WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 19 |

2. При a=b и c=ab уравнению (14.3) (z+b)(z+b)=0 удовлетворяет единственная точка s=-b. В частности, этот случай имеет место при a=b=c=0. Соблюдая аналогию, говорят, что уравнением (z+b) (z+b)=0 задаётся окружность с центром s=-b нулевого радиуса.

3. Если a=b, c=c, но bb

Полагаем bb-c=iR, тогда (14.3) можно записать так:

(z+b)(z+b)=-R2. (14.5) Уравнению (14.5) не удовлетворяет ни одна точка плоскости, поскольку левая часть неотрицательна, а правая отрицательна при любом z. Это уравнение задаёт окружность мнимого радиуса iR с действительным центром, имеющим комплексную координату s=-b.

4. Когда a=b, но c=c, уравнение (14.3) противоречиво: левая часть его действительна, а правая — нет. В этом случае оно не задаёт никакого геометрического образа (даже мнимого!).

5. Осталось рассмотреть случай, когда a =b. Тогда из уравнения (14.2) вычтем уравнение zz+az+bz+c=0, получающееся из (14.2) переходом к сопряжённым комплексным числам, получим:

(a-b)z+(b-a)z+c-c=0, откуда (a-b)z+c-c z=.

a-b Подставив этот результат в уравнение (14.2), приводим последнее к виду (a-b)z2+(aa-bb+c-c)z+ac-bc=0. (14.6) При a=b уравнения (14.2) и (14.6) равносильны. В зависимости от того, отличен ли от нуля или же равен нулю дискриминант D=(aa-bb+c-c)2-4(a-b)(ac-bc) квадратного уравнения (14.6), оно будет определять две различные (действительные!) или две совпавшие точки. При D=0 совпавшие точки имеют комплексную координату aa-bb+c-c z=.

2(b-a) В частности, при c=ab как уравнение (14.3), так и уравнение (14.6) даёт пару точек z1=-b и z2=-a.

Итак, уравнением (14.2) задаётся либо окружность (действительная, мнимая, нулевого радиуса), либо две точки (различные или же совпавшие), либо пустое множество точек.

14.2. Уравнение окружности по трём точкам. Если окружность zz+z+z+=0, = проходит через точки A, B, C, то aa+a+a+=0, bb+b+b+=0, cc+c+c+=0.

Однородная линейная система > > > 1·zz+z+z+=0, > > > > > > > > > > > > 1·aa+a+a+=0, < > > > > > > 1·bb+b+b+=0, > > > > > > > > > :

1·cc+c+c+=относительно 1,,, имеет ненулевое решение (так как окружность определяется тремя неколлинеарными точками), поэтому её определитель равен нулю:

zz z z aa a a 1 =0.

(14.7) bb b b cc c c Наряду с (13.4) это уравнение представляет собой уравнение окружности по трём данным точкам.

14.3. Ортогональные окружности. Две пересекающиеся окружности называются ортогональными, если касательные к ним в их общей точке перпендикулярны. Тогда, очевидно, касательная к одной из ортогональных окружностей в их общей точке содержит центр другой окружности.

Для того, чтобы окружности (A, R) и (B, r) были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы |AB|2=R2+r2, или (a-b)(a-b)=R2+r2. (14.8) Если окружности заданы уравнениями zz+z+z+0=0, 0=и y zz+z+z+0=0, 0=0, то a=-, b=-, R2=-0, r2= =-0, и поэтому критерий (14.8) их ортогональности трансформируется так:

P Q B O A +=0+0. (14.9) x З а д а ч а 1. Найти множество точек плоскости, для каждой из коM торых отношение расстояний до двух Рис. 35 данных точек A и B постоянно.

Пусть M(z) — произвольная точка искомого множества, а точкам A и B соответствуют комплексные числа 1 и -1. По условию MA/MB==const, или MA2=2MB2. Переходя к комплексным координатам, получаем уравнение (z-1)(z-1)=2(z+1)(z+1), которое преобразуется к виду zz(1-2)-(z+z)(1+2)=2-1. (14.10) При =1 оно становится таким:

z+z=0.

Это — уравнение мнимой оси, являющейся серединным перпендикуляром к отрезку AB.

Если =1, то уравнение (14.10) запишем в такой форме:

1+zz- (z+z)+1=0. (14.11) 1-Сравнивая это уравнение с (14.2), приходим к выводу, что оно определяет окружность с центром s=1+ и радиусом R= -= 2 Так как 1-.

1- — действительное число, то же самое можно сказать и про s. Следовательно, центр окружности (14.11) лежит на прямой AB. Эта окружность называется окружностью Аполлония для отрезка AB и отношения. Простая проверка показывает, что окружность Аполлония 1- 1+ проходит через точки P и Q, делящие отрезок AB 1+ 1в отношениях и - соответственно. Отрезок PQ — диаметр этой окружности (рис. 35).

З а д а ч а 2. На окружности взяты четыре произвольные точки A, B, C, D. Окружности 1, 2, 3 с центрами A, B, C соответственно, проходящие через точку D, попарно пересекаются в точках M1, M2, M3 (рис. 36). Доказать, что точки M1, M2, M3 коллинеарны.

Пусть окружность является единичной, A а точка D имеет координату d=1. Используя уравнение (14.1) и тот факт, что окружность 1 D Mимеет центр A(a) и содержит точку D(1), полуMчаем её уравнение C B (z-a)(z-a)=(1-a)(1-a), Mили zz-az-az=1-a-a.

Аналогично, окружности 2 и 3 будут Рис. A иметь уравнения zz-bz-bz=1-b-b и zz-cz-cz=1-c-c.

CBРешая систему уравнений окружностей и 2, находим координату второй общей точO C ки M3 этих окружностей:

B m3=a+b-ab.

AАналогично, m2=c+a-ca, m1=b+c-bc.

Рис. Отсюда находим m2-m1 (a-b)(1-c).

m3-m1 = (a-c)(1-b) Это число является действительным, поскольку сопряжено само себе, и потому точки M1, M2, M3 коллинеарны.

З а д а ч а 3. Три равные окружности имеют общую точку O и вторично пересекаются в точках A, B, C. Доказать, что окружность, описанная около треугольника ABC, равна данным (рис. 37).

Примем общую точку O окружностей за начало. Центры окружностей OBC, OCA, OAB обозначим через A1, B1, C1 соответственно. Так как четырёхугольник AB1OC1 — ромб, a=b1+c1 и аналогично b=c1+a1, c=a1+b1. Поскольку данные окружности равны, то |a1|=|b1|=|c1|=1. Положим a1+b1+c1=s. Очевидно, точки A, B, C лежат на окружности (z-s)(z-s)=1 с центром s и радиусом 1.

Заметим попутно, что точки A1, B1, C1 лежат на единичной окружности zz=1, равной окружности ABC. В силу (4.10) точка S является ортоцентром треугольника A1B1C1. Кроме того, ортоцентр треугольника ABC совпадает с точкой O. В самом деле, если H — ортоцентр треугольника ABC, то, как известно, - - - SH =SA+SB+SC.

Следовательно, h-s=a-s+b-s+c-s=a+b+c-3s=2(a1+b1+c1)-3s=-s, h=0.

З а д а ч а 4. Найти множество центров окружностей, проходящих через данную точку M(m) ортогонально данной окружности zz+z+z+0=0.

Если окружность zz+z+z+0=0 обладает заданным свойством, то > > > > > mm+m+m+0=0, > > > < > > > > > > > > : +=0+0.

Исключая 0, получаем уравнение относительно :

(+m)+(+m)+mm-0=0. (14.12) T им определяется прямая с нормальным M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M вектором +m, который равен вектору M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N AM, где A(-) — центр данной окружно- N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N A сти. Следовательно, прямая (14.12) перпендикулярна прямой AM (рис. 38).

Задачи Рис. 3.21. Найдите множество точек, c+i определяемое уравнением z=, где c — переменное действитель2c-i ное число.

3.22. Найдите центр окружности, описанной около треугольника ABC, если начало совпадает с точкой A.

3.23. Дан четырёхугольник ABCD. При каких условиях существует точка M, проекции которой на прямые, содержащие его стороны, коллинеарны Найдите комплексную координату точки M, если даны комплексные координаты a, b, c, d точек A, B, C, D.

3.24. На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC дана произвольная точка P. Докажите, что окружности, описанные около треугольников APC и BPC, ортогональны.

3.25. Окружности с центрами S и S1 пересекаются в точках A и B.

Прямые SA и S1A пересекают окружности S1 и S вторично в точках C и D. Докажите, что точки B, S, D, C, S1 принадлежат одной окружности.

3.26. Две окружности (S, R) и (S1, R1) пересекаются в точках A и B. Прямая t пересекает окружность (S, R) в точках C и C1, а окружность (S1, R1) — в точках D и D1. Докажите, что углы DACи D1BC либо равны, либо их сумма равна 180.

3.27. Найдите множество точек, для которых сумма квадратов расстояний до вершин правильного многоугольника постоянна.

3.28. Найдите множество точек, для которых сумма квадратов расстояний до сторон правильного многоугольника постоянна.

3.29. Найдите множество ортоцентров треугольников ABC, вписанных в окружность (O, R), если точки A и B фиксированы, а точка C пробегает эту окружность.

3.30. Докажите, что множество точек, для каждой из которых расстояния до сторон данного треугольника обратно пропорциональны расстояниям до соответствующих противоположных вершин, есть окружность, описанная около данного треугольника.

b 3.31. Дан прямоугольный треугольник ABC, C=90. Найдите множество точек M таких, что симметричные каждой из них относительно прямых BA и BC точки M1 и M2 лежат на прямой, содержащей точку C.

3.32. На окружности даны точки A и B. Найдите множество то- - - - - чек M пересечения хорд AA1 и BB1 (AM=MA1, BM =MB1), для которых +=2.

§ 15. Гармонический четырёхугольник 15.1. Гармоническая четвёрка точек. В общем случае существует шесть значений, которые может принимать двойное отношение четырёх точек A, B, C, D при всевозможных их перестановках:

1 1 1,, 1-, 1-, и 1 1- 1(§ 13), причём =1, поскольку точки различны. Однако при = =-1 получается всего лишь три значения: -1, 2 и 1/2. Оказывается, в этом случае четвёрка точек A, B, C, D (которую называют гармонической четвёркой) обладает замечательными свойствами. Так как =(AB, CD)=-1 — действительное число, точки лежат на одной окружности или на одной прямой (теорема § 13).

Если точки A(a), B(b), C(c), D(d) коллинеарны и (AB, CD)= c-a d-a c-a d-a =-1, т. е. : =-1, то =-. Значит, точки C b-c b-d b-c b-d и D делят отрезок AB в равных по абсоM лютной величине отношениях (внутренним и внешним образом). Говорят, что пара C, D m N гармонически разделяет пару A, B. Поскольку (CD, AB)=-1, пара A, B, в свою очередь, гармонически разделяет пару C, D. Тремя A C B D P данными точками A, B, C четвёртая точка, n которая в паре с точкой C гармонически разM деляет пару A, B, определяется на прямой AB однозначно (рис. 39): через данные точки A m и B проводим произвольные параллельные P прямые m и n. Пусть произвольная прямая, A D B C содержащая точку C, пересекает их в точках N M и P соответственно. Отложим на прямой n n отрезок BN равный BP. Тогда прямая MN Рис. 39 пересекает прямую AB в искомой точке D, если только точка C не является серединой отрезка AB. Истинность равенства (AB, CD)=-1 следует из подобия треугольников AMC и BPC, а также AMD и BND.

Сейчас нас больше интересует случай, когда точки A, B, C, D неколлинеарны, но (AB, CD)=-1. Тогда точки принадлежат одной окружности и потому никакие три из них не могут быть коллинеарными. Пары A, B и C, D разделяют друг друга, так как двойное отношение отрицательно (§ 13).

15.2. Гармонический четырёхугольник. Вписанный в окружность четырёхугольник ACBD называется гармоническим четырёхугольником, если его вершины A, B и C, D образуют гармоническую четвёрку точек.

Какие же особенности имеет гармонический четырёхугольник 1. Согласно определению для комплексных координат a, c, b, d его вершин A, C, B, D имеем:

C a-c a-d : =-1, b-c b-d AB или O (a-c)(b-d)=-(b-c)(a-d), (15.1) откуда |a-c|·|b-d|=|b-c|·|a-d|, D т. е.

Рис. |AC|·|BD|=|BC|·|AD|.

Таким образом, в гармоническом четырёхугольC B нике произведения длин противоположных сторон равны. Согласно теореме Птолемея (§ 7) для любого вписанного выпуклого четырёхугольника ACBD сумма произведений длин противоположных A D сторон равна произведению длин его диагоналей. Поэтому в гармоническом четырёхугольнике ACBD Рис. AC·BD=BC·AD= AB·CD. (15.2) Примером гармонического четырёхугольника может служить вписанный дельтоид — выпуклый вписанный четырёхугольник, симметричный относительно одной из диагоналей (рис. 40). В частности, гармоническим четырёхугольником является квадрат. Гармонический четырёхугольник может быть и трапецией, которая в этом случае должна быть равнобочной и иметь боковую сторону, равную среднему геометрическому её оснований (рис. 41): AC=BD, AC2=AD·BC.

2. Пусть диагонали AB и CD гармонического четырёхугольника ACBD пересекаются в точке M. Считая описанную окружность единичной, получаем:

a+b-(c+d) m=, ab-cd откуда ab(c+d)-cd(a+b) m=.

ab-cd a-m Найдём отношение =, в котором точка M делит диагональ AB:

m-b a-m b(a-c)(a-d) = =.

m-b a(c-b)(b-d) a-d a-c b(a-c)Поскольку =-, то =. Учитывая, что b-d b-c a(c-b) 1 1 (b-c)2 ACAC2=(a-c) - и BC2=-, получаем: = = a c bc BCAD=. Итак, BDm-a AC2 AD= = b-m BC2 BDи аналогично m-c CB2 AC= =, d-m BD2 ADт. е. в гармоническом четырёхугольнике точка пересечения диагоналей делит каждую из них в отношении, равном отношению квадратов длин прилежащих сторон.

3. На каждой из диагоналей гармонического четырёхугольника лежат точки пересечения касательных к описанной окружности в концах другой диагонали.

Точка пересечения касательных в вершинах C и D имеет коор2cd динату, которая удовлетворяет уравнению z+abz=a+b прямой c+d AB. В самом деле, 2cd +ab· =a+b, c+d c+d или 2(ab+cd)=(a+b)(c+d), а это эквивалентно условию (15.1) гармоничности четырёхугольника ACBD.

Последнее свойство позволяет построить гармонический четырёхугольник по трём заданным его вершинам A, B, C. Четвёртая вершиC на D строится с помощью точки P пересечения прямой AB и касательной к окружA ности ABC в точке C: она является точкой B P касания второй касательной к этой окружности, проходящей через точку P (рис. 42).

Задачи D 3.33. Докажите, что биссектрисы проРис. тивоположных углов гармонического четырёхугольника пересекаются на диагонали, не содержащей вершины этих углов.

3.34. Докажите, что каждая диагональ гармонического четырёхугольника содержит центр окружности Аполлония (§ 14), проходящей через концы другой диагонали.

§ 16. Поляры и полюсы относительно окружности 16.1. Полярно сопряжённые точки. Точки A и B называются полярно сопряжёнными относительно окружности (S, R), если их комплексные координаты удовлетворяют равенству (a-s)(b-s)+(a-s)(b-s)=2R2. (16.1) Поскольку в левой части этого равенства присутствуют лишь разности координат, оно не зависит от выбора начальной точки. Более того, оно сохраняется при замене декартовой системы координат другой декартовой системой. Доказательство этого факта опускаем.

Если начальная точка совпадает с центром S окружности, то равенство (16.1) упрощается:

ab+ab=2R2. (16.2) Из определения вытекает ряд следствий.

1. При a=b получаем aa=R2, т. е. A. Следовательно, точка A полярно сопряжена сама себе тогда и только тогда, когда она принадлежит окружности.

-k - ab+ab 2. Согласно формуле (2.4), cos OA, OB =, или cos = 2|a|·|b| d R=. Следовательно, угол =AOB либо острый, либо равен нулю.

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 19 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.