WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 19 |

Расстояние от начальной точки O до точки M(z) называется модулем комплексного числа z и обозначается символом |z| или r:

p |z|=r=|OM|= x2+y2.

Если — ориентированный угол, образованный вектором OM с осью Ox, то по определению синуса и косиy нуса sin =y/r, cos =x/r, откуда x=r cos, M(z) y y=r sin, и поэтому z=r(cos +i sin ).

r Такое представление комплексного числа на x зывается его тригонометрической формой.

x O Угол называется аргументом комплексного Рис. 1 числа и обозначается arg z: =arg z.

y 1.2. Операция перехода к сопряжённому числу. Если дано комплексное число z= z –z =x+iy, то комплексное число z=x-iy называется комплексно сопряжённым (или просто + сопряжённым) этому числу z. Тогда, очевид O но, и число z сопряжено числу z. Точки M(z) – x и M1(z) симметричны относительно оси Ox (рис. 2).

Из равенства z=z следует y=0 и обратно.

Это значит, что числа, равные своим сопряжён- –z z ным, являются действительными. Точки с комплексными координатами z и -z симРис. метричны относительно начала координат O.

Значит, точки с комплексными координатами z и -z симметричны относительно оси Oy. Из равенства z=-z вытекает x=0 и обратно. Поэтому условие z=-z является критерием принадлежности числа к чисто мнимым. Для любого числа z очевидно |z|=|z|=|-z|=|-z|.

Сумма и произведение двух сопряжённых комплексных чисел являются действительными числами: z+z=2x, zz=x2+y2=|z|2.

Число, сопряжённое с суммой, произведением или же частным комплексных чисел, есть соответственно сумма, произведение или частное чисел, сопряжённых с данными комплексными числами:

z1+z2=z1+z2, z1·z2=z1·z2, z1:z2=z1:z2.

Эти равенства можно легко проверить, пользуясь формулами для операций над комплексными числами в алгебраической форме. Для примера покажем истинность последнего равенства. Пусть z1=x1+iy1, z2=x2+iy2. Тогда z1 x1x2+y1y2 y1x2-x1yz1=x1-iy1, z2=x2-iy2 и =. Согласно z2 2 2 +i x2+y2 x2+y2 этой же формуле x1x2+y1y2 (-y1)x2-x1(-y2) z1:z2= +i =z1:z2.

x2+y2 x2+y2 2 2 В дальнейшем операция перехода к сопряжённому числу (<операция черта>) будет часто использоваться.

1.3. Векторная интерпретация комплексных чисел, их сложения и вычитания. Каждой точке M(z) плоскости комплексных чисел взаимно однозначно соответствует вектор OM с началом в нулевой точке O. Поскольку сложение и вычитание векторов, заданных своими координатами, выполняются по тем же формулам, что сложение y и вычитание соответствующих им комплексных чисел, то сложению и вычитанию комC плексных чисел, записанных в алгебраической форме, однозначно отвечает сложение и вычитание соответствующих им векторов.

B Именно, если a и b — комплексные коордиA наты точек A и B, то число c=a+b является - - координатой точки C такой, что OC=OA+OB x O (рис. 3). Комплексному числу d=a-b соотD - - ветствует такая точка D, что OD=OA-OB.

Рис. 1.4. Геометрический смысл умножения комплексных чисел. Умножение двух комy плексных чисел a=|a|(cos +i sin ) и b= C(ab) =|b|(cos +i sin ) выполняется по формуле ab=|a|·|b|(cos(+)+i sin(+)), т. е. |ab|=|a|·|b| иarg(ab)=arg a+arg b. Геометрически это означает, что точка C(ab) B(b) является образом точки A(a) при композиции поворота с центром O на угол =arg b A(a) и гомотетии с центром O и коэффициентом k=|b| (рис. 4). Поскольку ba=ab, точка C(ab) будет также образом точки B(b) при x O E(1) композиции поворота с центром O на угол Рис. 4 =arg a и гомотетии с центром O и коэффициентом |a|.

Для построения точки C удобно привлечь точку E(1). Имеем:

|ab| |b| = и ориентированные углы EOA и BOC равны ; следова|a| тельно, треугольники EOA и BOC подобны, что позволяет построить точку C(ab) по точкам A(a), B(b) и E(1).

Если комплексное число a постоянное, а комплексное число z переменное, то формулой z =az (1.1) записывается коммутативная композиция поворота на угол =arg a и гомотетии с коэффициентом |a| с общим центром O. Такое преобразование называется гомотетическим поворотом.

В частности, если число a действительное (a=a), то z =az есть гомотетия с центром O и коэффициентом a. Если же число a не является действительным и |a|=1, то z =az есть поворот с центром O на угол =arg a. Например, поворот R90 представляется формулой O z =iz, а поворот R-90 —формулой z =-iz.

O 1.5. Деление отрезка в данном отношении. Если точка C лежит - на прямой AB и AC =CB (=-1), то говорят, что точка C делит отрезок AB в отношении (=).

Найдём комплексную координату точки C, если точки A и B име- ют комплексные координаты a и b. Равенство AC =CB эквивалентно - - - равенству OC-OA=(OB-OC). Переходя к комплексным числам, получаем: c-a=(b-c), откуда a+b c=, =. (1.2) 1+ При =1 точка C — середина отрезка AB и тогда c= (a+b).

Если обозначить = и =, то равенство (1.2) 1+ 1+ примет вид c=a+b, +=1, =, =. (1.3) Легко видеть, что условия (1.3) являются достаточными для того, чтобы точки A(a), B(b), C(c) лежали на одной прямой.

Задачи 1.1. Докажите, что для любых двух комплексных чисел a и b имеют место неравенства:

|a+b||a|+|b|, |a-b||a|+|b|.

При каких условиях выполняются равенства 1.2. Докажите, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом тогда и только тогда, когда комплексные координаты a, b, c, d его вершин удовлетворяют условию a+c=b+d.

1.3. Даны два параллелограмма ABCD и A1B1C1D1. Докажите, что точки, делящие отрезки AA1, BB1, CC1, DD1 в одном и том же отношении, служат вершинами параллелограмма.

1.4. Противоположные стороны AB и DC четырёхугольника ABCD разделены точками M и N в отношении, считая от вершин A и D.

Докажите, что отрезок MN делит среднюю линию четырёхугольника в том же отношении, и сам делится средней линией пополам.

1.5. Дан положительно ориентированный квадрат ABCD и комплексные координаты a и b его вершин A и B. Найдите комплексные координаты вершин C и D (при произвольном выборе нулевой точки O).

1.6. Дан правильный треугольник ABC и комплексная координата a вершины A. Найдите комплексную координату вершины B при положительной и отрицательной ориентациях треугольника ABC, если зa начальную точку принята 1) вершина C, 2) центр треугольника ABC, 3) основание A1 высоты AA1.

1.7. Сторона AC треугольника ABC была повёрнута вокруг точки A на угол +90 и заняла положение AC1. Сторона BC была повёрнута вокруг точки B на угол -90 и заняла положение BC2. Докажите, что положение середины отрезка C1C2 не зависит от положения вершины C.

1.8. Точка B1 — образ точки B(b) при повороте около точки A(a) на угол. Докажите, что b1=a+(b-a), где =cos +i sin.

1.9. Даны точки A(a), B(b), C(c). Постройте точку D(d), если a+bi=c+di.

§ 2. Формулы длины отрезка и скалярного произведения векторов 2.1. Расстояние между двумя точками A(a) и B(b) равно |BA|= =|OD|=|a-b| (см. рис. 3):

AB=|a-b|. (2.1) Так как |z|2=zz, то AB2=(a-b)(a-b). (2.2) Уравнение zz=r2 определяет окружность с центром O радиуса r.

Окружность с центром A(a) радиуса R имеет уравнение (z-a)(z-a)=R2. (2.3) 2.2. Скалярное произведение векторов. Выразим скалярное про- изведение векторов OA и OB через комплексные координаты a и b точек A и B. Пусть a=x1+iy1, b=x2+iy2. Тогда - ab+ab=(x1+iy1)(x2-iy2)+(x1-iy1)(x2+iy2)=2(x1x2+y1y2)=2OA·OB.

Итак, - - OA·OB= (ab+ab). (2.4) Пусть теперь даны четыре произвольные точки A(a), B(b), C(c), D(d) своими комплексными координатами. Представим скалярное про- изведение векторов AB и CD так:

- - - - - - - - - - - - - AB·CD=(OB-OA)(OD-OC)=OB·OD-OB·OC-OA·OD+OA·OC.

Пользуясь формулой (2.4), находим:

- - AB·CD= (bd+bd-bc-bc-ad-ad+ac+ac)= = ((a-b)(c-d)+(a-b)(c-d)).

Таким образом, имеем:

- 2AB·CD=(a-b)(c-d)+(a-b)(c-d). (2.5) 2.3. Примеры решения задач. Решим несколько задач с использованием полученных формул.

Задача 1. Точка D симметрична центру описанной около треугольника ABC окружности относительно прямой AB. Доказать, что расстояние CD выражается формулой CD2=R2+AC2+BC2-AB2, где R — радиус описанной окружности.

Если за нулевую точку плоскости принять центр O описанной около треугольника ABC окружности, то эта окружность будет иметь уравнение zz=R2 (рис. 5). Четырёхугольник OADB — ромб, сле- - довательно, OD=OA+OB, а значит, d=a+b.

C Находим:

CD2=(d-c)(d-c)=(a+b-c)(a+b-c)= =3R2+(ab+ab)-(ac+ac)-(bc+bc).

O Этому же выражению равна правая часть доказываемого равенства:

A B R2+AC2+BC2-AB2=R2+(a-c)(a-c)+ D +(b-c)(b-c)-(a-b)(a-b)= =3R2-(ac+ac)-(bc+bc)+(ab+ab). Рис. Задача 2. Точка M — середина дуги AB y окружности. Доказать, что для произвольA ной точки N этой окружности имеет место N равенство M |AM2-MN2|=AN ·BN.

x O Примем центр O данной окружности за начальную точку. Пусть точкам M, A, B, B N соответствуют комплексные числа 1, a, b, n (рис. 6). Тогда уравнение окружности имеет Рис. вид zz=1, и поэтому a=b, b=a. Находим:

AN ·BN =|a-n|·|b-n|=|(a-n)(a-n)|= =|aa-na-na+n2|=|1+n2-n(a+a)|.

Так как AM2=(a-1)(a-1) и MN2=(n-1)(n-1), то |AM2-MN2|= =|n+n-(a+a)|. Умножив это равенство на |n|=1, получим:

|AM2-MN2|=|n2+1-n(a+a)|=AN ·BN.

За д а ч а 3. Точки M и N — середины диагоналей AC и BD четырёхугольника ABCD. Доказать, что AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4MN2.

Условимся обозначать комплексные координаты точек соответ1 ствующими малыми буквами. Так как m= (a+c) и n= (b+d), 2 AB2+BC2+CD2+DA2= =(a-b)(a-b)+(b-c)(b-c)+(c-d)(c-d)+(d-a)(d-a)= =2(aa+bb+cc+dd)-(ab+ab+bc+bc+cd+cd+da+da), AC2+BD2+4MN2=(a-c)(a-c)+(b-d)(b-d)+4(m-n)(m-n)= =(aa+bb+cc+dd)-(ac+ac+bd+bd)+(a+c-b-d)(a+c-b-d)= =2(aa+bb+cc+dd)-(ab+ab+bc+bc+cd+cd+da+da).

Задачи 1.10. Средняя линия четырёхугольника делит его на два четырёхугольника. Докажите, что середины диагоналей этих двух четырёхугольников являются вершинами параллелограмма, либо лежат на одной прямой 1.11. Докажите, что сумма квадратов медиан треугольника равна суммы квадратов его сторон.

1.12. Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

1.13. Докажите, что сумма квадратов диагоналей четырёхугольника равна удвоенной сумме квадратов его средних линий.

1.14. Если в плоскости параллелограмма ABCD существует такая точка M, что MA2+MC2=MB2+MD2, то этот параллелограмм является прямоугольником. Докажите.

1.15. Точка M лежит на прямой, содержащей гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC. Докажите, что MA2·BC2+MB2·AC2=MC2·AB2.

1.16. Точки A и B симметричны относительно центра некоторой окружности. Докажите, что для любой точки M этой окружности значение суммы MA2+MB2 постоянно.

§ 3. Параллельность, коллинеарность, перпендикулярность 3.1. Коллинеарность векторов. На плоскости комплексных чисел даны точки A(a) и B(b), отличные от начала координат O. Векто- ры OA и OB сонаправлены тогда и только тогда, когда arg a=arg b, a т. е. при arg a-arg b=arg =0. Очевидно также, что эти векторы b противоположно направлены в том и только в том случае, если a arg a-arg b=arg =±. Но комплексные числа с аргументами 0,, b - являются действительными.

Итак, для того, чтобы точки A(a) и B(b) были коллинеарны с наa чальной точкой O, необходимо и достаточно, чтобы частное было b действительным числом. Значит, равенство a a =, или ab=ab (3.1) b b есть критерий коллинеарности точек O, A, B. Заметим также, что он верен в случае, когда a=0 или когда b=0.

a Так как число =k (k=0) действительное, критерий (3.1) экви b валентен такому:

a=kb, k=0, k=k. (3.2) - Возьмём теперь точки A(a), B(b), C(c), D(d). Векторы BA и DC коллинеарны тогда и только тогда, когда точки, определяемые комплексными числами a-b и c-d, коллинеарны с нулевой точкой O.

На основании (3.1) имеем:

- AB CD (a-b)(c-d)=(a-b)(c-d). (3.3) В частности, если точки A, B, C, D принадлежат единичной окруж1 1 1 ности zz=1, то a=, b=, c, d=, и поэтому (3.3) принимает a b c d вид - AB CD ab=cd. (3.4) Равенство (3.3) можно записать в таком виде:

a-b a-b =.

c-d c-d Следовательно, отрезки AB и CD параллельны тогда и только тогда, a-b когда число является действительным.

c-d 3.2. Коллинеарность трёх точек. В § 1 был получен критерий (1.3) коллинеарности трёх точек. Рассмотрим теперь другие критерии принадлежности трёх точек одной прямой.

Коллинеарность точек A, B, C определяется коллинеарностью век- торов AB и AC. Равенство (3.3) в этом примет вид (a-b)(a-c)=(a-b)(a-c). (3.5) Это — критерий принадлежности точек A, B, C одной прямой. Его можно представить в симметричном виде:

a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)=0, (3.6) или же так:

a a =0.

b b 1 (3.7) c c Если точки A и B лежат на единичной окружности zz=1, то 1 a= и b=. Поэтому каждое из соотношений (3.5), (3.6), (3.7) a b преобразуется после сокращения на a-b в такое:

c+abc=a+b. (3.8) Точки A и B зафиксируем, а точку C будем считать переменной, переобозначив её координату через z. Тогда каждое из полученных соотношений (3.5)—(3.8) будет уравнением прямой AB. Итак, уравнения (a-b)z+(b-a)z+ab-ba=0, (3.9) z z =a a 1 (3.10) b b являются уравнениями прямой, проходящей через точки A(a) и B(b).

Прямая OA имеет уравнение z z =0, a a 0 0 или az=az. (3.11) Уравнение z+abz=a+b (3.12) определяет прямую, содержащую хорду AB единичной окружности.

3.3. Перпендикулярность отрезков (векторов). Заметим сначала, - a что OAOB arg a-arg b=arg =±. Комплексные числа с арb гументами и - являются чисто мнимыми. Поэтому (п. 1.2) 2 имеет место такой критерий:

- a a OAOB =-, b b или - OAOB ab+ab=0. (3.13) Отрезки AB и CD перпендикулярны тогда и только тогда, когда векторы точек с комплексными координатами a-b и c-d перпендикулярны. В силу (3.13) имеем:

ABCD (a-b)(c-d)+(a-b)(c-d)=0. (3.14) Критерий (3.14) непосредственно следует из формулы (2.5).

Если точки A, B, C, D принадлежат единичной окружности zz=1, то зависимость (3.14) упрощается:

ABCD ab+cd=0. (3.15) Равенство (3.14) можно представить в виде:

a-b a-b =-.

c-d c-d А это означает, что отрезки AB и CD перпендикулярны тогда и только a-b тогда, когда число является чисто мнимым.

c-d Прямую, не содержащую начальную точку O, можно задать одной точкой P(p), являющейся ортогональной проекцией на прямую точки O. Произвольная точка M(z) этой прямой характеризуется условием OPMP, которое даёт уравнение данной прямой:

p(p-z)+p(p-z)=0, или pz+pz=2pp. (3.16) Его можно рассматривать как уравнение касательной к окружности zz=|p|2 в точке P(p). В частности, если |p|=1, то оно принимает вид:

pz+pz=2. (3.17) Это — частный случай уравнения (3.12) при a=b=p.

2—7685.—Я. П. Понарин.

Задачи 1.17. Для того, чтобы (различные) точки A(a), B(b), C(c) были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие отличные от нуля действительные числа,,, что > > > a+b+c=0, > > < > > > > > :

++=0.

Докажите.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 19 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.