WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

Разд. 1.5 посвящён описанию двухфазных алгоритмов решения ЗМТ. Эта глава особено интересна для рассмотрения, т. к. предлагаемые далее новые сбалансированные алгоритмы основаны именно на идеях двухфазной обработки. Различаются две группы двухфазных алгоритмов на основе порядка выполняемых операций: алгоритмы, в которых операция разделения вершин на группы для каждого транспортного средства (кластеризация) предшествует операции решения ЗК, и алгоритмы, в которых на первой фазе решается ЗК, а затем выполняется разрезание полученного пути на фрагменты. Описываются алгоритм заметания, алгоритм Фишера-Джекумера, алгоритм Брамела-Симчи-Леви и алгоритм лепестков. П. 1.5.5 посвящён рассмотрению варианта с решением ЗК на первой фазе. Основной вывод, предлагаемый в этом пункте, заключается в том, что процедура оптимального разрезания решения ЗК может быть сведена к задаче нахождения кратчайших путей в нециклическом графе, трудоёмкость решения которой O(n2).

Разд. 1.6 освещает вопрос итеративного улучшения решения, полученного некоторым алгоритмом. Описываются процедуры улучшения отдельного маршрута и нескольких маршрутов. Процедура улучшения отдельного маршрута фактически является решением ЗК. Особо выделяется алгоритм Лина-Кернигана, используемый для обработки отдельного маршрута. Как показано в научной литературе, этот алгоритм асимптотически оптимален, и качество решений, построенных им, обычно превосходит качество решений других алгоритмов.

Разд. 1.7 даёт общую характеристику метаэвристик. В нём описывается их природа, рассматриваются некоторые вопросы их применения на практике и ряд проблем, связанных с их использованием.

Разд. 1.8 подробно описывает алгоритм Османа поиска с исключениями. Он используется для сравнительного тестирования при постановке вычислительного эксперимента, т. к. даёт хорошее качество решений среди других метаэвристик и имеет только два дискретных параметра.

Известен ряд других реализаций поиска с исключениями, адаптированных для решения ЗМТ. Они интересны для рассмотрения, но большей частью не подходят для сравнительного тестирования, т. к. предназначены для мягкой обработки ограничения грузоподъёмности, когда допускается его нарушение при системе штрафов. Описываются алгоритмы Генро-Герца-Лапорте, Тейлорда, Ксю-Келли и Риго-Рокарола, Разд. 1.10 и разд. 1.11 описывают моделируемый и детерминированный отжиг. Моделируемый отжиг подход к решению задач комбинаторной оптимизации, основанный на идеях, появившихся при наблюдении за процессами, происходящими в металле после достижения температуры плавления. Разд. 1.12 посвящён одному из самых современных направлений в области решения задач комбинаторных оптимизаций генетическому алгоритму. Он ещё не способен давать решения очень высокого качества, но воспринимается многими исследователями как крайне перспективная идея, т. к. способен обрабатывать сложные виды ограничений. Последние разделы обзора 1.13 и 1.14 посвящены двум подходам, пока мало исследованным, но потенциально способным дать интересные результаты: алгоритму на основе муравьиных колоний и нейронным сетям. Они приводятся очень кратко, т.к. пока недостаточно материала о возможности их применения для решения ЗМТ.

Разд. 1.15 содержит выводы по первой главе.

Гл. 2 содержит основное описание проведённых исследований. Содержание этой главы можно разделить на две большие части: на алгоритмы для новой постановки ЗМТ с дополнительным условием сбалансирования и на алгоритмы, предназначенные для решения ЗМТ с учётом грузоподъёмности в стандартном виде, но с тенденцией к сбалансированию.

Новая постановка ЗМТ с условием сбалансирования имеет следующий вид:

1. Пусть дано n + 1 вершин (n вершин-клиентов и одна вершина-депо), симметричная матрица стоимости переезда между всеми n + 1 вершинами и число k желаемое количество маршрутов.

2. Вершина-депо должна входить во все результирующие маршруты.

3. Каждая вершина-клиент входит в один и только один результирующий маршрут.

4. Количество вершин для любой пары маршрутов не должно отличаться более, чем на единицу (новое условие сбалансированности).

5. Суммарная стоимость объезда всех маршрутов должна быть минимальной.

Назовём такую задачу сбалансированной задачей маршрутизации транспорта. Её можно использовать в случаях, когда потребность клиентов в товаре либо не учитывается, либо равна единице. В случае, если она равна единице, грузоподъёмность транспортных средств можно задавать путём выбора желаемого количества маршрутов. Ключевой особенностью сбалансированной ЗМТ от обычного вида является требование, чтобы количество вершин для любой пары маршрутов не отличалось бы более, чем на единицу. При помощи этого условия можно заранее точно определить, какое количество маршрутов нужно получить, чтобы грузоподъёмность транспортного средства не была бы превышена.

Разд. 2.2 рассматривает некоторые вопросы расчёта количества вершин для каждого транспортного средства. В разд. 2.4 приводится дихотомическая процедура кластеризации, полученная в ходе исследований алгоритмов решения сбалансированной ЗМТ и показавшая наилучшие результаты. Время работы этой процедуры O(n2).

Особенно важную роль в алгоритме дихотомического деления играет понятие близости некоторой вершины к одной из двух групп. Хорошие результаты на вычислительном эксперименте показал следующий подход: близость вершины к одной из двух групп считается как разность расстояния до вершины, ближайшей из этой группы, и расстояния до ближайшей вершины из противоположной группы. В разд. 2.5 описывается ряд возможных вариантов дихотомической процедуры разделения вершин, которые были рассмотрены в ходе исследований и показали ухудшение качества работы.

В разд. 2.6 предлагается для рассмотрения обменная оптимизация, выполняющая обмен вершинами на каждом уровне дихотомического деления на две группы. Возможно существование нескольких критериев для обменной оптимизации, описывается подход на основе вычисления сумм длин рёбер минимального остова, построенного на полном графе.

Разд. 2.7 и разд. 2.8 иллюстрируют влияние условия сбалансированности на алгоритмы, предложенные ранее для обычного вида ЗМТ.

Рассматриваются алгоритмы заметания и разрезания общего маршрута. В обоих случаях возможность заранее вычислить количество вершин для каждого транспортного средства приводит к заметному снижению времени работы.

Для взаимного сравнения некоторых из предложенных алгоритмов был проведён вычислительный эксперимент, описанный в разд. 2.9, со следующими характеристиками: оценка качества полученного решения вычислялась как отношение общей длины всех k маршрутов к нижней оценке общего маршрута по всем вершинам, включая депо. В качестве нижней оценки использовалась сумма длин ребер минимального остова, в котором самое длинное ребро учтено дважды. Для вычисления решения задачи коммивояжёра на промежуточных шагах алгоритмов использовалась одна и та же последовательность, включающая в себя алгоритм дерева и некоторые дополнительные оптимизации. Некоторые результаты приведены в табл. 1, в табл. 2 и в табл. 3.

Результаты вычислительного эксперимента позволяют сделать следующие выводы:

1. По качеству решения алгоритмы расположились в следующем порядке (от худшего к лучшему): “разрезание общего маршрута”, “дихотомическая кластеризация по минимуму”, “дихотомическая кластеризация по разности”. Алгоритм заметания превзошел все остальные при k = 16 и менее, но уступил другим при больших k.

2. При решении задачи с использованием матрицы стоимости переездов наиболее перспективным представляется применение предложенного алгоритма “кластеризация по разности”, который можно реализовать с трудоемкостью O(n2).

Таблица 1. Результаты вычислительного эксперимента для алгоритма дихотомической кластеризации по разности. Приводится среднее значение качества решений по всем выборкам. Достоверность значений равна 0,95 с двумя значащими цифрами.

Вершин / 2 4 8 16 32 экипажей 32 1,31 1,60 - - - 64 1,29 1,47 1,94 - - 128 1,28 1,38 1,70 2,44 - 256 1,26 1,33 1,55 2,06 3,14 512 1,25 1,29 1,44 1,79 2,54 4,1024 1,25 1,27 1,37 1,62 2,13 3,В разд. 2.10 рассказывается об особенностях сбалансированного алгоритма, предназначенного для решения ЗМТ с учётом грузоподъёмности в её общем виде, но имеющего тенденцию к сбалансированию загрузки транспортных средств.

Алгоритм не содержит никаких управляющих параметров и может решать большие задачи за относительно небольшое время. Появляется Таблица 2. Результаты вычислительного эксперимента для сбалансированного алгоритма разрезания общего маршрута. Приводится среднее значение качества решений по всем выборкам. Достоверность значений равна 0,95 с двумя значащими цифрами.

Вершин / 2 4 8 16 32 экипажей 32 1,59 1,98 - - - 64 1,51 1,80 2,35 - - 128 1,43 1,63 2,01 2,78 - 256 1,38 1,55 1,84 2,37 3,49 512 1,33 1,44 1,64 2,02 2,80 4,1024 1,32 1,38 1,51 1,79 2,34 3,вопрос, каким образом повлияет применение дополнительных ограничивающих условий на качество результатов. Как показал вычислительный эксперимент, новый алгоритм проигрывает в качестве развитым метаэвристикам в случае небольшого количества вершин, но при росте размерности результаты начинают улучшаться при сохранении экономии времени работы.

Алгоритм содержит две фазы: вначале решается задача кластеризации, затем выполняется построение конечных маршрутов путём решения традиционной ЗК. Таким образом, его можно отнести к классу кластерных алгоритмов с процедурой кластеризации, предшествующей построению маршрутов. Количество транспортных средств заранее не определяется, а вычисляется в ходе работы на основе информации об их грузоподъёмности. Применяемый способ решения ЗК может быть выбран произвольно среди известных методов.

Основная сложность в реализации алгоритма связана с тем, что в его работе постоянно учитываются две величины: стоимость маршрута и суммарная потребность в товаре вершин-клиентов, включенных в маршрут. Стремление к наилучшему распределению загрузки транспортных средств может негативно сказываться на стоимости маршрута и наоборот.

Разд. 2.11 содержит подробное описание шагов алгоритма со всеми деталями и частными случаями. Общую трудоёмкость процедуры сбалансированной кластеризации можно оценить как O(n2).

В разд. 2.12 приводится постановка и результаты вычислительного Таблица 3. Результаты вычислительного эксперимента для сбалансированного алгоритма заметания. Приводится среднее значение качества решений по всем выборкам. Достоверность значений равна 0,95 с двумя значащими цифрами.

Вершин / 2 4 8 16 32 экипажей 32 1,31 1,56 - - - 64 1,26 1,41 1,92 - - 128 1,28 1,34 1,65 2,50 - 256 1,27 1,29 1,48 2,00 3,38 512 1,25 1,28 1,37 1,66 2,59 4,1024 1,24 1,26 1,32 1,48 2,02 3,эксперимента. Одни и те же наборы входных данных подавались на вход алгоритма Османа поиска с исключениями, выбранного для сравнения, сбалансированного алгоритма и комбинированного алгоритма, когда на первом этапе исполняется сбалансированный алгоритм, а на втором алгоритм Османа.

В первой части вычислительного эксперимента алгоритмы испытывались на задачах (наборах данных), предложенных Кристофидесом, Мингоззи и Тоссом, на которых испытывались также многие другие алгоритмы решения ЗМТ. Всего задач 14, из них выбраны те, которые соответствуют постановке задаче маршрутизации транспорта с учётом грузоподъёмности. Для получения более высокого качества решений алгоритм Османа выполнялся многократно с изменением параметра длины списка исключений в довольно широком диапазоне в соответствии с рекомендациями автора, после чего выбирался самый лучший из полученных результатов.

Сбалансированный алгоритм уступает алгоритму Османа по качеству решения на шести примерах из семи, но затрачивает на вычисления в сотни раз меньше времени. Превосходство алгоритма Османа объясняется относительно небольшой размерностью задач, при росте количества вершин картина меняется в обратную сторону. В то же время, если решение, полученное сбалансированным алгоритмом, использовать как начальное для алгоритма Османа, то во всех случаях достигается наилучшее качество.

Во второй части вычислительного эксперимента алгоритмы испытывались на случайно сгенерированных наборах данных. Вершины в виде точек на плоскости размещались согласно равномерному распределению внутри единичного квадрата, депо помещалось в центре. Матрица расстояний вычислялась в виде евклидовых расстояний между точками.

Веса вершин (потребности в товаре) генерировались согласно дискретному равномерному распределению в диапазоне от 1 до 10. Для наборов данных из 50 вершин алгоритмы запускались по 100 раз, для 100 вершин 50 раз, для 150 вершин 25 раз и для 200 вершин 10 раз.

При времени работы в десятки раз меньшем сбалансированный алгоритм оказался хуже алгоритма Османа по качеству решения в среднем от 0.5% до 3% в случаях, когда количество вершин в каждом из полученных маршрутов было в среднем менее чем 10. На трех выборках, когда количество вершин в каждом из полученных маршрутов росло с ростом общего числа вершин, картина обратная, при этом преимущество сбалансированного алгоритма достигает более 10% при количестве вершин, равном 200. При этом сбалансированный алгоритм затрачивает на вычисления в десятки раз меньше времени. Применение же комбинации этих двух алгоритмов всегда дает выигрыш (в среднем) по сравнению с алгоритмом Османа.

Таблица 4. Качество и время работы алгоритмов на случайных выборках. Приведены отношения суммарных длин полученных маршрутов к их оценке снизу сумме длин рёбер минимального остова на всех вершинах и длины самого длинного ребра остова. Приводятся средние величины этих отношений по всем выборкам, а также среднее время работы алгоритмов на одном наборе данных. Достоверность значений равна 0,95 с двумя значащими цифрами. Вычислительный эксперимент проводился на системе с процессором Intel Core 2 Duo E8400 под управлением 64-битного варианта GNU/Linux v2.6.25.

Число вершин, Алг. Османа Сбалан. алг. Комбин. алг.

грузоподъёмность 50 (50) 1,83; 0.5 с 1,84; 0,04 с 1,73; 0,5 с 100 (50) 2,19; 3,6 с 2,23; 0,2 с 2,10; 2,7 с 150 (50) 2,43; 23 с 2,52; 0,5 с 2,37; 17 с 200 (50) 2,73; 87 с 2,83; 0,9 с 2,66; 58 с 100 (100) 1,73; 5,5 с 1,60; 0,3 с 1,51; 4,1 с 150 (150) 1,66; 33 с 1,52; 0,8 с 1,43; 19 с 200 (200) 1,62; 144 с 1,45; 2,1 с 1,38; 59 с Особенно эффективно применение предложенного алгоритма, дающего начальное приближение для алгоритма Османа. Интересно, что при этом время работы алгоритма Османа на второй стадии заметно уменьшается. На практике применение комбинированного алгоритма удобно тем, что если время работы на второй стадии оказывается чрезмерным, процесс вычислений можно прервать и использовать полученный к этому моменту вариант решения задачи.

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.