WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 7 |

3.1.2 Бинарное отношение упорядоченности на элементах множества состояний среды Обычно в теории принятия решений моделирование неопределенности результатов осуществляется посредством введения в анализ - множества состояний среды (множество параметров). Каждый его элемент отражает состояние среды, правдоподобное (а в общем случае также и неправдоподобное) с точки зрения ЛПР и влияет некоторым образом на результаты. При этом ЛПР делает некоторые предположения относительно степени правдоподобности того, что среда примет некоторое состояние. Под состоянием среды, в частности, мы можем понимать некоторую величину доходности актива за определенный период инвестирования.

С математической точки зрения это означает что на можно задать (бинарное) отношение частичной упорядоченности.

Определение 1. Бинарное отношение, обозначаемое как Rl на является отношением частичной упорядоченности и обозначается, если оно удовлетворяет условиям:

1) рефлексивности:

,Rl ;

2) транзитивности:

,*,** из Rl* и *Rl** Rl** ;

3) антисимметричности:

условия относительно: а) срочности конверсии, б) величины и условий расчета доходности для них [1].

,* из Rl* и *Rl = *.

Определение 2. Если на задано частичное упорядочение (или ), то (,) называется частично упорядоченным множеством.

Таким образом, * будет означать, что состояние среды по крайней мере также правдоподобно как *.

Заметим также, что если и * – элементы частично упорядоченного множества (,), то может быть, что не одно из соотношений * и * не имеет места, т.е элементы и * являются несравнимыми.

Будем далее полагать что на (,) не существует несравнимых элементов.

Определение 3. Частично упорядоченное множество, не имеющее несравнимых элементов, называется упорядоченным (линейно упорядоченным).

Далее будем полагать что (,) есть упорядоченное множество.

Дополнительно введем некоторое отображение g : [0,1], где [0,1] упорядочено некоторым образом, ([0,1],) При этом полагаем что g - есть изоморфизм, т.е g() g(*) выполнено только в том случае если *.

Таким образом, каждому состоянию среды поставлено в соответствие правдоподобность того, что среда примет именно данное состояние.

3.1.3 Отношение упорядоченности на подмножествах множества состояний среды 3.1.3.1 Необходимый инструментарий для моделирования неопределенности на подмножествах Распространим отношения упорядоченности на подмножест-ва из.

Определение 4. Некоторое множество A называется подмножеством множества, если всякий элемент множества A является элементом множества, т.е A – множество A включено в (в данном случае неисключено, что A = ).

Заметим, что пустое множество по определению является подмножеством любого множества. Исходя из этого, у каждого множества (кроме пустого) есть, по крайней мере, два подмножества – само множество и пустое.

Определение 5. Универс (универсальное множество) есть такое множество, что любое рассматриваемое множество является его подмножеством.

Введем понятие булеана, мощности, алгебры событий.

Определение 6. Множество всех подмножеств из есть булеан ().

Пусть множество состоит из трех элементов = {1,2,3}. Тогда его всевозможными подмножествами будут: пустое множество, три одноэлементных подмножества {1}, {2}, {3}, три двухэлементных подмножества {1,2}, {1,3}, {2,3} и одно трехэлементное множество.

Определение 7. Пусть, произвольное конечное n-элементное множество. Тогда | |= n есть его мощность.

Очевидно, что мощность булеана для, произвольного конечного n-элементное множество можно определить как i | () |=, = {0,1,...n}, Cn i k где Cn – число различных k-элементных подмножеств n-эле-ментного множества.

С целью осуществления некоторых операций над (под)мно-жествами введем понятия алгебраических и кардинальных операций над (под)множествами.

Определение 8. Алгебраическими операциями называют такие, при выполнении которых результирующее множество либо пусто, либо состоит из элементов, из которых состоят и множества, подвергающиеся операциям.

Определение 9. Кардинальными операциями называют такие операции, при выполнении которых появляются новые элементы.

Так, основными алгебраическими операциями над (под)мно-жествами являются следующие:

1) пересечение (под)множеств:

A B = {x | x A и x B, A, B } ;

2) объединение (под)множеств:

A B = {x | x A и x B, A, B } ;

3) разность (под)множеств:

A \ B = {x | x A, но x B, A, B }.

Можно ввести также операции дополнения и симметрической разности.

4) дополнение подмножества A до :

A = \ A ;

5) симметрическая разность:

AB = (A \ B) (B \ A), A, B, AB.

Введем также понятие понятия покрытия и разбиения множества.

Определение 10. Пусть – некоторое множество и = Ai, I = {1,2,...n}. Тогда Ai,i I обра iI зуют покрытие множе- ства.

Определение 11. Если события Ai,i I из попарно не пересекаются, т.е. Ai Aj =, i j то данные события несовместны.

Определение 12. Если Ai,i I образуют покрытие множества и являются при этом несовместными, то система множеств Ai,i I называется разбиением множества.

Введя понятие булеана на множестве, можно ввести понятие алгебры и –алгебры множеств. Последняя в дальнейшем будет играть центральную роль в процессе моделирования.

Определение 13. Алгеброй называется пара множеств Z = (Q, T), где Q – называется основным, несущим множеством или носителем алгебры, а T = { f (1), f (2),...} – множество операций, определенных на множестве М, называется сигнатурой алгебры.

Выделяют следующие законы алгебры множеств:

1 Коммутативность:

А В = В А, А В = В А.

2 Ассоциативность:

А (В С) = (А В) С, А (В С) = (А В) С.

3 Дистрибутивность:

А (В С) = (А В) (А С), А (В С) = (А В) (А С).

4 Закон де Моргана: A B = A B, A B = A B.

5 Законы поглощения:

A (A B) = A, A (A B) = A;

A ( A В ) = А В, A ( A B) = А В.

6 A A = A, A A = A.

7 A A = J, A A =.

8 A = A, A J = A.

9 A J = J, A =.

10 Закон двойного отрицания: A = A.

11 AB = BA.

12 A\B = A B.

13 AB = ( A B) (A B ).

Все эти законы могут быть доказаны с помощью поэлементной схемы доказательства.

Необходимо также отметить, что операция объединения является двойственной к операции пересечения и наоборот, операция пересечения является двойственной к операции объединения. Операция дополнения является двойственной сама к себе (самодвойственной). Пустое множество является двойственным к универсальному множеству и наоборот, универсальное множество является двойственным к пустому множеству.

Для введенных алгебраических операций часто выступает в роле «единицы» алгебры, а в виде ее «нуля».

Пусть () – булеан (универсального) множества. Тогда (булевой) алгеброй множеств будем называть алгебру А = ( (),Т), где = {,, }, т.е. множество, включающее в себя операции объединения, пересечения и дополнения.

Приведем бездоказательно следующие две леммы требующиеся нам для введения в анализ понятия –алгебры множеств. Доказательства можно посмотреть, например в [31].

Лемма 1. Пусть () – булеан на. Тогда существует наименьшая алгебра А, содержащая все множества из ().

Лемма 2. Если А – монотонный класс, то А необходимо и достаточно есть –алгебра.

3.1.3.2 Моделирование неопределенности на подмножествах Введенный инструментарий позволяет распространить введенное (бинарное) отношения упорядоченности на элементах из на всевозможные подмножества, принадлежащие А – –алгебре множеств из.

В общем случае будем говорить, что A, B А, A, по крайней мере, также правдоподобно, как и B если A B.

Традиционно отношение A B, A, B А можно понимать как результат выполнения условия A B.

Определение A. Пусть – множество состояний среды, и А – –алгебра множеств из. Тогда говорят, что А (частично) упорядочено, если A B означает A B.

Другой подход в понимании отношения A B, A, B А предлагает Д. Дюбуа и А. Прад в [33]. Так, о справедливости отношения A B можно говорить только в том случае, если * B, A такое, что *, а именно: A B выполняется только в том случае, если лучший элемент из A предпочтительней лучшему элементу из B.

При этом, как отмечается в [33], такое бинарное отношение упорядоченности должно отвечать следующим свойствам:

1),* A, > * следует >|A *, т.е отношение порядка на некотором подмножестве A не должны изменять изначальное отношение порядка, заданное на всем пространстве.

2) A,* A, >|A *, т.е любой элемент из A предпочтительней элемента, не принадлежащего A.

3),* A, =|A *, т.е элементы, не принадлежащие рассматриваемому подмножеству, являются эквивалентными.

Таким образом, введенное на подмножествах из А отношение упорядоченности позволяет говорить о том, что любого состояния среды A, по крайней мере, также правдоподобно как любое состояние B тогда и только тогда, когда справедливо A B, A, B А.

3.1.4 Количественная шкала правдоподобности на подмножествах множества состояний среды 3.1.4.1 Конструкция интеграла Для задания количественной шкалы правдоподобности для событий, представляющих собой множества из А, необходимо научить измерять подмножества множества, т.е фактически нам нужна некоторая измеряющая функция (обозначим ее, например, как v ), заданная на подмножествах из А и действующая в [0,1].

Определение 14. Пусть А – –алгебра множеств из. Всякое подмножество A измеримо, если оно принадлежит –алгебре, т.е A А.

Введем конструкцию вида (,А).

Определение 15. Пусть – множество состояний среды, А – –алгебра множеств из, Тогда (,А) есть измеримое пространство.

Пусть (,А) и (R,B) измеримые пространства; А,В – –ал-гебры множеств из и R соответственно. Введем понятие измеримой функции.

Определение 16. Абстрактная функция f : R есть измеримая относительно пары –алгебр -А,В (или (А,В) – измеримая) функция, если из B B следует, что f (B) А.

Пусть измеримая функция f : R принадлежит M классу (семейству) измеримых функций.

Данный класс (семейство) есть линейное пространство с определенными на нем операциями обобщенного суммирования и умножения, а именно: и на действительное число, соответственно. При этом M замкнуто относительно данных операций. Отметим, что f,q из M их произведение также принадлежит M.

+ + Пусть M – подкласс неотрицательных измеримых функций, а именно f : R+, f M.

Далее нам потребуется понятие характеристической функции произвольного (под)множества A А.

Пусть рассматривается измеримое пространство (,А). Как известно, любое (под)множество A А можно задать с помощью некоторой функции, в общем случае вида hA : [0,1], называемой характеристической. В частности, если данная функция принимает вид 1, A;

hA () = 0, A, то данный вид функции обозначим по определению как A() := hA().

Функция hA () – измерима в силу измеримости A А.

Введем понятие простой функции. При этом первоначально будем пользоваться частным видом hA (), а именно: A().

Пусть ai 0,i I = {1,2,...n} есть неотрицательные действительные числа, причем, 0 a1 a2....

Определим некоторую функцию s() следующим образом:

n,s() = ai Ai, i=где Ai = { | s() = ai}, =.

Ai iI Определение 17. Функция s() есть простая функция.

Отметим, что s() является неотрицательной функцией, при этом она измерима в силу измеримости + A(). Кроме того, положим что s < и принадлежит некоторому классу H, являющемуся подклассом + M.

Теорема 1. Пусть f : R+ есть измеримая неотрицательная функция, принадлежащая классу + M. Тогда существует такая последовательность 0 s1 s2... простых измеримых неотрицательных функций таких, что lim sn = f.

n Доказательство можно посмотреть, например, в [38].

+ Каждой функции s H сопоставим число I (s), называемое (простым) интегралом от s и удовлетворяющего следующим свойствам:

+ 1) I ( z s) = I (z) I (s) для любых z и s из H и, 0 (аксиома линейности интеграла);

2) I (s) 0 т.к s() 0 (аксиома неотрицательности интеграла).

+ Тогда в соответствии с теоремой 1 имеем продолжение интеграла на класс M, а именно:

+ lim I (sn ) = I ( lim sn ) = I ( f ), f M n n Вернемся теперь к классу M измеримых функций f : R. Функцию f () из M всегда можно представить как f () = f+ () - f_ (), где f+ () = max{ f (),0} и f_ () = -min{ f (),0}.

+ В силу того, что f+, f_ 0 неотрицательные, можно полагать, что они принадлежат классу M. Тогда для f : R, f M определим интеграл от f как I ( f ) = I ( f+ ) - I ( f_ ) Определение 18. Пусть f есть измеримая функция из M. Тогда I ( f ) есть интеграл от f удовлетворяющий следующим свойствам:

1) I ( f w) = I ( f ) I (w) для любых f и w из M и, – действительных чисел (аксиома линейности интеграла);

2) I ( f ) 0, если f 0 (аксиома неотрицательности интеграла).

Следствие. Из 1 и 2 следует что I ( f ) I (w), если f w.

Введем обобщенное понятие меры (при использовании операций, ). При этом будем опираться на [30] и использовать характеристическую функцию общего вида hA().

Определение 19. Пусть (,А) есть измеримое пространство и функция hA(),, AА измерима и - суммируема. Тогда множество А называется - суммируемым и число v(A) = I (hA) есть мера множества A в общем случае.

Замечание. В соответствии с комментариями к законам алгебры множеств если A = то v(A) = I (hA ) = 0 ; если есть универсальное множество, то v() = I (h ) = 1.

Используя обобщенное (при использовании, ) понятие меры, интеграл от простой функции s по данной мере v можно ввести следующим образом.

Пусть n,s() = ci hDi, i=n где D1 =, Di =, Dn = An,a1... an, c1 = a1,ci – определяется из уравнения ai = ai-1 ci. Тогда инAj j=i теграл от s по мере v есть n I (s) = [ci v(Di )].

i=3.1.4.2 Нечеткое множество и его характеристическая функция Для получения окончательной конструкции введем понятие нечеткого множества как обобщающего понятия четкого множества.

Как уже отмечалось выше характеристическая функция hA для множества A А, (где А – –алгебра множеств из ) есть некая обобщенная конструкция. Ее частным видом является.

A С этого момента функцию hA будем представлять в виде (0,1], A;

hA () = 0, A. (1) Определение 20. Множество A А называется нечетким если его характеристическая функция hA определяется видом (1).

Заметим, что A,hA() понимается как степень включения в A. При этом, A что hA() = 1.

Данный вид характеристической функции был введен Л.А. Заде в 1968 году [34].

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 7 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.