WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 | 18 |   ...   | 19 |

Попутно доказано, что круговое преобразование первого рода конформной плоскости, оставляющее неподвижной бесконечно удалённую точку, есть подобие первого рода.

С л е д с т в и е. Круговое преобразование первого рода, имеющее более двух неподвижных точек, является тождественным преобразованием.

Это вытекает также из инвариантности двойного отношения при круговом преобразовании, поскольку если бы оно имело три неподвижные точки, то была бы неподвижна и любая четвёртая точка.

Те оре ма 3. Если круговое преобразование первого рода имеет две неподвижные точки P и Q, то двойное отношение (PQ, MM ) постоянно для любой пары соответственных точек M и M.

Возьмём ещё одну фиксированную пару соответственных точек A при заданном круговом преобразовании первого рода. Тогда A (MA, PQ)=(M A, PQ), или, в координатной форме, m-p m-q m -p m -q : = :, a-p a-q a -p a -q откуда m-p m -p (a-p)(a -q) : = =const=k, (25.8) m-q m -q (a-q)(a -p) т. е. (MM, PQ)=(PQ, MM )=k.

С л е д с т в и е. Окружность Аполлония для отрезка PQ, соединяющего две неподвижные точки кругового преобразования первого рода, и отношения отображается этим преобразованием в окружность Аполлония для этого отрезка и отношения /|k|.

Из равенства (25.8) находим:

m-p m -p =k, m-q m -q откуда MP M P =|k|.

MQ M Q MP Множество точек M, обладающих свойством ==const, =1, MQ есть известная окружность Аполлония (§ 14, задача 1). Тогда мноM P жество точек M, обладающих свойством =, также является M Q |k| окружностью Аполлония для отрезка PQ, но уже для другого отношения /|k|. При k=-1 эти окружности совпадают.

З а д а ч а 1. На окружности даны точки A и B. Найти множество точек пересечения равных между собой хорд AC и BD этой окружности.

Пусть окружность единичная. Возможны два случая.

1. Если дуги AC и BD равны и одинаково ориентированы, то c d bc =, или d=. Найдём координату точки M пересечения хорд a b a AC и BD:

a+c-(b+d) a+c m= =.

ac-bd c(a+b) Всегда можно считать b=a. Рассмотрим преобразование, для любой точки C, переводящее её в соответствующую точку M, обозначая c=z и m=z, имеем:

a z = +, z(a+a) a+a откуда a z = z+, a+a a+a так как 1/z=z. Это — преобразование подобия первого рода. Следовательно, для всевозможных точек C(z) окружности множество их 1 |a| образов M(z ) — окружность с центром s= радиуса. Её a+a a+a уравнение:

zz(a+a)-(z+z)=0.

Окружность, очевидно, проходит через начальную точку O и через точки A(a) и B(a).

2. Если дуги AC и BD равны и противоположно ориентированы, c b то =. Если c=b и a=d, то прямые AC и BD совпадают. Если же a d c=b, то полагаем b=a, c=z и находим точку M(z ) пересечения хорд AC и BD:

a+z-(b+d) z+a z = = az-bd az+Это — круговое преобразование первого рода. Для точек C(z), приa+z надлежащих единичной окружности z = =z, следовательно, их az+образы M(z ) лежат на действительной оси, являющейся серединным перпендикуляром к отрезку AB.

З а д а ч а 2. Найти композицию двух инверсий относительно окружностей с различными центрами. При каком условии эти инверсии перестановочны Одну из окружностей инверсий можно принять за единичную zz=1. Пусть вторая окружность имеет центр S и R. Тогда инверсии относительно этих окружностей выражаются формулами:

1 Rz = и z = +s.

z z-s Их композиция в данном порядке выражается формулой Rz = +s, -s z или (R2-ss)z+s z =. (25.9) 1-sz Это — круговое преобразование первого рода с детерминантом =R = R2-ss s 2=0.

-s Композиция этих же инверсий, взятых в обратном порядке, записывается формулой z-s z =. (25.10) sz+R2-ss При условии R2-ss=-1, т. е. когда окружности инверсий ортогональны, формулы (25.9) и (25.10) совпадают.

З а д а ч а 3. Указать способ построения образа точки при круговом преобразовании z =.

z Это преобразование представляет собой коммутативную композицию симметрии z =z относительно действительной оси и инверсии z =. Отсюда вытекает способ построения образа M 1 точки M(z) z z (рис. 71): M(z)M1(z)M 1. Действительная ось и окружность z zz=1 инверсии этим преобразованием отображаются в себя.

y З а д а ч а 4. Композиция g2g1 двух M инверсий совпадает с композицией инверсии g и симметрии f относительно раx O дикальной оси окружностей инверсий gE и g2. Доказать, что центр инверсии g M является образом центра инверсии g2 при Mинверсии g1.

Пусть окружность инверсии g1 едиРис. ничная (zz=1), а окружность инверсии gимеет уравнение (z-s)(z-s)=R2. Тогда их композиция имеет формулу (25.9). Необходимо показать, что g2g1=f g, где f — симметрия относительно прямой sz+sz+R2-ss-1=0 — радикальной оси указанных окружностей (§ 17). Она записывается формулой (§ 18) s 1+ss-Rz =- z+.

s s Искомое преобразование g находится как композиция f (g2g1):

s (R2-ss)z+s 1+ss-Rz =- · +.

s 1-sz s После упрощений эта формула принимает вид sz+(R2-ss-1) z =, ssz-s или 1 R2 z+ -1s ss ss z =.

zs При сравнении её с (24.4) видим, что это — инверсия с центром 1/s Rи радиусом r, r2= -1.

ss § 26. Круговые преобразования второго рода 26.1. Формула и свойства круговых преобразований второго рода. Сейчас предметом нашего изучения будет дробно-линейное преобразование второго рода az+b z =, (26.1) cz+d =0.

где a, b, c, d — постоянные комплексные числа и = a b c d Примером такого преобразования может служить инверсия (24.6).

Формуле (26.1) придадим вид (при c=0):

a b z+ c c z =.

d z+ c Это преобразование является инверсией, если одновременно выполнены условия b b a d b aa =, =-, + =0, c c c c c cc которые эквивалентны условиям bc=bc, ac+cd=0, c=0. (26.2) поскольку всегда =0. Из первых двух равенств следует ab+bd= и, наоборот, из равенств ac+cd=0 и ab+bd=0 вытекает bc=bc.

С целью единства подхода лучше опустить требование c=0. Тогда при c=0 и ab+bd=0 формулой (26.1) задаётся осевая симметрия относительно прямой dz=az+b. Поэтому целесообразно считать осевую симметрию частным (предельным) случаем инверсии, а её ось рассматривать как окружность с центром.

При c=0 преобразование (26.1) представляет собой подобие второго рода. В дальнейшем, если нет оговорки, будем полагать c=0.

Преобразование, обратное преобразованию (26.1), имеет формулу -dz+b z =, (26.3) cz-a т. е. является преобразование того же вида с определителем -d b =ad-bc=, c -a сопряжённым определителю данного преобразования (26.1).

Очевидно, дробно-линейное преобразование (26.1) второго рода представляет собой композицию симметрии z =z относительно действительной оси и дробно-линейного преобразования (25.4) первого рода.

Теорема. Всякое дробно-линейное преобразование второго рода является композицией инверсии и подобия первого рода.

Мы хотим представить (26.1) в виде Rz = +s +, z-s Rт. е. как композицию инверсии z = +s и подобия z =z+ z-s первого рода. Проверкой убеждаемся, что az+b a bc-ad = + ·.

d cz+d c cz+ c d bc-ad a a d(bc-ad) Поэтому s=-, =, = -s= +. При c c c c2R2 c2cRэтом центром подобия z =z+ является точка accR2+d(bc-ad) s1= =.

1c(c2R2-bc+ad) Центр s1 подобия совпадает с центром s инверсии, если accR2+d(bc-ad) d =-, c c(c2R2-bc+ad) или accR2+d(bc-ad)+d(c2R2-bc+ad)=0, т. е.

ac+cd=0.

Полученное представление дробно-линейного преобразования второго рода неоднозначно: оно зависит от выбора радиуса окружности инверсии.

Сле дс т вие 1. Дроб но-линейное преобразование второго рода отображает множество прямых и окружностей в себя. Поэтому его называют также круговым преобразованием второго рода.

С л е д с т в и е 2. Круговое преобразование второго рода сохраняет величины углов между окружностями, а также между окружностями и прямыми, но изменяет их ориентацию на противоположную.

С л е д с т в и е 3. Круговое преобразование второго рода переводит двойное отношение четырёх точек плоскости в сопряжённое ему число и сохраняет двойное отношение расстояний между точками.

26.2. Неподвижные точки преобразования f (26.1) получаются при условии z =z, которое приводит к уравнению az+b z=, =ad-bc=0, (26.4) cz+d или czz+dz-az-b=0. (26.5) При его исследовании рассмотрим два принципиально различных случая: c=0 и c=0 (когда f — подобие второго рода).

I. Пусть c=0. Из формулы (26.1) видно, что точка не является неподвижной при f. Запишем уравнение (26.5) в виде d a b zz+ z- z- =0. (26.6) c c c Используя результаты § 14, делаем следующие выводы:

d a b b ad b bc-ad 1. При =-, = и - + = >0. т. е. при c c c c c c2 cac+cd=0, bc=bc и <0 уравнение (26.6), а значит, и (26.5) является a уравнением окружности с центром s= и радиусом R, R2=-.

c cТогда преобразование f есть инверсия относительно этой окружности, каждая точка которой неподвижна.

2. Если ac+cd=0, bc=bc, >0, то уравнением (26.6) или (26.5) задаётся окружность мнимого радиуса. В этом случае неподвижных действительных точек нет, а преобразование f представляет собой коммутативную композицию инверсии относительно окружности a a z- z- = c c ca и симметрии с центром s=.

c 3. Если ac+cd=0, но bc=bc, то неподвижных точек нет.

az+b 4. Если ac+cd=0, то уравнение (26.6) подстановкой z= cz+d приводим к виду (ac+cd)z2-(aa-dd+bc-bc)z-(ab+bd)=0. (26.7) В зависимости от дискриминанта этому уравнению удовлетворяют две различные или же две совпадающие точки.

II. Пусть c=0. В этом случае уже a=0 и d=0, так как в против a b ном случае =0. Тогда f является подобием z = z+, всегда имеd d ющим неподвижную точку. Уравнение (26.5) становится линейным:

dz-az-b=0. (26.8) Руководствуясь результатами § 11, получаем такие выводы:

1. Если |a|=|d| и ab+bd=0, то уравнение (26.8) есть уравнение прямой, каждая точка которой неподвижна, т. е. f — осевая симметрия относительно этой прямой. Ось содержит и точку.

2. При |a|=|d| и ab+bd=0 неподвижных точек, кроме, не су ществует, преобразование f — переносная симметрия.

3. Если |a|=|d|, то, кроме, преобразование f имеет ещё одну ab+bd неподвижную точку (центр подобия второго рода).

dd-aa Таким образом, круговое преобразование второго рода, отличное от подобия и инверсии, имеет не более двух неподвижных точек.

Если же круговое преобразование второго рода имеет более двух неподвижных точек, то они принадлежат одной прямой или одной окружности и это преобразование является соответственно осевой симметрией или инверсией.

26.3. Задание кругового преобразования можно осуществить на основании такой теоремы.

Те о р е ма. Существует единственное круговое преобразование указанного рода, при котором три данные точки M1, M2, M3 переходят соответственно в три заданные точки N1, N2, N3.

Если при круговом преобразовании первого рода M1N1, M2N2, M3N3 и M(z)M (z ), то (MM1, M2M3)=(M N1, N2N3), т. е.

z-m2 z-m3 z -n2 z -n(26.9) m1-m2 : m1-m3 = n1-n2 : n1-n3, откуда az+b z =, cz+d где a=(m1-m2)n1n2+(m2-m3)n2n3+(m3-m1)n3n1, b=(m1-m3)((m3-m2)n3n2+(n2-n3)m2n2+n1(m2n3-m3n2)), c=(n1m2-n2m1)+(n2m3-n3m2)+(n3m1-n1m3), d=(n1-n3)(m1-m3)(m2-m3).

Для кругового преобразования второго рода с указанными парами соответственных точек должно выполняться равенство z-m2 z-m3 z -n2 z -n(26.10) m1-m2 : m1-m3 = n1-n2 : n1-n3, откуда также получаются аналогичные выражения для коэффициентов a, b, c, d формулы (26.1).

Свойствами (26.9) и (26.10) обладает каждое круговое преобразование соответственно первого и второго рода. Поэтому существует лишь одно круговое преобразование первого рода и одно круговое преобразование второго рода, при каждом из которых MiNi (i=1, 2, 3).

Из доказанной теоремы следует, что любую окружность или прямую можно отобразить (причём бесконечным множеством способов) круговым преобразованием первого или второго рода в любую заданную окружность или прямую. В самом деле, для этого надо лишь обеспечить, чтобы какие-либо три точки окружности или прямой перешли три точки другой окружности или прямой. В частности, данную окружность или прямую всегда можно отобразить в себя, указав на ней же образы трёх её точек.

Для того, чтобы четвёрку точек A, B, C, D можно было перевести в четвёрку точек A1, B1, C1, D1, необходимо, чтобы их двойные отношения были равны, либо были комплексно сопряжёнными числами. Исходя из геометрического смысла аргумента и модуля двойного отношения четырёх точек (§ 13), этому факту можно придать более интересную геометрическую интерпретацию: необходимо, чтобы величина угла между окружностями ABC и ABD) была равна величине угла между окружностями A1B1C1 и A1B1D1 (без учёта ориентации) и двойное отношение расстояний между точками A, B, C, D равнялось двойному отношению расстояний между точками A1, B1, C1, D1.

k k Угол между окружностями ABC и ABD равен BCA-BDA (см. рис. 36, с. 75), а двойное отношение расстояний между точками A, B, C, D AC·BD равно, следовательно, необходимо, чтобы BC·AD k k k k BCA-BDA=B1C1A1-B1D1A(здесь углы ориентированные) и A1C1·B1DAC·BD = BC·AD B1C1·A1D1.

Если четырёхугольник ACBD выпуклый, то углы BCA и BDA ориентированы противоположно и поэтому их разность равна сумме одинаково ориентированных противоположных углов при вершинах C и D четырёхугольника ACBD. Таким образом, для того, чтобы выпуклый четырёхугольник ACBD мог быть отображён круговым преобразованием в выпуклый четырёхугольник A1C1B1D1, необходимо и достаточно, чтобы сумма противоположных углов C и D равнялась сумме противоположных углов C1 и D1, и отношение произведений длин противоположных сторон первого четырёхугольника равнялось отношению произведений длин противоположных сторон второго.

В частности, всякий выпуклый четырёхугольник можно отобразить круговым преобразованием в параллелограмм, углы которого равны полусуммам противоположных углов четырёхугольника, а квадраты длин сторон равны произведениям длин противоположных сторон данного четырёхугольника.

Задачи 4.36. Пользуясь инверсией, докажите теорему Птолемея для вписанного в окружность четырёхугольника (§ 7).

4.37. Даны две неравные окружности. Докажите, что существует инверсия, переводящая одну из них в другую. Сколько существует таких инверсий 4.38. Найдите образ пучка окружностей, касающихся мнимой оси в начальной точке, при преобразовании z =.

z 4.39. Найдите образ пучка прямых с центром в начальной точке z+при круговом преобразовании z =.

z-4.40. Найдите формулу кругового преобразования первого рода, отображающего точки 0, 1, i в точки -i, 0, 1 соответственно. Каким будет образ круга, окружность которого содержит три первые данные точки 4.41. Напишите формулы круговых преобразований первого и второго рода, отображающих точки i, 0, в точки, 1, i соответственно.

4.42. Докажите, что любое круговое преобразование, отличное от подобия, представимо, причём единственным способом в виде композиции инверсии и движения (движения и инверсии).

Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 | 18 |   ...   | 19 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.