состояний среды и множество результатов R, достижимых посредством действий из D при условии, что среда оказалась в некотором состоянии. Математическая модель данной ситуации есть отображение : D R, так что принятие решения d D при приводит к результату r = (,d) R.

Задавая на структуру вероятностного пространства (, A, ) а на множестве R структуру измеримого пространства (R,B) будем считать отображение измеримым (при каждом фиксированном d D ) относительно пары –алгебр A,B.

Таким образом, при каждом фиксированном d каждому состоянию можно ставить в соответствие отображение d : R так, что при условии наступления состояния решение d приводит к результату r = d () R.

Пусть теперь каждому событию B B мы ставим в соответствие в качестве его прообраза А А, причем A = -1(B), тогда распределение на множестве состояний среды и отображение d порождает на d (R,В) вероятностное распределение pd с вероятностью Р (B) = Р( -1(B) ), B В.

d d Каждое решение d D приводит при наличии «измеримой» (по вероятности) неопределенности к некоторому распределению pd, обусловленному случайным характером.

Решение данной задачи заключается в выборе ЛПР такого решения d D, которое приведет к наилучшему pd из семейства Р = {pd, d D}.

Определение 38. Измеримая функция d : R есть случайная величина.

Определение 39. Измеримая функция = {d,d D} есть случайный элемент.

Определение 40. Случайная величина d есть рисковый фактор.

Определение 41. Случайный элемент = {d,d D}есть портфельный рисковый фактор.

Определение 42. Риск (или ситуация риска) есть вероятностное распределение pd, индуцированное рисковым фактором d.

Определение 43. Р = {pd,d D} есть совокупный риск (или портфель рисков).

Заметим, что портфель рисковых факторов = {d,d D} (портфель рисков) часто обладает новыми свойствами, не присущими каждому рисковому фактору в отдельности.

С этой целью введем понятие базового и производного рисковых факторов.

Определение 44. Производный рисковый фактор есть такой рисковый фактор, который всегда может быть представлен в виде некоторой комбинации (зависимости от) базовых рисковых факторов.

Так, в предложенной задаче d,d D есть базовые рисковые факторы, = {d,d D} есть производный рисковый фактор.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.