WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |   ...   | 19 |

В частном случае, когда s=0, формула инверсии наиболее проста:

Rz =. (24.5) z Из формул (24.4) и (24.5) видно, что центр инверсии не имеет образа. Это сразу было оговорено в определении инверсии.

Верно и обратное, преобразование плоскости, заданное формулой az+b z =, b=b, b+aa>0, (24.6) z-a является инверсией относительно окружности с центром в точке S(a) и радиусом R= b+aa.

Понятие инверсии можно расширить, заменяя требование b+aa> >0 ослабленным требованием b+aa =0. Тогда в случае, когда b+aa<0, радиус окружности инверсии приходится считать мнимым:

b+aa=iR. Формула (24.3) приобретает такой вид:

(iR)z = +s, z-s или Rz = +s. (24.3a) -z+s Это преобразование представляет собой коммутативную композицию обычной инверсии (24.3) и симметрии z =-z+2s с общим центром S.

Итак, формулой az+b z =, b=b, b+aa =0. (24.6a) z-a задаётся обобщённая инверсия.

Найдём зависимость между расстоянием AB и расстоянием A B, где A, B — произвольные точки, а A, B — их образы при инверсии.

Примем центр инверсии за начало O, тогда она задаётся формулой (24.5). Поэтому a -b =R2 1 - =R2 b-a, a b ab откуда |a -b |=R2 |b-a| =R2 |a-b|, |a|·|b| |a|·|b| а это означает, что A B =R2 AB. (24.7) OA·OB 24.2. Образы прямых и окружностей при инверсии. Без ограничения общности рассуждений окружность инверсии можно принять за единичную zz=1. Тогда формула инверсии примет вид z =1/z, удобный для практики.

m Учитываем, что z=0.

M M O Пусть задана прямая l с уравнением pz+ +pz+q=0, q=q. При подстановке в это уравнение z=1/z, и z=1/z получаем, опуская в окончательном результате штрихи:

Рис. qzz+pz+pz=0, q=q. (24.8) При q=0 этим уравнением задаётся прямая, совпадающая с заданной прямой l. Если q=0, то оно является уравнением окружности (§ 14), содержащей центр O инверсии. Окружность (24.8), являющаяся образом данной прямой l, имеет центр -p/q и радиус |p|/|q|. Заметим, что центр лежит на прямой pz=pz, проходящей через центр инверсии перпендикулярно l. Это позволяет с лёгкостью построить полученную окружность — образ прямой l: проводим прямую m через центр инверсии перпендикулярно l (рис. 68), строим образ M точки M =ml при инверсии, тогда отрезок OM является диаметром искомой окружности (24.8).

Итак, 1) прямая, содержащая центр инверсии, отображается при этой инверсии в себя, 2) прямая, не содержащая центр инверсии, отображается в окружность, проходящую через него. Поскольку инверсия инволютивна, то и 3) окружность, содержащая центр инверсии, отображается в прямую, не содержащую его.

Возьмём теперь окружность (z-s)(z-s)=r2, ss=r2, (24.9) не проходящую через центр O инверсии z =1/z. Её образ имеет уравнение 1 -s -s =r2, z z (штрихи опущены), которое приводится к виду (ss-r2)zz-sz-sz+1=0. (24.10) Так как ss-r2=0, этим уравнением задаётся окружность с центром s r и радиусом, не проходящая через центр O инверсии.

ss-r2 |ss-r2| Центр инверсии, центр данной окружности (24.9) и центр её образа (24.10) коллинеарны, поскольку число ss-r2 действительное. Это позволяет построить образ окружности по образам двух её диаметрально противоположных точек, коллинеарных с центром инверсии (рис. 69).

B A A B O S Рис. Отношение радиусов окружностей (24.9) и (24.10) равно r r: =|ss-r2|=|OS2-r2|.

|ss-r2| В частном случае, когда окружность (24.9) совпадает с окружностью zz=1 инверсии (при s=0, r=1), уравнение (24.10) принимает вид zz=1, т. е. окружность инверсии отображается этой инверсией в себя. Более того, каждая точка окружности инверсии неподвижна при этой инверсии, что непосредственно видно из формулы инверсии z =1/z и уравнения окружности zz=1 инверсии, из которых следует z =z.

При s=0 и r=1 уравнение (24.10) будет таким:

zz=.

rСледовательно, окружность радиуса r, концентричная окружности инверсии, отображается этой инверсией в окружность радиуса 1/r, также концентричную окружности инверсии.

24.3. Свойство конформности инверсии: инверсия сохраняет величину угла между окружностями, а также между окружностью и прямой, но изменяет его ориентацию на противоположную.

Пусть заданы две окружности (прямая и окружность), одна из которых проходит через точки A, B, C, а другая — через точки A, B, D. Если A, B, C, D — образы этих точек при инверсии z =1/z, то их двойное отношение равно числу, комплексно сопряжённому двойному отношению точек A, B, C, D:

a -c a -d a-c a-d = : = : =.

b -c b -d b-c b-d Согласно геометрическому смыслу аргумента двойного отношения (§ 13) он равен ориентированному углу между окружностями (прямой и окружностью) ABC и ABD, но arg =arg =- arg.

9—7685.—Я. П. Понарин.

В частности, инверсия отображает две ортогональные окружности в две ортогональные окружности (окружность и прямую).

Так как | |=||, инверсия сохраняет двойное отношение расстояний между точками.

З а д а ч а 1. Доказать, что окружность ортогональна окружности инверсии тогда и только тогда, когда отображается этой инверсией в себя.

Пусть окружность zz=1 инверсии и окружность, описываемая уравнением (z-s)(z-s)=r2, имеют общую точку A(a). Тогда aa= =1 и (a-s)(a-s)=r2. Условие OASA ортогональности окружностей имеет вид a(a-s)+a(a-s)=0, или sa+sa=2, (24.11) что при учёте равенства (a-s)(a-s)=r2 эквивалентно соотношению ss-r2=1. (24.12) А при этом условии уравнения (24.9) и (24.10) окружности и её образа совпадают.

Обратно, если эти уравнения совпадают, то ss-r2=1. Но это — критерий ортогональности окружности и окружности zz=1 инверсии.

З а д а ч а 2. Доказать, что окружность, содержащая две взаимно инверсные точки, ортогональна окружности инверсии.

Если при инверсии z = относительно окружности zz=1 имеz ем пары соответственных точек A и B то ab=ab=1. Согласно B A, условию окружность (z-s)(z-s)=r2 содержит точки A и B:

> > > > > aa-sa-sa+ss-r2=1, < > > > > > :

bb-sb-sb+ss-r2=1.

Умножим первое равенство на b, второе — на a и вычтем из полученного первого полученное второе:

(a-b)+(ss-r2)(b-a)=0, откуда ss-r2=1, что означает ортогональность данной окружности и окружности инверсии.

З а д а ч а 3. Прямые, содержащие стороны AB и CD вписанного в окружность четырёхугольника ABCD, пересекаются в точке P.

Окружности, описанные около треугольников ADP и BCP, пересекаются вторично в точке Q. Доказать, что точка Q инверсна точке M пересечения диагоналей четырёхугольника относительно окружности (рис. 70).

A Примем точку P за начало.

Тогда, согласно (3.1), ab=ab и cd=cd.

По свойству секущих aa·bb=cc·dd.

B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B BB BB BB B BB B B BB B Поэтому BB BB BB BB BB B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B Q S ab=ab=cd=cd. (24.13) M Составим уравнения окружностей D C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C P C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C ADP и BCP:

> > > > > > zz(ad-ad)-zad(a-d)+zad(a-d)=0, < > > > > > > :

zz(bc-bc)-zbc(b-c)+zbc(b-c)=0.

Рис. При решении этой системы учитываем (24.13). Очевидно, она имеет ненулевое решение, соответствующее общей точке P окружностей. Второе её решение равно ac-bd q=. (24.14) a+c-(b+d) Если выполнить перенос системы координат, то точкам A, B, C, D, P, Q будут соответствовать уже другие комплексные числа a1, b1, c1, d1, p1, q1 такие, что a=a1+, b=b1+, c=c1+, d=d1+, p=p1+, q= =q1+. Подставляя эти выражения для координат в формулу (24.14), получаем:

a1c1-b1dq1=.

a1+c1-(b1+d1) Значит, формула (24.14) истинна и тогда, когда начальная точка совпадает с центром окружности. Но тогда, в силу (4.1), a+c-(b+d) m=.

ac-bd Следовательно, q=1/m. Это значит, что точка Q инверсна точке M относительно окружности, описанной около четырёхугольника ABCD.

З а д а ч а 4. Найти композицию инверсий относительно трёх попарно ортогональных окружностей.

Пусть даны окружности zz=1, (z-a)(z-a)=r2, (z-b)(z-b)=R2, для которых наложены условия попарной ортогональности:

aa-r2=1, bb-R2=1, (a-b)(a-b)=R2+r2.

С учётом первых двух условий третье приводится к виду ab+ab=2, или 1-ab=ab-1.

9*—7685.—Я. П. Понарин.

Инверсии f1, f2, f3 относительно данных окружностей задаются соответственно формулами:

1 r2 Rz =, z = +a, z = +b.

z z-a z-b Находим композицию f2f1:

(r2-aa)z+a z-a z =, или z = 1-az az-и композицию f3(f2f1):

Rz = +b.

z-a -b az-С помощью условий ортогональности окружностей эта формула преобразуется к виду z(a-b)+1-ab z =.

z(ab-1)+a-b a-b Этой формулой определяется инверсия с центром и радиусом ab-R2+r2+(ab-1)таким, что 2=. Это число является действитель-(ab-1)ным, поскольку ab-1 — чисто мнимое.

Задачи 4.33. Точки A и A1, B и B1 являются соответственными при инверсии с центром O. Докажите, что треугольники OAB и OB1A1 подобны и противоположно ориентированы.

4.34. Найдите композицию инверсий относительно двух концентрических окружностей с радиусами R и r.

4.35. Вершины треугольников A1B1C1 и A2B2C2 инверсны точкам A, B, C относительно двух концентрических окружностей. Докажите, что эти треугольники гомотетичны.

§ 25. Круговые преобразования первого рода 25.1. Конформная плоскость. Рассмотренное преобразование инверсии определяется не на всей евклидовой плоскости, а только на евклидовой плоскости с одной исключённой точкой — центром инверсии, так как центр инверсии не имеет образа. Во многих случаях, как мы увидим далее, это обстоятельство причиняет неудобства. Чтобы устранить указанный <дефект>, к евклидовой плоскости чисто умозрительно добавляют ещё одну точку Q, которую называют бесконечно удалённой. Этой точке ставят в соответствие особое комплексное число, обозначаемое символом, при этом =.

Евклидова плоскость, дополненная одной бесконечно удалённой точкой Q, называется конформной плоскостью. Любую её точку, отличную от Q, будем называть собственной точкой.

Условимся, что точка Q лежит на любой прямой евклидовой плоскости и не лежит ни на одной из окружностей евклидовой плоскости.

Согласно этому соглашению, две пересекающиеся прямые на конформной плоскости, как и две пересекающиеся окружности, имеют две общие точки — одну на <конечном расстоянии>, другую — точку Q, а две параллельные прямые имеют только одну общую точку Q. Говорят, что параллельные прямые касаются друг друга в этой точке.

Введёнными соглашениями окружности и прямые уравниваются в правах, и между ними можно не делать различия. Прямую евклидовой плоскости считают окружностью бесконечного радиуса.

Операции с введённым особым числом определяются следующим образом:

— при любом z z+=, (25.1) —при z= z·=, (25.2) —при z= z z-=, =, =0. (25.3) z Разность -, произведение 0· и отношения, при ходится считать не имеющими смысла уже без какой-либо надежды выйти из этого затруднения.

25.2. Круговые преобразования первого рода. Переходим к изучению преобразования конформной плоскости, определяемого формулой az+b z =, (25.4) cz+d =0.

где a, b, c, d — постоянные комплексные числа и = a b При c d ad-bc=0 эта формула принимает вид z =const и не представляет интереса.

az+b Это преобразование соответственно виду функции f(z)= cz+d называется дробно-линейным преобразованием первого рода. Величина =ad-bc называется его детерминантом.

При c=0 преобразование (25.4) является подобием первого рода, которое уже рассмотрено в § 18. Поэтому в дальнейшем, если не сделано оговорки, предполагаем c=0.

При принятых выше соглашениях формула (25.4) каждому значению z ставит в соответствие одно и только одно значение z. В частности, z=-d/c соответствует, а z= соответствует a/c. Если c=0, то z= переходит в z =.

Преобразование, обратное преобразованию (25.4), выражается формулой -dz+b z =, (25.5) cz-a т. е. также является дробно-линейным преобразованием первого рода -d b =ad-bc.

с тем же детерминантом c -a Теорема 1. Всякое дробно-линейное преобразование первого рода является композицией инверсии и подобия второго рода.

az+b Мы желаем, чтобы преобразование z = было представлеcz+d но в виде Rz = +s +, z-s Rт. е. как композиция инверсии z = +s и подобия z =z+ втоz-s рого рода. Проверкой убеждаемся, что az+b bc-ad 1 a = · +.

d cz+d c cz+ c d bc-ad a a d(bc-ad) Поэтому s=-, =, = -s= +.

c c c c2R2 c2cRКак видим, представление дробно-линейного преобразования первого рода композицией инверсии и подобия второго рода неоднозначно: оно зависит от выбора радиуса окружности инверсии.

Из свойств подобий, инверсии и доказанной теоремы получаются важные свойства дробно-линейных преобразований первого рода.

С л е д с т в и е 1. Дробно-линейные преобразования первого рода отображают множество прямых и окружностей в себя.

Из-за этого свойства дробно-линейные преобразования называют также круговыми преобразованиями.

Сле дс т вие 2. Круговые преоб разования первого рода сохраняют величину и ориентацию углов между окружностями, а также между окружностями и прямыми.

С л е д с т в и е 3. Круговые преобразования первого рода отображают ортогональные окружности в ортогональные окружности.

Следствие 4. Круговые преоб разования первого рода переводят каждые две инверсные относительно окружности точки в две точки, инверсные относительно образа этой окружности.

Те оре ма 2. Круговые преобразования первого рода сохраняют двойное отношение четырёх точек плоскости.

Сначала предполагаем, что все четыре точки собственные. Если z =f(z) — круговое преобразование (25.4) и f(zi)=z (i=1, 2, 3, 4), то i при i=j azj+b (ad-bc)(zi-zj) azi+b z -z = - =.

i j czi+d czj+b (czi+d)(czj+d) Поэтому z -z z -z z1-z3 z1-z1 3 1 z -z : z -z = z2-z3 : z2-z4.

2 3 2 Если одна из точек совпадает с Q(), то на основании соглашений (25.1)—(25.3) это равенство остаётся в силе, модифицируясь.

Исключаются случаи, когда оно теряет смысл.

25.3. Неподвижные точки. Положим в (25.4) z =z и решим полученное уравнение az+b z=, или cz2+(d-a)z-b=0. (25.6) cz+d Сначала считаем c=0. Тогда уравнение (25.6) имеет два корня:

a-d± m z1,2=, m=(d-a)2+4bc. (25.7) 2c Из формулы (25.4) видно, что не является неподвижной точкой.

Так что, если m =0, то существуют ровно две неподвижные точки кругового преобразования первого рода. При m=0 такая точка одна.

При c=0 обязательно a =0 и d =0, так как иначе был бы равен нулю детерминант. Из формулы (25.4) видно, что в этом случае точка неподвижна. Если a=d, то из (25.6) находим вторую непо b движную точку.

d-a b Если c=0 и d=a, то формула (25.4) имеет вид z =z+ и предd ставляет собой перенос с единственной неподвижной точкой. Итак, в случае, когда c=0, также существуют две неподвижные точки, если m =0, и одна точка, если m=0.

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |   ...   | 19 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.